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UNIT 8: सामान्य सम्भावना वक्र

details

Details about the normal probability curve, its characteristics, constants, applications, and concepts of skewness and kurtosis.

groups

• 8.1. सामान्य सम्भावना वक्र/ सामान्य वितरण (Normal Probability Curve / Normal Distribution)

  • 8.1. सामान्य संभाव्यता वक्र/ सामान्य वितरण

    notes

    सामान्य संभाव्यता वक्र वह ग्राफिक प्रदर्शनी है जो किसी निश्चित जनसंख्या के डेटा का सामान्य वितरण दर्शाती है। यह वक्र बेल के आकार का होता है और इसमें केंद्रीय प्रवृत्ति का प्रतिनिधित्व करने वाला माध्य (mean), केंद्रीयता का माप होता है। सामान्य वितरण का उपयोग सांख्यिकी में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जैसा कि कई प्राकृतिक और सामाजिक चिकित्सा घटनाओं में पाया जाता है।

  • 8.1.1. परिचय (Introduction)

    notes

    सामान्य वितरण की चर्चा करते समय यह समझना आवश्यक है कि यह एक निरंतर संभावना वितरण है जिसमें डेटा का सबसे अधिक संकेतिक करते हुए, यह वक्र संतुलित और समरूप होता है। इसका सबसे प्रमुख गुण यह है कि यह माध्य, माध्यिका, और मोड के लिए एक समानतम बिंदु पर केंद्रित होता है।

  • 8.1.2. सामान्य संभाव्यता वक्र/ सामान्य वितरण का अर्थ एवं परिभाषाएँ

    notes

    सामान्य संभाव्यता वक्र का अर्थ है एक ऐसा वितरण जो सांख्यिकीय रूप से कई प्रकार के डेटा सेट में प्रचलित होता है। इसे सामान्य वितरण (Normal Distribution) भी कहा जाता है। इसे चित्रित करने के लिए जब डेटा को ग्राफ पर रखा जाता है, तो यह एक ग्लोबल बेल के रूप में प्रकट होता है। सामान्य वितरण की परिभाषा ऐसी होती है कि यह किसी भी ऐसे डेटा सेट जो सीमित या अनंत हो, उसके लिए प्रयुक्त होता है।

  • 8.1.3. सामान्य संभाव्यता वक्र/ सामान्य वितरण की विशेषताएँ

    notes

    1. इसे एक बेल या नाव के आकार का ग्राफ कहा जाता है। 2. इसका माध्य, माध्यिका, और मोड समान होते हैं। 3. यह समरूपता के गुणों का अनुसरण करता है। 4. 68-95-99 नियम पाया जाता है, अर्थात 68% डेटा एक मानक विचलन के भीतर, 95% दो मानक विचलनों के भीतर, और 99.7% तीन मानक विचलनों के भीतर आता है।

  • 8.1.4. सामान्य संभाव्यता वक्र की तालिका

    notes

    सामान्य वितरण की तालिका मानक विचलन और माध्य पर आधारित होती है। इसे सामान्य संभावना तालिका (Standard Normal Table) भी कहते हैं। यह तालिका विभिन्न z-संख्या को दर्शाती है। z-संख्या वह मान है जिसे हम सामान्य वितरण के लिए संदर्भित करते हैं।

  • 8.1.5. सामान्य संभाव्यता वक्र के स्थिरांक में संबंध

    notes

    गणितीय स्थिरांक जैसे π (पाई) और e (नैपरियन) का संबंध सामान्य वितरण के मापदंडों से होता है। यह मापदंड वितरण के स्वरूप और उसके विशेषताओं का निर्धारण करते हैं।

  • 8.1.6. सामान्य संभाव्यता वक्र के अनुप्रयोग

    notes

    सामान्य वितरण का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों जैसे व्यावसायिक मार्केटिंग, संगणक विज्ञान, समाजशास्त्र और मानविकी में किया जाता है। इसके अलावा, यह चिकित्सा परीक्षण, जीवविज्ञान में आनुवंशिकता, और विभिन्न सामाजिक विज्ञानों में भी उपयोगी है।

• 8.1.1. परिचय (Introduction)

  • 8.1.1 परिचय

    सामान्य संभावना शंकु (Normal Probability Curve) एक महत्वपूर्ण सांख्यिकी उपकरण है जिसका उपयोग आंकड़ों के वितरण को समझने और उनका विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह शंक्वाकार ग्राफ विशेष रूप से तब उपयोगी है जब हम किसी डेटा सेट के साथ काम कर रहे होते हैं और हमें यह समझना होता है कि डेटा किस प्रकार वितरित है। 1. **सामान्य संभावना शंकु की विशेषताएँ:** - यह ग्राफ हमेशा बेल के आकार का होता है। - इसका औसत (Mean), माध्यिका (Median), और मोड (Mode) सभी एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं। - इसे सममित कहा जाता है, अर्थात आरेख के दोनों तरफ की भुजाएँ समान होती हैं। - शंकु का ऊँचाई औसत के चारों ओर अधिकतम होती है, और जैसे-जैसे हम औसत से दूर जाते हैं, ऊँचाई कम होती है। - डेटा का लगभग 68% औसत के एक मानक विचलन (Standard Deviation) के भीतर होता है, लगभग 95% दो मानक विचलनों के भीतर, और 99.7% तीन मानक विचलनों के भीतर होता है। 2. **स्थिरांक (Constants):** - सामान्य संभावना शंकु में कुछ स्थिरांक होते हैं, जैसे कि औसत (μ) और मानक विचलन (σ)। ये स्थिरांक डेटा के वितरण का निर्धारण करते हैं। - यदि औसत को बढ़ाया जाता है, तो ग्राफ का केंद्र आगे बढ़ जाता है; यदि मानक विचलन बढ़ाया जाता है, तो ग्राफ का फैलाव बढ़ जाता है। 3. **आवेदन (Applications):** - सामान्य संभावना शंकु का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि न्यूरोसाइंस, मनोविज्ञान, अर्थशास्त्र, और गुणवत्ता नियंत्रण में। - यह सुनिश्चित करता है कि यदि कोई डेटा सेट लगभग सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, तो हम सांख्यिकीय विधियों का उपयोग कर सकते हैं। 4. **खिचाव (Skewness) और क्यूर्तोसिस (Kurtosis):** - खिचाव उस माप को दर्शाता है जिससे वितरण का आकार (Shape) सामान्य वितरण से भिन्न होता है। यदि डेटा में दाएँ या बाएँ धर्मान्तरित है, तो उसे सकारात्मक या नकारात्मक खिचाव कहा जाता है। - क्यूर्तोसिस उस माप को दर्शाता है जिससे वितरण की चौड़ाई विशेष होती है। उच्च क्यूर्तोसिस वाले वितरण में डेटा के चरम मान अधिक होते हैं, जबकि कम क्यूर्तोसिस वाले वितरण में ये कम होते हैं। - इन दोनों मापदंडों का उपयोग डेटा के वितरण की गतिकी और चरित्र को समझने के लिए किया जाता है।

• 8.1.2. सामान्य सम्भावना वक्र/सामान्य वितरण का अर्थ एवं परिभाषाएँ (Meaning and Definitions of Normal Probability Curve/Normal Distribution)

  • 8.1.2 सामान्य समभावन वक्र/सामान्य वितरण का अर्थ एवं परिभाषाएँ

    सामान्य समभावन वक्र, जिसे सामान्य वितरण या गॉसियन वितरण भी कहा जाता है, सांख्यिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह वक्र विशेष रूप से डेटा के वितरण का एक आदर्श मॉडल प्रस्तुत करता है। 1. **सामान्य वितरण का अर्थ**: सामान्य वितरण एक सतत संभाव्यता वितरण है, जो कि एक बेल-आकार की वक्र के रूप में प्रकट होता है। यह वितरण दर्शाता है कि डेटा के अधिकांश मान केंद्र (माध्य) के चारों ओर होते हैं और जैसे-जैसे हम मध्य से दूर जाते हैं, मान कम होते जाते हैं। 2. **परिभाषाएँ**: - **माध्य (Mean)**: यह समभावन वक्र का केंद्र बिंदु है, जहाँ वितरण का 50% डेटा होता है। - **मानक विचलन (Standard Deviation)**: यह वितरण की फैलाव को मापता है। एक उच्च मानक विचलन का अर्थ है कि डेटा अधिक फैला हुआ है, जबकि एक कम मानक विचलन का अर्थ है कि डेटा संकुचित है। - **कर्टोसिस (Kurtosis)**: यह वितरण की शिखरता को मापता है। उच्च कर्टोसिस का अर्थ है कि डेटा में अधिक चरम मान हैं। - **स्क्यूनेस (Skewness)**: यह वितरण के असमानता को मापता है। यदि स्क्यूनेस सकारात्मक है, तो वितरण दाएं की ओर खींचा हुआ होता है, और यदि नकारात्मक है, तो इसे उलटा कहा जाता है। 3. **विशेषताएँ**: - सामान्य वितरण पूर्ण रूप से सममित होता है। - डेटा के 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के अंदर रहते हैं, 95% मान दो मानक विचलन के अंदर और 99.7% मान तीन मानक विचलन के अंदर होते हैं। 4. **आवेदन**: सामान्य वितरण का उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे: - मनोविज्ञान में मानसिक क्षमताओं के परीक्षण। - व्यवसाय में बिक्री डेटा का विश्लेषण। - विज्ञान में हाइड्रोलॉजिकल डेटा का अध्ययन। 5. **उदाहरण**: मान लीजिए कि हम एक कक्षा में छात्रों के अंक देखते हैं। यदि उनकी मार्क्स सामान्य वितरण का पालन करते हैं, तो हम देखेंगे कि अधिकांश छात्र औसत अंक के पास हैं जबकि कुछ ही छात्र बहुत उच्च या बहुत कम अंक प्राप्त करेंगे। सामान्य समभावन वक्र सांख्यिकी और संभावना के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, जो कि डेटा के वितरण की भली-भांति समझ प्रदान करता है। यह छात्रों को विभिन्न प्रकार के डेटासेट के बारे में जानकारी और विश्लेषण करने में मदद करता है।

• 8.1.3. सामान्य सम्भावना वक्र/सामान्य वितरण की विशेषताएँ (Characteristics of Normal Probability Curve/Normal Distribution)

  • 8.1.3 सामान्य समान वितरण की विशेषताएँ

    notes

    सामान्य समान वितरण, जिसे नार्मल वितरण भी कहा जाता है, सांख्यिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह संयोगात्मक घटनाओं का प्रदर्शन करती है जो कि प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञानों में सामान्यतः देखने को मिलती हैं। 1. **घातीय आकार**: सामान्य वितरण की आकृति घंटी के आकार की होती है। इसके शिखर पर सबसे अधिक सांख्यिकी मान होते हैं और ऐसे मान दाएँ और बाएँ दोनों ओर समान रूप से फैलते हैं। 2. **माध्य, मध्य और मोड**: एक सामान्य वितरण में माध्य (Mean), मध्यिका (Median) और मोड (Mode) सभी एक ही मान के बराबर होते हैं। यह वितरण की संतुलन की स्थिति को दर्शाता है। 3. **प्रसार (Spread)**: सामान्य वितरण का प्रसार मानक विचलन (Standard Deviation) द्वारा निर्धारित होता है। मानक विचलन जितना अधिक होता है, वितरण उतना ही चौड़ा और चपटा होगा। 4. **98% डेटा**: सामान्य वितरण में, लगभग 68% डेटा एक मानक विचलन के भीतर, 95% डेटा दो मानक विचलन के भीतर और 99.7% डेटा तीन मानक विचलन के भीतर होता है (इसको 68-95-99.7 नियम कहा जाता है)। 5. **समानता**: सामान्य वितरण की एक विशेषता यह है कि यदि सांख्यिकी वितरण सामान्य है, तो उसके लिए विभिन्न सांख्यिकीय परीक्षण जैसे t-टेस्ट, ANOVA आदि का उपयोग संभव है। 6. **स्केवनेस (Skewness)**: स्केवनेस सामान्य वितरण की सममिति को व्यक्त करता है। यदि वितरण दाएँ टेढ़ा है, तो स्केवनेस सकारात्मक है और यदि बाएँ टेढ़ा है, तो स्केवनेस नकारात्मक है। सामान्य वितरण में स्केवनेस 0 होता है। 7. **कुर्तोसिस (Kurtosis)**: कुर्तोसिस वितरण की चपटीपन या मोटाई को दर्शाता है। सामान्य वितरण का कुर्तोसिस 3 होता है। उच्च कुर्तोसिस का अर्थ है अधिक चरम मान और कम कुर्तोसिस का अर्थ है फूहड़ता।

• 8.1.4. सामान्य सम्भावना वक्र की तालिका (Table of the Normal Probability Curve)

  • 8.1.4 सामान्य समभावना वक्र की तालिका

    गुणात्मक संख्यात्मक डेटा को अध्ययन करने के लिए सामान्य समभावना वक्र एक महत्वपूर्ण उपकरण है। यह वक्र, जिसे गॉसियन वक्र या बेल वक्र भी कहा जाता है, केंद्रित होता है और इसे नीचे दिए गए बिंदुओं के माध्यम से समझा जा सकता है: 1. **गुण और विशेषताएँ**: सामान्य समभावना वक्र एक सममित वक्र है जो डेटा सेट के औसत केंद्र पर खुलता है। इससे यह स्पष्ट होता है कि अधिकांश डेटा औसत के चारों ओर वितरित होते हैं। इसकी विशेषताएँ निम्नलिखित हैं: - वक्र का औसत, मध्यम और मोड सभी समान होते हैं। - वक्र के दोनों भुजाएँ अनंत तक जाती हैं, और कभी भी शून्य नहीं पहुंचती। - इसकी गणना एक विशिष्ट फ़ॉर्मूले के माध्यम से की जाती है। 2. **समान्य मानक वितरण**: सामान्य समभावना वक्र का मानक वितरण एक महत्वपूर्ण संकल्पना है। यह वितरण औसत (μ) और मानक विचलन (σ) पर आधारित होता है। मानक सामान्य समभावना वक्र में, औसत 0 और मानक विचलन 1 होता है। 3. **कॉन्टेंट्स**: सामान्य समभावना वक्र की तालिका में प्रायः Z स्कोर प्रदान किए जाते हैं, जो औसत से किसी विसंगति के अंतर को दर्शाते हैं। Z स्कोर का प्रयोग करके हम यह जान सकते हैं कि कोई विशेष मान वितरण के संदर्भ में कहाँ स्थित है। 4. **अनुप्रयोग**: सामान्य समभावना वक्र का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे सामाजिक विज्ञान, वित्तीय विश्लेषण, और अन्य विज्ञानों में। यह न केवल विभिन्न परिदृश्यों में डेटा विश्लेषण करने में मदद करता है, बल्कि भविष्यवाणियाँ करने में भी सहायक है। 5. **स्क्यूनेस और कर्टोसिस**: - **स्क्यूनेस**: यह वितरण की विषमता को दर्शाता है। अगर वक्र का दाहिना भाग लंबा है, तो इसे सकारात्मक स्क्यूनेस कहा जाता है, जबकि बायां भाग लंबा हो तो इसे नकारात्मक स्क्यूनेस कहते हैं। - **कर्टोसिस**: यह वितरण की चपलता का माप है। उच्च कर्टोसिस का मतलब है कि वितरण की चोटी अधिक तीव्र है, जबकि कम कर्टोसिस का मतलब है कि वितरण अधिक समग्र है। सामान्य समभावना वक्र की तालिका, स्क्यूनेस और कर्टोसिस के एकीकरण के जरिए, डेटा के विविध आयामों को समझने में महत्वपूर्ण है। इसके माध्यम से विद्यार्थी और शोधकर्ता डेटा वितरण की गहराई से समझ प्राप्त कर सकते हैं।

• 8.1.5. सामान्य सम्भावना वक्र के स्थिरांको में सम्बन्ध (Relation between Constants of Normal Probability Curve)

  • सामान्य समीकरण

    सामान्य समीकरण वह गणितीय टूल है जो विभिन्न प्रकार के आंकड़ों के वितरण का अध्ययन करने में सहायता करता है। सामान्य संभावना वक्र (Normal Probability Curve) एक प्रमुख उपकरण है, जिसे सांख्यिकी में बहुत अधिक महत्व दिया जाता है। यह वक्र गॉसियन वितरण या बेल वक्र के नाम से भी जाना जाता है।

  • सामान्य संभावना वक्र की विशेषताएँ

    सामान्य संभावना वक्र के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। इसमें सबसे प्रमुख यह है कि यह एक बेल के आकार का होता है, जो केंद्र में अधिकतम होता है। इस वक्र का अर्थ है कि अधिकांश आंकड़े औसत के आस-पास होते हैं और जैसे-जैसे हम औसत से दूर जाते हैं, आंकड़ों की संभावना घटती जाती है।

  • सामान्य संभावना की स्थिरांक

    सामान्य वक्र के स्थिरांक, जैसे कि औसत (mean), मानक विचलन (standard deviation) और वैरिएंस (variance) को समझना महत्वपूर्ण है। ये स्थिरांक आंकड़ों के वितरण के आकार और स्वरूप को निर्धारित करते हैं।

  • खालीपन और चौड़ाई (Skewness और Kurtosis)

    खालीपन (skewness) और चौड़ाई (kurtosis) सामान्य वितरण के महत्वपूर्ण पहलू हैं। खालीपन वक्र की समरूपता को दर्शाता है, जबकि चौड़ाई वक्र के शीर्ष पर भीड़ को दर्शाता है।

  • आवेदन

    सामान्य संभावना वक्र का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है जैसे कि विज्ञान, व्यापार, और समाजशास्त्र। यह निर्णय लेने की प्रक्रिया में बहुत महत्व रखता है और आंकड़ों के सही Interpretation में सहायक होता है।

• 8.1.6. सामान्य सम्भावना वक्र/सामान्य वितरण के अनुप्रयोग (Applications of Normal Probability Curve/Normal Distribution)

  • 8.1.6 सामान्य संबावना

    सामान्य संबावना, जिसे सामान्य वितरण या नॉर्मल वितरण के नाम से भी जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण सांख्यिकी उपकरण है जिसका उपयोग डेटा के विश्लेषण और व्याख्या के लिए किया जाता है। सामान्य वितरण की आकृति घंटी के आकार की होती है। इसके मुख्य गुण इस प्रकार हैं: 1. **गुण:** - यह सममित होती है, जिसका अर्थ है कि मीन, मीडिया और मोड सभी समान होते हैं। - डेटा का 68% मान मीन के पहले मानक विचलन के भीतर होता है, 95% मान दो मानक विचलनों के भीतर और 99.7% तीन मानक विचलनों के भीतर होता है। 2. **समीकरण:** - सामान्य वितरण का समीकरण निम्नलिखित है: f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²)) - जहां μ मीन है, σ मानक विचलन है और e अपोलिनियर संख्या है। 3. **निर्गमन:** - सामान्य वितरण का उपयोग बहुत सारे प्राकृतिक और सामाजिक घटनाओं को समझने में किया जाता है जैसे कि कीटों का आकार, मानव ऊंचाई, परीक्षा के अंक आदि। 4. **अनुप्रयोग:** - सामान्य वितरण का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है: - **शिक्षा:** छात्रों की परीक्षा में प्राप्तांक का विश्लेषण करने में। - **औद्योगिक प्रक्रिया:** उत्पाद की गुणवत्ता में विविधता का मूल्यांकन करने में। - **स्वास्थ्य विज्ञान:** रोगियों के लक्षण और प्रतिक्रिया का अध्ययन करने में। 5. **स्क्यूनेस और कर्टोसिस:** - **स्क्यूनेस**: सामान्य वितरण की सममिति को दर्शाता है। यदि स्क्यूनेस ज़ीरो है, तो वितरण सममित है। यदि यह सकारात्मक है, तो वितरण दायां झुका हुआ है और यदि नकारात्मक है, तो बायां झुका हुआ है। - **कर्टोसिस**: वितरण की शिखरता और फैलाव को दर्शाता है। उच्च कर्टोसिस वाले वितरण के केंद्र में अधिक डेटा होते हैं। कुल मिलाकर, सामान्य वितरण एक शक्तिशाली उपकरण है जो डेटा के विश्लेषण और निर्णय लेने की प्रक्रिया में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

• 8.2. सामान्य सम्भावना वक्र में विचलन (Deviation in Normal Probability Curve)

  • 8.2 सामान्य संभावना वक्र में विचलन

    सामान्य संभावना वक्र (Normal Probability Curve) का उद्देश्य है विभिन्न डेटा सेटों की संभावना वितरण को समझना। इस वक्र की विशेषताएँ यह दर्शाती हैं कि डेटा का वितरण एक बेल के आकार में होता है। जब हम सामान्य संभावना वक्र की बात करते हैं, तो इसके साथ जुड़े विभिन्न संख्यात्मक माप होते हैं, जैसे कि माध्य (Mean), मध्य (Median), और मोड (Mode), जो सभी एक ही बिंदु पर होते हैं। इसके अलावा, किसी भी संभावना वितरण का विचलन इस बात को दर्शाता है कि डेटा सामान्य वितरण (Normal Distribution) से कितना भिन्न है।

  • 8.2.1 विकृत वितरण या विषमता

    विकृत वितरण (Skewed Distribution) उस स्थिति का वर्णन करता है जहाँ डेटा का वितरण असमान रूप से फैला होता है। विषमता (Skewness) की माप यह बताती है कि डेटा की रेंज में कुछ मान औसत (Mean) से अधिक दूर हैं। विषमता सकारात्मक (Positive Skew) या नकारात्मक (Negative Skew) हो सकती है। सकारात्मक विषमता तब होती है जब डेटा का सबसे बड़ा हिस्सा दाएं ओर होता है, जबकि नकारात्मक विषमता तब होती है जब डेटा का बड़ा हिस्सा बाएं ओर होता है।

  • 8.2.1.1 विषमता की विशेषताएँ

    विषमता की विशेषताओं में शामिल हैं: 1. यदि विषमता को 0 मानते हैं, तो डेटा सामान्य वितरण का अनुसरण करता है। 2. सकारात्मक विषमता के मामलों में, औसत हमेशा मीडियन से बड़ा होता है। 3. नकारात्मक विषमता में, औसत हमेशा मीडियन से छोटा होता है। इन विशेषताओं से यह समझने में मदद मिलती है कि डेटा का वितरण कैसा है।

  • 8.2.1.2 विषमता के परीक्षण

    विषमता के परीक्षण (Tests of Skewness) में विभिन्न सांख्यिकीय विधियाँ शामिल हैं। इनमें शार्परो परीक्षण (Shapiro-Wilk Test) और डर्नेल परीक्षण (D'Agostino Test) अधिक प्रचलित हैं। ये परीक्षण यह निर्धारित करते हैं कि क्या डेटा सामान्य वितरण का पालन कर रहा है या नहीं।

  • 8.2.1.3 निरपेक्ष विषमता तथा विषमता गुणांक

    निरपेक्ष विषमता (Absolute Skewness) वह माप है जो विषमता के आकार को दर्शाता है, जबकि विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness) कुछ विशेषांक के संबंध में विषमता का माप होता है। यह माप वास्तव में यह बताता है कि डेटा वितरण के विभिन्न हिस्सों में असंतुलन है या नहीं।

  • 8.2.1.4 विषमता के मापण हेतु विधियाँ

    विषमता का माप करने के लिए कई विधियाँ हैं, जैसे कि रॉ (Raw) स्केल या मानक स्केल। यहाँ पर विभिन्न सांख्यिकीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के तौर पर, फर्स्ट ममेन्ट (First Moment) और थर्ड ममेन्ट (Third Moment) का उपयोग किया जाता है।

  • 8.2.1.5 कार्ल पीयरसन की विषमता

    कार्ल पीयरसन की विषमता (Karl Pearson's Skewness) विषमता का मापने के लिए एक प्रसिद्ध सूत्र है। यह औसत और मानक विचलन (Standard Deviation) के उपयोग से विषमता की डिग्री को परिभाषित करता है।

  • 8.2.1.6 बाउली की विषमता

    बाउली की विषमता (Bowley's Skewness) वास्तविक आंकड़ों के विश्लेषण में अधिक सटीकता प्रदान करती है। यह माध्यम के चारों तरफ के डेटा वितरण को ध्यान में रखते हुए विषमता का एक नया विश्लेषण पत्र प्रस्तुत करती है।

  • 8.2.1.7 केली की विषमता

    केली की विषमता (Kelly's Skewness) एक और विधि है जो विशेष रूप से वित्तीय डेटा के विश्लेषण में उपयोग की जाती है। यह विशेष रूप से डेटा के आकार और आकार की विशेषताओं पर जोर देती है, जो विषमता का विश्लेषण करने में मदद करती है।

  • 8.2.2 कुकुडता

    कुकुडता (Kurtosis) डेटा के वितरण की चपलता (Peakedness) का माप है। यह इस बात की जानकारी देता है कि डेटा वितरण की चोटी (Peak) कितनी तीव्र है। उच्च कुकुडता का अर्थ है कि डेटा वितरण में अधिक चपलता है, जबकि निम्न कुकुडता यह दर्शाता है कि डेटा अधिक फैलाव में है।

  • 8.2.2.1 कुकुडता के प्रकार

    कुकुडता के दो मुख्य प्रकार हैं: प्लेट्यू कुकुडता (Platykurtic) और लेप्टोकुर्टिक (Leptokurtic)। प्लेट्यू कुकुडता में डेटा वितरण में चपलता कम होती है और यह अधिक विस्तारित होता है। लेप्टोकुर्टिक में डेटा का अधिक केंद्रित होना दिखाई देता है।

  • 8.2.2.2 वितरित डेटा में विषमता और कुकुडता होने के कारण

    विभिन्न वितरणों में विषमता और कुकुडता का होना विभाजित डेटा के कारण हो सकता है, जैसे कि स्थानिक विविधता, सांस्कृतिक या सामाजिक कारक। ये कारण विश्लेषण के दौरान महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

• 8.2.1. विकृत वितरण या विषमता (Skewed Distribution Skewness)

  • 8.2.1 विकृत वितरण या विषमता (Skewed Distribution Skewness)

    notes

    विकृत वितरण (Skewed Distribution) एक ऐसी सांख्यिकीय स्थिति है जिसमें डेटा का वितरण असमान होता है। इस स्थिति में डेटा के मान अधिकतर किसी एक दिशा में झुके हुए होते हैं। इस खंड में हम विकृत वितरण, उसके प्रकार और उसके माप (Skewness) के बारे में विस्तार से चर्चा करेंगे। ### विकृत वितरण (Skewed Distribution) विकृत वितरण को तीन मुख्य भागों में वर्गीकृत किया जा सकता है: 1. **सकारात्मक विषमता (Positive Skewness)**: जब वितरण का एक लंबा पूंछ दाईं ओर होता है जिससे अधिकतर डेटा बाईं ओर संकेंद्रित होते हैं। 2. **नकारात्मक विषमता (Negative Skewness)**: जब वितरण का एक लंबा पूंछ बाईं ओर होता है जिससे अधिकतर डेटा दाईं ओर संकेंद्रित होते हैं। 3. **समान वितरण (Symmetrical Distribution)**: जब वितरण की पूंछें दोनों ओर बराबर होती हैं और यह सामान्य वितरण की स्थिति दर्शाती है। ### विषम माप (Measure of Skewness) विषमता को मापने के लिए विभिन्न सांख्यिकीय माप होते हैं। विषमता का गणना का एक सामान्य तरीका है तीसरे क्षण (Third Moment) का उपयोग करना। मास सिद्धांत के अनुसार, यदि हम डेटा के सभी मानों का औसत (Mean) निकालें और फिर उनके बीच का अंतर (Deviation) निकालें तो हम विषमता का माप कर सकते हैं। ### वितरण के गुण और उनके अनुप्रयोग विकृत वितरण के कुछ मुख्य गुण: 1. **डाटा की पहचान**: वितरण के विषम रूप के अध्ययन से हमें डेटा की पहचान करने में मदद मिलती है। 2. **निष्कर्ष निकालना**: विषमता के विश्लेषण से हम आंकड़ों से विभिन्न निष्कर्ष निकाल सकते हैं जो भविष्यवाणियों के लिए महत्वपूर्ण हैं। 3. **प्रयोगात्मक अध्ययन**: इसे प्रयोगात्मक डेटा के अध्ययन में उपयोग किया जाता है। विभिन्न क्षेत्रों में विकृत वितरण का अनुप्रयोग होता है, जैसे कि अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान आदि। डेटा विज्ञान में, यह डिस्क्रिप्टिव स्टैटिस्टिक्स का मुख्य घटक है। यह विकृत वितरण का संछिप्त परिचय है और इसकी उपयोगिता एक महत्वपूर्ण संख्यात्मक विश्लेषण में होती है।

• 8.2.1.1. विषमता की विशेषताएँ (Characteristics of Skewness)

  • skewness_characteristics

    विषमता की विशेषताएँ विभिन्न प्रकार के डेटा के वितरण को समझने में महत्वपूर्ण होती हैं। विषमता (Skewness) एक सांख्यिकीय माप है, जो यह दर्शाता है कि डेटा का वितरण कितना असमान है।

  • positive_skewness

    जब एक डेटा सेट में सकारात्मक विषमता होती है, तो इसका अर्थ है कि वितरण का एक अधिकतर हिस्सा बाईं ओर संकुचित होता है और दाहिनी ओर एक या अधिक लंबी पूंछ होती है। इसका मतलब है कि औसत (Mean) पारंपरिक मापों की तुलना में अधिक हो सकता है।

  • negative_skewness

    नकारात्मक विषमता की स्थिति में, डेटा का अधिकांश हिस्सा दाहिनी ओर संकुचित होता है जबकि बाईं ओर एक लंबी पूंछ होती है। इससे औसत,中央値 और मोड के बीच एक निर्णयात्मक अंतर उत्पन्न हो सकता है।

  • measuring_skewness

    विषमता के माप के लिए सांख्यिकीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है, जैसे कि स्क्यूनेस का कोएफिशिएंट। यह एक सांख्यिकीय माप है जो यह बताता है कि डेटा का वितरण कितना विषम है।

  • importance_of_skewness

    विषमता का अध्ययन विभिन्न क्षेत्रों, जैसे कि वित्त, विज्ञान और सामाजिक विज्ञान, में डेटा के वितरण को बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। विषमता की जानकारी विश्लेषणात्मक तकनीकों, निर्णय लेने की प्रक्रियाओं और भविष्यवाणियों में सहायक होती है।

• 8.2.1.2. विषमता के परीक्षण (Tests of Skewness)

  • विषमता के परीक्षण (Tests of Skewness)

    परिचय

    विषमता एक सांख्यिकीय अवधारणा है, जो डेटा वितरण की सिमेट्री को दर्शाती है। विषमता के परीक्षणों का उपयोग यह समझने के लिए किया जाता है कि क्या डेटा वितरण सामान्य वितरण से भिन्न है।

    विषमता के प्रकार

    सकारात्मक विषमता

    जब डेटा की पूंछ दाहिनी ओर लंबी होती है, तो उसे सकारात्मक विषमता कहते हैं। इसका अर्थ यह होता है कि औसत और माध्यमिक मान अधिक होते हैं।

    नकारात्मक विषमता

    जब डेटा की पूंछ बाईं ओर लंबी होती है, तो उसे नकारात्मक विषमता कहते हैं। यहाँ औसत मान माध्यमिक मान से कम होते हैं।

    विषमता के परीक्षणों के प्रमुख तरीके

    Pearson का पहला परीक्षण

    विवरण

    यह परीक्षण विषमता को मापने के लिए औसत, माध्यमिक मान और मानक विभाजन का उपयोग करता है। इसे कोशि के रूप में दिया जाता है।

    सूत्र

    गौण = 3 * (औसत - माध्यमिक मान) / मानक विभाजन

    Bowley का परीक्षण

    विवरण

    यह परीक्षण कटौती का अनुपात लेता है, जिससे विषमता को समझने में मदद मिलती है।

    सूत्र

    गौण = (क्वारटाइल 3 - औसत) / (क्वारटाइल 3 - क्वारटाइल 1)

    मुड़ता परीक्षण

    विवरण

    यह परीक्षण तीसरे आदेश के मुम्ब्रता के माध्यम से विषमता को मापता है।

    उपयोगिता

    विषमता के परीक्षणों का उपयोग डेटा के सामान्य वितरण के अंश को पहचानने में किया जाता है। इससे हमें यह समझने में मदद मिलती है कि हमारे डेटा में असामान्यताएँ हैं या नहीं।

  • सामान्य प्रायिकता वक्र (Normal Probability Curve)

    परिचय

    सामान्य प्रायिकता वक्र एक बेल के आकार का फलक होता है, जो डेटा के वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। इसका उपयोग सांख्यिकीय विश्लेषण में आमतौर पर किया जाता है।

    विशेषताएँ

    सेंट्रल टेंडेंसी

    सामान्य प्रायिकता वक्र का विशेषता यह है कि इसका औसत, माध्यमिक मान और मोड एक ही बिंदु पर होते हैं।

    समानता

    वक्र के दोनों तरफ समान विभाजन होते हैं, जिसका अर्थ है कि डेटा वितरण समान रूप से दोनों दिशाओं में फैला हुआ है।

    स्थिरांक (Constants)

    मानक विभाजन

    सामान्य वितरण के लिए मानक विभाजन महत्वपूर्ण है, जो हमें डेटा फैलाव की जानकारी देता है।

    μ (म्यू)

    यह सामान्य वितरण का औसत होता है।

    σ (सिग्मा)

    यह सामान्य वितरण का मानक विभाजन होता है।

    अनुप्रयोग

    स्वास्थ्य विज्ञान

    सामान्य प्रायिकता वक्र का उपयोग विभिन्न स्वास्थ्य डेटा के विश्लेषण में किया जाता है।

    शिक्षा

    छात्रों के प्रदर्शन के अध्ययन में सामान्य वितरण का प्रयोग होता है।

    कुर्तोसिस (Kurtosis)

    परिभाषा

    कुर्तोसिस डेटा के वितरण की 'चपलता' या 'ज़मीन' की विशेषता है।

    उपप्रकार

    सामान्य कुर्तोसिस

    जब कुर्तोसिस 3 होता है, तब वितरण सामान्य होता है।

    मिलन वाला कुर्तोसिस

    जब कुर्तोसिस 3 से कम होता है, तब वितरण अधिक सपाट होता है।

    तीखा कुर्तोसिस

    जब कुर्तोसिस 3 से अधिक होता है, तब वितरण अधिक ऊँचा होता है।

• 8.2.1.3. निरपेक्ष विषमता (Absolute Skewness) तथा विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness)

  • 8.2.1.3. निरपेक्षण विषमता (Absolute Skewness)

    notes

    निरपेक्षण विषमता, जिसे अंग्रेजी में Absolute Skewness कहा जाता है, एक सांख्यिकी माप है जो एक डेटा सेट के वितरण के असममिति को दर्शाता है। यह माप उन परिस्थितियों को समझने में मदद करता है जब डेटा का वितरण सममित नहीं होता है। निरपेक्षण विषमता की गणना करने के लिए, पहले हम डेटा का औसत और मानक विचलन निकालते हैं, और फिर हम उस जानकारी का उपयोग करके विषमता की गणना करते हैं। जब निरपेक्षण विषमता की मान सकारात्मक होती है, तो इसका अर्थ है कि डेटा का अधिकांश भाग औसत से बाईं ओर है, जबकि जब यह नकारात्मक होती है, तो डेटा का अधिकांश भाग दाईं ओर होता है। एक निरपेक्षित विषमता के मान का मूल्यांकन करने से हम यह समझ सकते हैं कि क्या डेटा सामान्य वितरण के अपेक्षित मानक से भिन्न है।

  • विषमता गुणांक (Coefficient of Skewness)

    notes

    विषमता गुणांक, जिसे अंग्रेजी में Coefficient of Skewness कहा जाता है, डेटा सेट की असममिति की गणना के लिए उपयोग किया जाने वाला एक माप है। यह सामान्य वितरण के संदर्भ में विभिन्नता के बारे में जागरूकता प्रदान करता है। विषमता गुणांक को विभिन्न तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि: 1. **Pearson's First Coefficient of Skewness**: यह गुणांक औसत, मध्यम और मानक विचलन का उपयोग करता है। इसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है: Skewness = 3 (Mean - Median) / Standard Deviation 2. **Pearson's Second Coefficient of Skewness**: यह गुणांक औसत, द्वितीयक और क्यूटिल का उपयोग करता है। यह परिभाषा वितरण के प्रकार को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती है। Skewness = (Mean - Mode) / Standard Deviation विषमता गुणांक के मान के आधार पर, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: - यदि गुणांक का मान 0 के आसपास है, तो डेटा सामान्य रूप से वितरित है। - यदि गुणांक का मान 0 से अधिक है, तो डेटा दाईं ओर झुका हुआ है (positive skew). - यदि गुणांक का मान 0 से कम है, तो डेटा बाईं ओर झुका हुआ है (negative skew). विषमता गुणांक का उपयोग व्यावसायिक निर्णय लेने, सांख्यिकीय मॉडलिंग, और डेटा विश्लेषण में व्यापक रूप से किया जाता है।

• 8.2.1.4. विषमता के मापन हेतु विधियाँ (Methods for the Measurement of Skewness)

  • विषमता के मापने हेतु विधियाँ

    विषमता (Skewness) एक सांख्यिकीय माप है जो वितरण की तिरछाई को दर्शाता है। विषमता को मापने के लिए कई विधियाँ मौजूद हैं, जैसे: 1. **आधार विधि:** यह विधि वितरण के डेटा को उसके औसत से तुलना करके विषमता निर्धारित करती है। यदि औसत,中央値 (Median), और मोड (Mode) का संबंध विषमता का संकेत देता है। यदि औसत > मोड >中央値 हो, तो वितरण दाएँ ओर तिरछा है और यदि औसत < मोड <中央値 हो, तो वितरण बाएँ ओर तिरछा है। 2. **मैथमैटिकल विधियाँ:** विषमता के माप के लिए निम्नलिखित गणितीय सूत्रों का उपयोग किया जाता है: - **पहला तरीक़ा (Pearson's 1st Formula):** Skewness = 3 * (Mean - Median) / Standard Deviation - **दूसरा तरीक़ा (Pearson's 2nd Formula):** Skewness = (Mean - Mode) / Standard Deviation इन सूत्रों द्वारा हमें यह पता चलता है कि क्या वितरण तिरछा है और किस दिशा में। 3. **मौलीक विधियाँ:** ये विधियाँ अधिक जटिल हैं और गणितीय सांख्यिकी में उपयोग होती हैं। उनमें कर्टोसिस (Kurtosis) के साथ जोड़कर विषमता का मापन किया जाता है। कर्टोसिस वितरण के तीखेपन को दर्शाता है और यह बताता है कि डेटा कितना फैलाव है। 4. **सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर के उपयोग:** आजकल कई सांख्यिकीय सॉफ़्टवेयर (जैसे R, SPSS, Python आदि) हैं, जो विषमता और कर्टोसिस को मापने के लिए ट्रेंडिंग विशेषताओं के साथ विश्लेषण प्रदान करते हैं। ये विधियाँ विषमता की माप के लिए आवश्यक हैं और सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं। वितरण का सही विश्लेषण करने के लिए विषमता का माप बहुत महत्वपूर्ण है।

• 8.2.1.5. कार्ल पियरसन की विषमता (Karl Pearson's Skewness)

  • कार्ल पियर्सन की विषमतता (Karl Pearson's Skewness)

    details

    कार्ल पियर्सन की विषमतता एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय उपाय है जो किसी डेटा सेट के वितरण की असामान्यता को मापता है। विषमतता यह दर्शाती है कि डेटा का वितरण कितना सममित है। यदि वितरण का अपना शिखर बायां या दायां झुकता है, तो उसे विषम कहा जाता है। विषमता को तीन श्रेणियों में बांटा गया है: 1. सकारात्मक विषमता: जब अधिकांश डेटा बाएं तरफ संकुचित होते हैं और दायां विस्तार होता है, तो वितरण में एक लंबा दाहिना पंख होता है। इस स्थिति में, माध्य (mean) >= मीडिया (median) > मोड (mode) होता है। 2. नकारात्मक विषमता: जब अधिकांश डेटा दाएं तरफ संकुचित होते हैं और बायां विस्तार होता है, तो वितरण में एक लंबा बायां पंख होता है। इस स्थिति में, मोड > मीडिया > माध्य होता है। 3. शून्य विषमता: जब डेटा का वितरण पूरी तरह से सममित होता है, जैसे कि सामान्य वितरण, तब माध्य, मीडिया और मोड सभी समान होते हैं। विषमता को मापने के लिए, कार्ल पियर्सन ने निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया: Skewness = (3 × (Mean - Median)) / Standard Deviation यह सूत्र हमें यह बताता है कि जब माध्य मीडिया से अधिक होता है, तो विषमता सकारात्मक होती है और जब मीडिया माध्य से अधिक होता है, तो विषमता नकारात्मक होती है। अध्ययन में विषमतता का उपयोग कई क्षेत्र जैसे अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान, और सामाजिक विज्ञान में किया जाता है। यह डेटा की सामान्यता और उसके वितरण के रूप को समझने में मदद करता है। इसलिए, कार्ल पियर्सन की विषमतता डेटा सेट के व्यवहार को समझने और उसकी विश्लेषणात्मक प्रक्रिया को मार्गदर्शित करने में एक अनिवार्य उपकरण है।

• 8.2.1.6. बाउले की विषमता (Bowley's Skewness)

  • 8.2.1.6. बाउले की विषमतता (Bowley's Skewness)

    बाउले की विषमतता, जिसे Bowley's Skewness कहा जाता है, सांख्यिकी में एक महत्वपूर्ण माप है, जिसका उपयोग वितरण के आकार का आकलन करने के लिए किया जाता है। यह विशेष रूप से यह निर्धारित करने में सहायक होती है कि कोई विशेष वितरण तिरछा (skewed) है या नहीं। 1. **बुनियादी जानकारी**: बाउले की विषमतता का सूत्र विशेष रूप से क्वारटाइल्स का उपयोग करता है। इसका सूत्र इस प्रकार है: \[ SK = \frac{Q3 + Q1 - 2Q2}{Q3 - Q1} \] जहाँ Q1, Q2, और Q3 क्रमशः पहले, दूसरे (माध्य) और तीसरे क्वारटाइल्स को दर्शाते हैं। 2. **विषमतता का परिभाषिकी**: विषमतता एक वितरण का असामान्य आकार है। यदि एक वितरण में अधिकतर डेटा बाएँ या दाएँ तरफ झुका हुआ है, तो इसे तिरछा कहा जाता है। - बाएँ तिरछा (Negative Skew): अधिकतर मान दाएँ सिरे पर होते हैं। - दाएँ तिरछा (Positive Skew): अधिकतर मान बाएँ सिरे पर होते हैं। 3. **प्रयोग**: बाउले की विषमतता का उपयोग विशेष रूप से डेटा सेट के आकार और वितरण को समझने के लिए किया जाता है। यह अनियमितताओं को पहचानने में मदद करता है जो किसी विशिष्ट अध्ययन में महत्वपूर्ण हो सकते हैं। - उदाहरण: एक कंपनी की बिक्री का डेटा, जहाँ अधिकांश बिक्री उच्च मूल्य के उत्पादों की है, लेकिन कुछ बिक्री बहुत कम मूल्य के उत्पादों की भी हो सकती है। 4. **तुलना अन्य मापों के साथ**: बाउले की विषमतता को अन्य विषमतता मापों, जैसे कि पेयान की विषमतता (Pearson's Skewness) के साथ तुलना की जा सकती है। जबकि बाउले की विषमतता क्वारटाइल्स पर निर्भर करती है, पेयान की विषमतता औसत और मानक विचलन पर आधारित होती है। 5. **विशेषताएँ**: - यह सांख्यिकीय माप सरल और सहज है। - यह सातत्यपूर्ण डेटा पर अधिक प्रभावी होती है और सामान्यता की धारणाओं से कम प्रभावित होती है। इस प्रकार, बाउले की विषमतता साधारण से लेकर जटिल डेटा सेटों के विश्लेषण में एक प्रभावी उपकरण है। यह विभिन्न क्षेत्रों में, जैसे कि अर्थशास्त्र, विज्ञान, और अनुसंधान में उपयोगी है, जहाँ डेटा का वितरण महत्वपूर्ण होता है।

• 8.2.1.7. कैली की विषमता (Kelly's Skewness)

  • कैली की विषमता (Kelly's Skewness)

    कैली की विषमता, सांख्यिकी में एक महत्वपूर्ण माप है जिसका उपयोग डेटा के वितरण की आकार की विविधता का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। यह विशेष रूप से यह मूल्यांकन करने में सहायक है कि डेटा वितरण कितना असमान है या कितना तिरछा है। ### 1. परिभाषा: कैली की विषमता को निम्नलिखित सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: \[ S = \frac{E[X - \mu]^3}{(E[X - \mu]^2)^{3/2}} \] यहाँ, \( E \) अपेक्षात्मक मान है, \( X \) डेटा के अंक हैं, और \( \mu \) डेटा का औसत है। ### 2. विशेषताएँ: - इस माप का मान 0 के बराबर होता है यदि डेटा वितरण सामान्य रूप का है। - यदि इसका मान 0 से अधिक है, तो वितरण दाएं तिरछा होता है। - यदि इसका मान 0 से कम है, तो वितरण बाएं तिरछा होता है। ### 3. प्रयोग: कैली की विषमता सांख्यिकीय विश्लेषण में विभिन्न क्षेत्रों में प्रयोज्य होती है। जैसेः a. **वित्त**: यहां यह माप यह समझने में मदद करता है कि किसी निवेश के संभावित रिटर्न का वितरण कैसे है। b. **शोध**: विभिन्न अध्ययनों में डेटा के वितरण के संदर्भ में, यह विषमता समझने में मदद करती है। ### 4. सामान्य संभावना वक्र के संदर्भ में: कैली की विषमता का अध्ययन सामान्य संभावना वक्र (Normal Probability Curve) से जुड़ा होता है। सामान्य संभावना वक्र एक ऐसी वक्र है जिससे यह दर्शाया जाता है कि किसी वितरण के डेटा का अधिकतम भाग औसत के आसपास ही होता है। यदि कैलि की विषमता सामान्य संभावना वक्र के सापेक्ष समझी जाए, तो यह समझ में आता है कि निरंतर डेटा वितरण में विषमता का माप करने के लिए कैलि की विषमता अत्यधिक महत्वपूर्ण है। ### 5. उत्कोचन: कैली की विषमता और कुर्तोसिस (Kurtosis) दोनों मोड़ द्वारा वितरण के आकार की जानकारी देते हैं। जहाँ कैलि की विषमता तिरछापन दिखाती है, वहीं कुर्तोसिस चोटी की तीव्रता को दर्शाता है। कुल मिलाकर, कैलि की विषमता का अभ्यास करना और समझना सांख्यिकी में महत्वपूर्ण है और यह विभिन्न प्रकार के डेटा के वितरण को बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है।

• 8.2.2. कुकुदता (Kurtosis)

  • कुकुदता (Kurtosis)

    • परिभाषा

      कुकुदता एक सांख्यिकीय माप है जो डेटा वितरण के कोणीयता को मापता है। यह बताता है कि वितरण के सिरे अधिक ऊँचे या नीचे होते हैं या नहीं।

    • प्रकार

      कुकुदता के तीन मुख्य प्रकार होते हैं: सकारात्मक कुकुदता, नकारात्मक कुकुदता, और शून्य कुकुदता। सकारात्मक कुकुदता का मतलब है कि वितरण के सिरों पर अधिक मात्रा है, जबकि नकारात्मक कुकुदता का मतलब है कि वितरण के सिरों पर कम मात्रा होती है। शून्य कुकुदता का अर्थ है कि वितरण सामान्य वितरण के समान है।

    • महत्व

      कुकुदता का महत्व डेटा वितरण की तिरछाई से संबंधित है। एक उच्च कुकुदता इनफॉर्मेशन के ओटसाइड शाखाओं की उपस्थिति को दर्शाता है, जो विभिन्न सांख्यिकीय एनालिसिस को प्रभावित कर सकता है।

    • उपयोग

      कुकुदता का उपयोग वित्तीय आंकड़ों, जनसंख्या अध्ययन, और उपभोक्ता व्यवहार के अध्ययन में किया जाता है, जहां समझना आवश्यक होता है कि डेटा कैसे उच्चतम और निम्नतम मानों के आसपास वितरित होता है।

    • संबंधित अवधारणाएँ

      कुकुदता का तात्पर्य स्क्यूनस (Skewness) से भी है, जो वितरण के क्षैतिज असामान्यता को मापता है। स्क्यूनस और कुकुदता दोनों सांख्यिकी में महत्वपूर्ण होते हैं और डेटा को बेहतर ढंग से समझने में मदद करते हैं।

• 8.2.2.1. कुकुदता के प्रकार (Types of Kurtosis)

  • कुकुदता के प्रकार

    कुकुदता एक सांख्यिकी माप है जो वितरण के आकार और उसके विभिन्न गुणों को दर्शाता है। यह विशेष रूप से वितरण की चपटा या ऊँचा होने का माप है। कुकुदता को समझने के लिए हमें इसके तीन मुख्य प्रकारों पर ध्यान देना होगा: 1. **समान कुकुदता (Mesokurtic)** - जब वितरण की कुकुदता मानक सामान्य वितरण के समान होती है, तो उसे समान कुकुदता कहते हैं। इसका मान 0 होता है। इस प्रकार के वितरण में डेटा का वितरण और सामान्य रूप से सममित होती है। - **विशेषताएँ:** - इससे संबंधित वितरण में डेटा की मात्रा समानly वितरित होती है। - यह कुकुदता सामान्य वितरण की विशेषता को दर्शाता है। 2. **प्लेटू कुकुदता (Platykurtic)** - प्लेटू कुकुदता तब होती है जब वितरण चपटा होता है। इसका मान नकारात्मक होता है। इस प्रकार के वितरण में डेटा में विविधता अधिक होती है और डेटा प्वाइंट्स के बीच की दूरी अधिक होती है। - **विशेषताएँ:** - प्लेटू वितरण में मध्यम मान के चारों ओर डेटा की मात्रा कम होती है। - यह वितरण सामान्य वितरण की तुलना में अधिक फैलाव वाला होता है। 3. **लिपट कुकुदता (Leptokurtic)** - लिपट कुकुदता तब होती है जब वितरण अधिक ऊँचा होता है। इसका मान सकारात्मक होता है। इस प्रकार के वितरण में मध्यम मान के चारों ओर डेटा की मात्रा अधिक होती है। - **विशेषताएँ:** - लिपट वितरण में अधिकतर डेटा प्वाइंट्स मध्यम मान के आस-पास होते हैं। - यह वितरण सामान्य वितरण से अधिक स्क्वीजी होता है जिससे अधिक चरम मान उत्पन्न होते हैं। कुकुदता का प्रयोग सांख्यिकी में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें डेटा के वितरण के विशिष्ट गुणों को समझने में मदद करता है। जब हम संदर्भित करते हैं सामान्य संभाव्यता वक्र की विशिष्टताओं, तो कुकुदता हमें वितरण की विशेषताओं का विश्लेषण करने में सहायक होती है। इसके माध्यम से हम विभिन्न प्रकार के डेटा सेट्स की समझ और विश्लेषण को बेहतर बना सकते हैं।

• 8.2.2.2. वक्रों में विकृत वितरण एवं कुकुदता होने के कारण (Reasons for Skewed Distribution and Kurtosis in Curves)

  • वक्रों में विकृत वितरण और कुकुडता होने के कारण

    विकृत वितरण (Skewed Distribution) उन वितरणों को संदर्भित करता है जिनमें डेटा का वितरण समरूप नहीं होता। यह एक महत्वपूर्ण सांख्यिकीय विशेषता है जो किसी वितरण के आकार को दर्शाता है। विभिन्न कारणों से वक्रों में विकृत वितरण उत्पन्न हो सकता है। 1. **डेटा का असमान वितरण**: जब डेटा की एक बड़ी संख्या एक विशेष दिशा में होती है और कुछ बिंदुओं का वितरण उसके विपरीत दिशा में होता है, तो विकृत वितरण उत्पन्न होता है। उदा: यदि किसी उत्पाद के मूल्य में भिन्नता हैं तो वह विकृत हो सकता है। 2. **बाहरी प्रभाव**: कई बार बाहरी कारक जैसे आर्थिक स्थिति, जनसंख्या का परिवर्तन आदि डेटा को विकृत कर सकते हैं। जब इन बाहरी प्रभावों से डेटा में अनियमितताएँ आती हैं, तो सूची विकृत हो जाती है। 3. **असामान्य चर**: कुछ चर ऐसे होते हैं जो अन्य विशेषताओं के मुकाबले अधिक प्रभावशाली होते हैं। यदि ये चर डेटा में शामिल होते हैं तो वे वक्र के आकार को विकृत कर सकते हैं। 4. **उदाहरण के लिए**: वित्तीय डेटा में अक्सर उच्च मुनाफा या घाटा होने के कारण वितरण विकृत होता है। कुकुडता (Kurtosis) किसी वितरण की चोटी और फैलाव को दर्शाता है। अगर वितरण की चोटी अधिक तीव्र है, तो उसे उच्च कुकुडता कहा जाता है, जबकि यदि चोटी कम तीव्र है, तो उसे निम्न कुकुडता कहा जाता है। कुकुडता भी निम्नलिखित कारणों से उत्पन्न हो सकता है: 1. **अवशेष मूल्य**: कुछ वितरण में अवशेष मूल्य अधिक होते हैं, जो कुकुडता को बढ़ाते हैं। 2. **संपूर्णता**: उच्च कुकुडता अक्सर संकेत देती है कि अधिकांश डेटा का केंद्र एक ही स्थान पर संकुचित है, लेकिन कुछ डेटा दूर होते हैं। वक्रों की सामान्य गणना में, विकृत वितरण और कुकुडता उनकी पहचान करते हैं। **निष्कर्ष**: वक्रों में विकृत वितरण और कुकुडता को समझना आवश्यक है, क्योंकि यह किसी डेटा सेट की प्रवृत्तियों और संभावित विकल्पों को निर्धारित करने में मदद करता है। इन विशेषताओं का उचित अध्ययन करके हम डेटा के वास्तविक प्रकृति को समझ सकते हैं और सही निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

• 8.3. अभ्यास प्रश्न (Exercise)

  • सामान्य संभावना वक्र (Normal Probability Curve)

    सामान्य संभावना वक्र, जिसे गॉसियन या बेल वक्र भी कहा जाता है, एक निरंतर संभावना वितरण का एक विशेष रूप है। यह वक्र डेटा के वितरण को दर्शाता है और यह अत्यधिक महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से सांख्यिकी की विभिन्न शाखाओं में। सामान्य संभावना वक्र की कुछ विशेषताएं इस प्रकार हैं: 1. **समान्यकरण**: वक्र एक सममित आकृति में होता है, जो कि मानक विचलन के सापेक्ष केंद्रित होता है। असामान्य बाह्य मान (outliers) की अनुपस्थिति में, यह अधिकांश डेटा को केंद्र के आसपास समेकित करता है। 2. **माध्य, माध्यिका और मोड**: इन तीनों का मान समान होता है और यह वक्र के शीर्ष बिंदु पर होता है। 3. **बेल आकार**: इसका आकार बेल के समान होता है, जिसमें दोनों और की धारियाँ धीरे-धीरे गिरती हैं। 4. **अनंत फैलाव**: वक्र के दोनों छोर अनंत होते हैं, जिसका अर्थ है कि संभावना हमेशा मौजूद होती है। 5. **समभाविता क्षेत्र (Area under the Curve)**: वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 के बराबर होता है, जो कुल संभावना को दर्शाता है।

  • सामान्य संभावना वक्र के विशेष गुण (Characteristics of Normal Probability Curve)

    सामान्य संभावना वक्र के कुछ विशेष गुण निम्नलिखित हैं: 1. **सममिति**: वक्र वास्तविक माध्य के चारों ओर सममित होता है और इसका दायां और बायां भाग समान होता है। 2. **मोड, माध्यिका और माध्य**: वक्र के शीर्ष बिंदु पर ये तीनों मूल्य समान होते हैं। 3. **मानक विचलन (Standard Deviation)**: वक्र की चौड़ाई मानक विचलन द्वारा निर्धारित होती है। 4. **68-95-99.7 नियम**: एक सामान्य संभावना वक्र में, लगभग 68% डेटा माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, 95% डेटा दो मानक विचलन के भीतर और 99.7% डेटा तीन मानक विचलन के भीतर आता है।

  • सामान्य संभावना वक्र के अनुप्रयोग (Applications of Normal Probability Curve)

    सामान्य संभावना वक्र का विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग होता है। इसके अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं: 1. **सांख्यिकी**: डेटा का विश्लेषण और सांख्यिकीय परीक्षण इसके भीतर किया जाता है। 2. **इंजीनियरिंग**: गुणवत्ता नियंत्रण में इसका उपयोग होता है। 3. **समाज विज्ञान**: मनोविज्ञान, अर्थशास्त्र, और अन्य सामाजिक विज्ञानों में सामान्य संभावना वक्र का उपयोग परिणामों का पूर्वानुमान लगाने में होता है। 4. **स्वास्थ्य विज्ञान**: जनसंख्या के स्वास्थ्य डेटा का आकलन इसके द्वारा किया जाता है।

  • झुकावता (Skewness) और कर्टोसिस (Kurtosis)

    झुकावता और कर्टोसिस, सामान्य संभावना वक्र के विश्लेषण में महत्वपूर्ण विशेषताएँ हैं। 1. **झुकावता (Skewness)**: यह किसी वितरण की सममिति को मापने वाला एक माप है। यदि वक्र दाएं लंबा है, तो इसे सकारात्मक झुकाव कहा जाता है, और यदि बाएं लंबा है, तो इसे नकारात्मक झुकाव कहा जाता है। 2. **कurtosis**: यह वितरण की चपेट को मापता है। उच्च कर्टोसिस वाले वक्र का मतलब होता है कि ये डेटा में चरम मान (extreme values) अधिक होते हैं। कर्टोसिस तीन श्रेणियों में विभाजित होती है: плоская खुशка, нормальная खुशка, и остроконечная счастье।