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Semester 6: Metric Spaces and Complex Analysis
Basic Concepts of Metric spaces: Definition and examples, Sequences in metric spaces, Cauchy sequences, Complete metric space
Basic Concepts of Metric Spaces
Definition of Metric Spaces
मेट्रिक स्पेस की परिभाषा एक सेट और एक मेट्रिक के जोड़े के रूप में दी जाती है। मेट्रिक एक फलन होता है जो सेट के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को परिभाषित करता है। इसे d(x,y) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ x और y सेट के दो बिंदु हैं। मेट्रिक को निम्नलिखित मानदंडों को पूरा करना चाहिए: (i) d(x,y) >= 0 (ii) d(x,y) = 0 यदि और केवल यदि x = y (iii) d(x,y) = d(y,x) (iv) d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) (जिन्हें त्रिकोणीय असमानता कहा जाता है)।
Examples of Metric Spaces
मेट्रिक स्पेस के कई उदाहरण हैं: 1. Euclidean Space: वास्तविक संख्याओं का सेट R^n, जिसमें मेट्रिक d(x,y) = √(∑(xi - yi)²) है। 2. Discrete Metric: यदि किसी सेट X पर मेट्रिक d(x,y) = 0 यदि x = y, अन्यथा d(x,y) = 1 है। 3. Taxicab Metric: R² में, d((x1,y1),(x2,y2)) = |x1 - x2| + |y1 - y2|।
Sequences in Metric Spaces
मेट्रिक स्पेस में अनुक्रम एक क्रमबद्ध बिंदुओं की श्रृंखला होती है। अगर (x_n) एक अनुक्रम है, तो यह मेट्रिक स्पेस में किसी बिंदु x की ओर अभिगमन करता है यदि d(x_n, x) → 0 जब n → ∞।
Cauchy Sequences
कौची अनुक्रम वे अनुक्रम होते हैं जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: एक अनुक्रम (x_n) कौची है अगर हर ε > 0 के लिए, एक N ऐसा है कि जब n, m > N होते हैं, तब d(x_n, x_m) < ε।
Complete Metric Space
पूर्ण मेट्रिक स्पेस वह होता है जिसमें हर कौची अनुक्रम की सीमा भी उसी स्पेस में होती है। इसका अर्थ है कि यदि (x_n) एक कौची अनुक्रम है, तो वहां एक बिंदु x है, जिसके लिए x_n → x। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ R एक पूर्ण मेट्रिक स्पेस हैं।
Topology of Metric Spaces: Open and closed balls, Neighborhoods, Open sets, Interior of a set, limit points of a set, derived sets, closed sets, closure of a set, diameter of a set, Cantor’s intersection theorem, Subspaces, Dense set
Topology of Metric Spaces
खुले और बंद बॉल्स का उपयोग मेट्रिक स्पेस में एक बिंदु के आसपास के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। एक खुली गेंद किसी बिंदु के चारों ओर होती है, जहाँ सभी बिंदुओं की दूरी एक निश्चित मात्रा से कम होती है। बंद गेंद में बिंदु और उस दूरी के भीतर सभी बिंदु शामिल होते हैं।
एक पड़ोस किसी बिंदु के चारों ओर एक खुली सेट होती है, जिसमें वह बिंदु शामिल होता है। यह मेट्रिक स्पेस में बिंदुओं के आपसी संबंध को स्पष्ट करता है।
खुले सेट में सभी बिंदुओं के लिए एक पड़ोस होता है, जो पूरी सेट का हिस्सा होते हैं। यह टोपोलॉज़ी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है।
किसी सेट का आंतरिक भाग वह सब बिंदु होते हैं जो उस सेट में पूरी तरह से स्थित होते हैं। इसका अर्थ है कि उनके लिए एक पड़ोस भी उसी सेट में होगा।
सीमावर्ती बिंदु वे बिंदु होते हैं जिनके लिए किसी सेट में बिंदुओं की एक श्रेणी निकटता से मिलती है।
दिसींडेड सेट वो सेट हैं जो सभी सीमावर्ती बिंदुओं को शामिल करते हैं।
बंद सेट में उसके सभी सीमावर्ती बिंदु शामिल होते हैं। यह खुले सेट का एक महत्वपूर्ण विपरीत है।
किसी सेट के बंद होने का अर्थ है कि उस सेट में सभी बिंदु और उसके सीमावर्ती बिंदु शामिल हैं।
किसी सेट का व्यास उस सेट के भीतर दो सबसे दूरस्थ बिंदुओं के बीच की दूरी को दर्शाता है।
कैंटोर का अनुनासिक थ्योरम यह बताता है कि यदि हम लगातार संकुचित बंद सेटों के अनुक्रम लेते हैं, तो उनका अभिसरण बिन्दु एक बिंदु होगा।
उपक्षेत्र मूल मेट्रिक स्पेस का एक नया टोपोलॉजिकल स्पेस है जो एक छोटे से सेट से बनाया गया है।
घना सेट वह सेट होता है जिसमें कोई भी बिंदु किसी भी निकटतम बिंदु से निकटता से मिल सकता है। यहाँ 'घनत्व' का अर्थ है कि कोई भी बिंदु निश्चित रूप से इस सेट में मिलेगा।
Continuity and Uniform Continuity in Metric Spaces: Continuous mappings, Sequential criterion and other characterizations of continuity, Uniform continuity, Homeomorphisms, Contraction mappings, Banach fixed point theorem
Continuity and Uniform Continuity in Metric Spaces
Metric Spaces
मेट्रिक स्पेस एक गणितीय संरचना है जिसमें एक सेट और एक मेट्रिक शामिल होता है, जो सेट के तत्वों के बीच की दूरी को मापने का एक तरीका प्रदान करता है। एक मेट्रिक स्पेस को (X, d) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ X सेट है और d एक फ़ंक्शन है जो दो तत्वों के बीच की दूरी देता है।
Continuous Mappings
एक निरंतर मानचित्र एक ऐसा फ़ंक्शन f: X → Y है, जहाँ X और Y मेट्रिक स्पेस हैं, यदि किसी भी ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद होता है, ताकि d_X(x_1, x_2) < δ होने पर d_Y(f(x_1), f(x_2)) < ε हो।
Sequential Criterion of Continuity
संपूर्णता का एक आंतरिक सिद्धांत, निरंतरता का अनुक्रमात्मक मानदंड कहता है कि यदि हर अनुक्रम {x_n} जो x की ओर अभिसरण करता है, का छवि अनुक्रम {f(x_n)} भी y की ओर अभिसरण करता है, तो f निरंतर है।
Uniform Continuity
एक फ़ंक्शन f: X → Y को समान निरंतरता कहा जाता है, अगर सभी ε > 0 के लिए, एक δ > 0 मौजूद होता है, जो कि सभी x_1, x_2 ∈ X के लिए d_X(x_1, x_2) < δ होने पर d_Y(f(x_1), f(x_2)) < ε हो। यह इस बात को दर्शाता है कि पूरे डोमेन में निरंतरता एक समान होती है।
Homeomorphisms
होमिओमोर्फिज़्म ऐसे निरंतर फ़ंक्शन होते हैं जिनका उल्टा भी निरंतर होता है। दो मेट्रिक स्पेस X और Y को एक दूसरे के होमिओमोर्फिक कहा जाता है यदि एक होमिओमोर्फिज़्म f: X → Y मौजूद है।
Contraction Mappings
कॉन्ट्रैक्शन मैपिंग एक प्रकार का फ़ंक्शन f: X → X है, जिसके लिए एक कोंस्टेंट 0 ≤ k < 1 है, ऐसा कि d(f(x), f(y)) ≤ k * d(x, y) हर x, y ∈ X के लिए।
Banach Fixed Point Theorem
बानाच स्थिर बिंदु प्रमेय कहता है कि यदि (X, d) एक संपूर्ण मेट्रिक स्पेस है और f: X → X एक संकुचन मानचित्र है, तो f में एक अद्वितीय स्थिर बिंदु है, जिससे f फिक्स्ड पॉइंट के सिद्धांत को सुदृढ़ करता है।
Connectedness and Compactness: Connectedness, Connected subsets of a metric space, Connectedness and continuous mappings, Compactness, Compactness and boundedness, Continuous functions on compact spaces
Connectedness and Compactness
Connectedness
किसी मेट्रिक स्पेस में दो बिंदुओं के बीच एक निरंतर पथ का अस्तित्व कनेक्टेडनेस की पहचान है। जब एक सेट को दो गैर-खाली, ओपन सेटों में बाँटते हैं, तो वह सेट कनेक्टेड नहीं होता।
Connected subsets of a metric space
एक मेट्रिक स्पेस का कनेक्टेड सबसेट वह होता है जिसमें हर दो बिंदुओं के बीच एक निरंतर पथ मौजूद होता है। इसे कनेक्टेड सेट कहा जाता है।
Connectedness and continuous mappings
कॉन्टीन्यूइटी के अंतर्गत, यदि एक कनेक्टेड सेट को किसी निरंतर बिंदु के मैपिंग द्वारा किसी अन्य सेट में भेजा जाता है, तो उसका इमेज भी कनेक्टेड होगा।
Compactness
एक सेट कम्पैक्ट माना जाता है यदि हर ओपन कवर का एक फाइन सबकवर हो। इसे बौल्ज़ियान संभावना के सिद्धांत से जोड़ा जा सकता है।
Compactness and boundedness
जिन सेटों में एक निश्चित बाउंडरी होती है और जो कम्पैक्ट होते हैं, उन्हें बाउंडेड सेट कहा जाता है। हर कम्पैक्ट सेट बाउंडेड होता है।
Continuous functions on compact spaces
कम्पैक्ट स्पेस पर निरंतर फंक्शन्स हर कनेक्टेड सेट के इमेज को कनेक्टेड बनाती हैं। इसके अलावा, यदि कोई निरंतर फंक्शन एक कम्पैक्ट सेट पर परिभाषित है, तो उसका इमेज भी कम्पैक्ट होगा।
Analytic Functions and Cauchy-Riemann Equations: Functions of complex variable, Mappings; Mappings by the exponential function, Limits, Theorems on limits, Limits involving the point at infinity, Continuity, Derivatives, Differentiation formulae, Cauchy-Riemann equations, Sufficient conditions for differentiability; Analytic functions and their examples. Milne-Thompson method
Analytic Functions and Cauchy-Riemann Equations
Complex Variables
संख्याओं की एक शाखा जिसमें वास्तविक और काल्पनिक भाग होते हैं। एक जटिल संख्या को z = x + iy के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x और y क्रमशः वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं।
Mappings in Complex Analysis
जटिल विश्लेषण में, एक मानचित्र एक कार्य है जो एक जटिल संख्या के हर बिंदु को दूसरे बिंदु पर मानचित्रित करता है। ये मानचित्र कई तरीकों से परिभाषित किए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, अन्वेषणात्मक कार्य।
Exponential Function Mappings
जटिल परिवर्तनों के लिए वर्णनात्मक कार्य के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। जैसे, e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) जो एक वृत्त के मानचित्रण का प्रतिनिधित्व करता है।
Limits and Theorems
जटिल कार्यों में, सीमा के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं। इन्हें विभिन्न सैद्धांतिक कार्यों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, जैसे डेल्टा-एप्सिलॉन विधि।
Limits at Infinity
जटिल विश्लेषण में, अनंत बिंदु पर सीमा की गणना की जाती है। यह कार्य के व्यवहार को समझने में सहायक है जब z की मात्रा अनंत की ओर बढ़ती है।
Continuity
एक जटिल कार्य निरंतर है यदि छोटी परिवर्तनों पर उसका मान नगण्य बदलाव दिखाता है। यह पिछले बिंदुओं की सीमाओं से जुड़ा होता है।
Derivatives and Differentiation Formulas
जटिल विश्लेषण में, एक कार्य का अवकलन संवेदनशीलता को मापता है। इस अवकलन के लिए Cauchy-Riemann समीकरण महत्वपूर्ण होते हैं।
Cauchy-Riemann Equations
ये समीकरण जटिल कार्यों की अवकलनीयता की शर्त हैं। ये समीकरण प्राप्त करने के लिए, f(z) = u(x,y) + iv(x,y) को शुरू करते हैं, जहाँ u और v क्रमशः वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं।
Sufficient Conditions for Differentiability
Cauchy-Riemann समीकरणों के अलावा, विभिन्न अन्य शर्तें हैं जो यह सुनिश्चित करती हैं कि कार्य अवकलनीय है।
Examples of Analytic Functions
कुछ उदाहरण जैसे e^z, sin(z), और cos(z) विश्लेषणात्मक कार्य हैं क्योंकि इनकी अवकलनीयता की शर्तें पूरी होती हैं।
Milne-Thompson Method
यह एक विश्लेषणात्मक तकनीक है जो जटिल कार्यों का अवकलन और अनुक्रमण समझने में सहायक होती है। यह विशेष रूप से कई अवकलन करने में उपयोगी होती है।
Elementary Functions and Integrals: Exponential function, Logarithmic function, Branches and derivatives of logarithms, Trigonometric function. Derivatives of these functions, Definite integrals of functions, Contours, Contour integrals and its examples, Upper bounds for moduli of contour integrals
Elementary Functions and Integrals
Exponential Function
घातांकी फलन एक विशेष प्रकार का फलन है जो किसी संख्या को निरंतरता के सिद्धांत पर बढ़ाता है। इसे आमतौर पर 'e' के आधार पर दर्शाया जाता है। इसकी विशेषता यह है कि इसका व्युत्पन्न स्वयं फलन है।
Logarithmic Function
लॉगरिदम फलन एक प्रकार का फलन है जो किसी संख्या का आधार पर लॉगरिदम निकालता है। यह मूलतः घातांकी फलन का व्युत्क्रम होता है। इसके अलग-अलग शाखाएँ होती हैं जैसे कि नेचुरल लॉगरिदम और कॉमन लॉगरिदम।
Branches and Derivatives of Logarithms
लॉगरिदम की शाखाएँ विभिन्न आधारों पर निर्भर करती हैं। जब हम लॉगरिदम का व्युत्पन्न निकालते हैं, तो यह 1/x के रूप में प्राप्त होता है।
Trigonometric Functions
त्रिकोणमितीय फलन साइन, कोसाइन, टैन और उनके व्युत्क्रम का उपयोग करते हैं। ये फलन त्रिकोणों की कोणीय गुणधर्मों को व्यक्त करते हैं।
Derivatives of Functions
इन सभी फलनों के व्युत्पन्न को समझना महत्त्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, घातांकी फलन का व्युत्पन्न e^x है और लॉगरिदम का व्युत्पन्न 1/x है।
Definite Integrals of Functions
निर्धारित इंटीग्रल एक फलन के क्षेत्रफल का मूल्यांकन करते हैं। गणित में इसका उपयोग बहु-विधाओं में किया जाता है, जैसे कि भौतिकी और सांख्यिकी।
Contours and Contour Integrals
कॉन्टूर इंटीग्रल का उपयोग जटिल विश्लेषण में होता है। यह एक समुच्चय के चारों ओर इंटीग्रल निकालने की विधि है। विभिन्न उदाहरणों में इसका प्रदर्शन किया जाता है।
Upper Bounds for Moduli of Contour Integrals
कॉन्टूर इंटीग्रल के लिए उच्चतम सीमाएँ निकालना उनके व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए किया जाता है। यह विशेष रूप से जटिल समीकरणों के समाधान में सहायक होता है।
Cauchy’s Theorems and Fundamental Theorem of Algebra: Anti-derivatives, Proof of Anti-derivative theorem, Cauchy-Goursat theorem, Cauchy integral formula; an extension of Cauchy integral formula, Consequences of Cauchy integral formula, Liouville’s theorem and the fundamental theorem of algebra
Cauchy's Theorems and Fundamental Theorem of Algebra
Cauchy's Theorem
कौशी का थ्योरम कहता है कि यदि कोई एनालिटिक फंक्शन एक कॉम्पैक्ट कर्व के अंदर एनालिटिक है, तो उस कर्व के चारों ओर फंक्शन का इंटीग्रल शून्य होता है। यह थ्योरम कॉम्प्लेक्स एनालिसिस में बहुत महत्वपूर्ण है।
Fundamental Theorem of Algebra
यह थ्योरम यह बताती है कि किसी भी कॉम्प्लेक्स नंबर को एक बहुपद के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है, और उसके पास n डिग्री का बहुपद हमेशा n संख्या के जड़ों को रखता है।
Anti-derivatives
एंटी-डेरिवेटिव्स उन फंक्शनों को कहते हैं जिनकी डेरिवेटिव्स दी गई फंक्शन को पुनः प्राप्त करती हैं। यदि F(x) एक एंटी-डेरिवेटिव है, तो dF/dx = f(x) होगा।
Proof of Anti-derivative theorem
एंटी-डेरिवेटिव थ्योरम का प्रमाण यह दिखाता है कि यदि एक फंक्शन एक निश्चित अंतराल में निरंतर है, तो उसका एंटी-डेरिवेटिव उस अंतराल में मौजूद है।
Cauchy-Goursat Theorem
कौशी-गोरसट थ्योरम कहता है कि यदि एक एनालिटिक फंक्शन एक मजबूत कर्व के अंदर एनालिटिक है, तो उस कर्व के चारों ओर उसका इंटीग्रल शून्य होता है।
Cauchy Integral Formula
कौशी इंटीग्रल फॉर्मूला एक महत्वपूर्ण परिणाम है जो किसी एनालिटिक फंक्शन के मूल्य को उसके चारों ओर के कर्व से निकाला जाता है। यह दिखाता है कि F(z) = (1/2πi) ∫(C) f(w)/(w-z) dw।
Extension of Cauchy Integral Formula
कौशी इंटीग्रल फॉर्मूला का विस्तार विभिन्न थ्योरम्स और तकनीकों के माध्यम से किया गया है, जैसे कि Cauchy's integral theorem और Laurent series।
Consequences of Cauchy Integral Formula
कौशी इंटीग्रल फॉर्मूला के परिणाम यह कहते हैं कि यदि फंक्शन एनालिटिक है, तो उसे एक निश्चित रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है, और जड़ों की संख्या तथा गुणनफल की जानकारी प्राप्त की जा सकती है।
Liouville's Theorem
लिउविल का थ्योरम बताता है कि यदि कोई फंक्शन जो पूरी तरह एनालिटिक है और सीमित है, तो वह एक स्थायी फंक्शन है।
Conclusion
कौशी के थ्योरम और बीजगणित के मौलिक थ्योरम के आधार पर, हमें एनालिटिक फंक्शन्स के गुणों और उनकी सीमाओं की गहरी समझ होती है, जो कॉम्प्लेक्स एनालिसिस का मूल आधार है।
Series and Residues: Convergence of sequences and series, Taylor series and its examples; Laurent series and its examples, Absolute and Uniform convergence of power series, Uniqueness of series representations of power series, Zeros and types of singularities, Residues at poles and its examples, Residues, Cauchy’s residue theorem, residue at infinity
Series and Residues
Sequences and Series Convergence
समुच्चय और अनुक्रम की संगतता, जब किसी अनुक्रम के अंशों की सीमाएं एक निश्चित मान की ओर अग्रसर होती हैं, इसे संगत अनुक्रम कहते हैं। एक श्रेणी संगत होती है यदि उसके अंशों का योग एक निश्चित मान की ओर बढ़ता है।
Taylor Series and Its Examples
टेलर श्रृंखला एक अद्वितीय श्रृंखला होती है जो किसी फलन को उसके केंद्र के चारों ओर उसके गुणांक के रूप में व्यक्त करती है। इसका उपयोग फलनों का समीकरणन करने में किया जाता है। उदाहरण के लिए, e^x, sin(x) और cos(x) का टेलीयर श्रृंखला रूप।
Laurent Series and Its Examples
लॉरेंट श्रृंखला एक श्रृंखला होती है जिसमें सकारात्मक और नकारात्मक क्रम के अंश होते हैं। इसका उपयोग जटिल विश्लेषण में किया जाता है। उदाहरण: 1/z, z^2 के लिए लॉरेंट श्रृंखला।
Absolute and Uniform Convergence of Power Series
शक्ति श्रृंखलाओं की पूर्ण और समरूप संगति का अर्थ है कि यदि एक श्रंखला संगत है तो उस पर प्रतिबंधित श्रृंखलाएँ भी संगत होती हैं। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह सततता के गुणों को बनाए रखता है।
Uniqueness of Power Series Representations
पॉवर श्रृंखला प्रदर्शनों की विशिष्टता से तात्पर्य है कि यदि दो शक्ति श्रृंखलाएँ समान रूप से संगत हैं, तो उनके गुणांक समान होंगे।
Zeros and Types of Singularities
शून्य और असामान्यताओं के प्रकारों में अनंत बिंदु, निश्चल, और विश्लेषणीय असामान्यताएँ आती हैं। ये जटिल विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं।
Residues at Poles and Its Examples
पोल्स पर अवशेषों की गणना जटिल समाकलन में की जाती है। उदाहरण: 1/(z-a) का अवशेष a पर।
Cauchy's Residue Theorem
कौची का अवशेष प्रमेय बताता है कि यदि किसी फलन का संपूर्णता क्षेत्र पोल्स से घिरा हो, तो अवशेषों का योग समाकल के मान के बराबर होता है।
Residue at Infinity
अनंतता पर अवशेष वह अवशेष है जो किसी फलन की विस्तारित अभिव्यक्ति में अनंत बिंदु पर होता है। इसके निर्देशन में कई प्रमेयों का स्थापन किया जा सकता है।
