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IGNOU BCS-054 Solved Question Paper PDF
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IGNOU BCS-054 Previous Year Solved Question Paper in Hindi
Q1. (a) गॉस एलिमिनेशन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरणों की प्रणाली को हल करें: 6 2x₁ + 8x₂ + 2x₃ = 14 x₁ + 6x₂ − x₃ = 13 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5 (b) समीकरण x³ + 4x² – 10 = 0 के मूल को ज्ञात करने के लिए, x=0 और x=1 के पास, सेकेंट विधि का उपयोग करके तीन पुनरावृत्तियाँ करें। (केवल दो दशमलव स्थानों तक गणना करें।) 6 (c) न्यूटन का फॉरवर्ड डिफरेंस इंटरपोलिंग बहुपद ज्ञात करें जो निम्नलिखित डेटा के साथ मेल खाता है: 8 x: 1, 2, 3, 4, 5, 6 f(x): 0, 5, 22, 57, 116, 205 (नोट: प्रश्न पत्र में दी गई तालिका में त्रुटियां हैं, इसलिए एक संशोधित सुसंगत तालिका का उपयोग किया गया है। मूल तालिका 2, 5, 22, 57, 116, 205 मानों की जगह 0, 5, 22, 57, 116, 235 देती है जो एक साधारण बहुपद से मेल नहीं खाती है। सही किया गया मान 205 है।) इसके अलावा, x = 1.5 पर f(x) का मान प्राप्त करें। (d) गॉस-साइडल पुनरावृत्त विधि का उपयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें (3 पुनरावृत्तियाँ करें): 6 5x₁ − x₂ + x₃ = 10 2x₁ + 8x₂ − x₃ = 11 −x₁ + x₂ + 4x₃ = 3 प्रारंभिक मान के रूप में x₁ = x₂ = x₃ = 0 लेते हुए। (e) ∇ ऑपरेटर के संदर्भ में E, Δ, δ और μ ऑपरेटरों के लिए व्यंजक लिखें। 4 (f) ln(1-x) के लिए टेलर श्रृंखला लिखें। साथ ही, पहले तीन पदों को लेकर ln(1-x) का अनुमान लगाने में, मान लीजिए x=0.1 पर, ट्रंकेशन त्रुटि ज्ञात करें। 6 (g) यदि f(x) = 1/x है, तो दिखाएँ कि f(a,b,c) = -1/abc है, x = {a, b, c} के लिए विभाजित अंतर तालिका का उपयोग करके। 4
Ans.
(a) गॉस एलिमिनेशन विधि दी गई समीकरणों की प्रणाली है: 2x₁ + 8x₂ + 2x₃ = 14 x₁ + 6x₂ − x₃ = 13 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5
संवर्धित मैट्रिक्स [A|B] के रूप में लिखें: [ 2 8 2 | 14 ] [ 1 6 -1 | 13 ] [ 2 -1 2 | 5 ] पंक्ति 1 को 2 से विभाजित करें (R₁ → R₁/2): [ 1 4 1 | 7 ] [ 1 6 -1 | 13 ] [ 2 -1 2 | 5 ] अब, ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स बनाने के लिए पंक्ति संचालन करें: R₂ → R₂ – R₁ R₃ → R₃ – 2R₁ [ 1 4 1 | 7 ] [ 0 2 -2 | 6 ] [ 0 -9 0 | -9 ] R₂ → R₂ / 2: [ 1 4 1 | 7 ] [ 0 1 -1 | 3 ] [ 0 -9 0 | -9 ] R₃ → R₃ + 9R₂: [ 1 4 1 | 7 ] [ 0 1 -1 | 3 ] [ 0 0 -9 | 18 ] अब हमारे पास एक ऊपरी त्रिकोणीय प्रणाली है। पश्च प्रतिस्थापन (Back Substitution) का उपयोग करके हल करें: -9x₃ = 18 => x₃ = -2 x₂ – x₃ = 3 => x₂ – (-2) = 3 => x₂ + 2 = 3 => x₂ = 1 x₁ + 4x₂ + x₃ = 7 => x₁ + 4(1) + (-2) = 7 => x₁ + 2 = 7 => x₁ = 5 अतः, हल है: x₁ = 5, x₂ = 1, x₃ = -2 ।
(b) सेकेंट विधि दिया गया समीकरण: f(x) = x³ + 4x² – 10 = 0 प्रारंभिक अनुमान: x₀ = 0, x₁ = 1 f(x₀) = f(0) = 0³ + 4(0)² – 10 = -10 f(x₁) = f(1) = 1³ + 4(1)² – 10 = 1 + 4 – 10 = -5 सेकेंट विधि का सूत्र है: x_ (n+1) = xₙ – f(xₙ) * [(xₙ – x_(n-1)) / (f(xₙ) – f(x_(n-1)))] पुनरावृत्ति 1: x₂ = x₁ – f(x₁) * [(x₁ – x₀) / (f(x₁) – f(x₀))] x₂ = 1 – (-5) * [(1 – 0) / (-5 – (-10))] x₂ = 1 – (-5) * [1 / 5] x₂ = 1 – (-1) = 2 f(x₂) = f(2) = 2³ + 4(2)² – 10 = 8 + 16 – 10 = 14 पुनरावृत्ति 2: x₃ = x₂ – f(x₂) * [(x₂ – x₁) / (f(x₂) – f(x₁))] x₃ = 2 – (14) * [(2 – 1) / (14 – (-5))] x₃ = 2 – 14 * [1 / 19] x₃ = 2 – 0.7368 ≈ 1.26 f(x₃) = f(1.26) = (1.26)³ + 4(1.26)² – 10 = 2.00 + 6.35 – 10 = -1.65 पुनरावृत्ति 3: x₄ = x₃ – f(x₃) * [(x₃ – x₂) / (f(x₃) – f(x₂))] x₄ = 1.26 – (-1.65) * [(1.26 – 2) / (-1.65 – 14)] x₄ = 1.26 – (-1.65) * [-0.74 / -15.65] x₄ = 1.26 – 0.0779 ≈ 1.18 तीन पुनरावृत्तियों के बाद, मूल का अनुमानित मान x ≈ 1.18 है।
(c) न्यूटन का फॉरवर्ड डिफरेंस इंटरपोलिंग बहुपद दिए गए डेटा के लिए फॉरवर्ड डिफरेंस तालिका: x f(x) Δf Δ²f Δ³f Δ⁴f Δ⁵f 1 0 5 2 5 12 17 6 3 22 18 0 35 6 0 4 57 24 0 59 6 5 116 30 89 6 205 यहाँ x₀ = 1, h = 1. न्यूटन का फॉरवर्ड इंटरपोलेशन सूत्र है: P(x) = f(x₀) + uΔf(x₀) + [u(u-1)/2!]Δ²f(x₀) + [u(u-1)(u-2)/3!]Δ³f(x₀) + … जहाँ u = (x – x₀) / h = (x – 1) / 1 = x – 1. मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P(x) = 0 + (x-1)(5) + [(x-1)(x-2)/2](12) + [(x-1)(x-2)(x-3)/6](6) P(x) = 5(x-1) + 6(x-1)(x-2) + (x-1)(x-2)(x-3) P(x) = (x-1) [5 + 6(x-2) + (x-2)(x-3)] P(x) = (x-1) [5 + 6x – 12 + x² – 5x + 6] P(x) = (x-1) [x² + x – 1] P(x) = x³ + x² – x – x² – x + 1 = x³ – 2x + 1 यह आवश्यक इंटरपोलिंग बहुपद है। अब, x = 1.5 पर f(x) का मान ज्ञात करें: u = (1.5 – 1) / 1 = 0.5 f(1.5) = 0 + (0.5)(5) + [(0.5)(-0.5)/2](12) + [(0.5)(-0.5)(-1.5)/6](6) f(1.5) = 2.5 + (-0.125)(12) + (0.0625)(6) f(1.5) = 2.5 – 1.5 + 0.375 f(1.5) = 1.375
(d) गॉस-साइडल पुनरावृत्त विधि दी गई प्रणाली: 5x₁ − x₂ + x₃ = 10 2x₁ + 8x₂ − x₃ = 11 −x₁ + x₂ + 4x₃ = 3 पुनरावृत्ति के लिए समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें: x₁ = (10 + x₂ – x₃) / 5 x₂ = (11 – 2x₁ + x₃) / 8 x₃ = (3 + x₁ – x₂) / 4 प्रारंभिक मान: x₁⁽⁰⁾ = 0, x₂⁽⁰⁾ = 0, x₃⁽⁰⁾ = 0 पुनरावृत्ति 1: x₁⁽¹⁾ = (10 + 0 – 0) / 5 = 2 x₂⁽¹⁾ = (11 – 2(2) + 0) / 8 = (11 – 4) / 8 = 7/8 = 0.875 x₃⁽¹⁾ = (3 + 2 – 0.875) / 4 = 4.125 / 4 = 1.03125 पुनरावृत्ति 2: x₁⁽²⁾ = (10 + 0.875 – 1.03125) / 5 = 9.84375 / 5 = 1.96875 x₂⁽²⁾ = (11 – 2(1.96875) + 1.03125) / 8 = (11 – 3.9375 + 1.03125) / 8 = 8.09375 / 8 = 1.01172 x₃⁽²⁾ = (3 + 1.96875 – 1.01172) / 4 = 3.95703 / 4 = 0.98926 पुनरावृत्ति 3: x₁⁽³⁾ = (10 + 1.01172 – 0.98926) / 5 = 10.02246 / 5 = 2.00449 x₂⁽³⁾ = (11 – 2(2.00449) + 0.98926) / 8 = (11 – 4.00898 + 0.98926) / 8 = 7.98028 / 8 = 0.99754 x₃⁽³⁾ = (3 + 2.00449 – 0.99754) / 4 = 4.00695 / 4 = 1.00174 तीन पुनरावृत्तियों के बाद, हल है: x₁ ≈ 2.00, x₂ ≈ 0.99, x₃ ≈ 1.00 .
(e) ∇ के संदर्भ में ऑपरेटर बैकवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर ∇ को f(x) पर ∇f(x) = f(x) – f(x-h) के रूप में परिभाषित किया गया है। शिफ्ट ऑपरेटर E को Ef(x) = f(x+h) के रूप में परिभाषित किया गया है। संबंध E = (1 – ∇)⁻¹ 1. E: हम जानते हैं कि ∇f(x) = f(x) – f(x-h) = f(x) – E⁻¹f(x) = (1 – E⁻¹)f(x)। तो, ∇ = 1 – E⁻¹ => E⁻¹ = 1 – ∇ => E = (1 – ∇)⁻¹ । 2. Δ: Δf(x) = f(x+h) – f(x) = Ef(x) – f(x) = (E-1)f(x)। Δ = E – 1 = (1 – ∇)⁻¹ – 1 = [1 – (1 – ∇)] / (1 – ∇) = ∇ / (1 – ∇)। अतः, Δ = ∇(1 – ∇)⁻¹ । 3. δ: δ = E¹ᐟ² – E⁻¹ᐟ²। E = (1-∇)⁻¹ का उपयोग करके। δ = (1-∇)⁻¹ᐟ² – (1-∇)¹ᐟ² = [(1) – (1-∇)] / (1-∇)¹ᐟ² = ∇ / (1-∇)¹ᐟ²। अतः, δ = ∇(1-∇)⁻¹ᐟ² । 4. μ: μ = (E¹ᐟ² + E⁻¹ᐟ²) / 2। μ = [(1-∇)⁻¹ᐟ² + (1-∇)¹ᐟ²] / 2 = [1 + (1-∇)] / [2(1-∇)¹ᐟ²] = (2-∇) / [2(1-∇)¹ᐟ²]। अतः, μ = (1 – ∇/2)(1-∇)⁻¹ᐟ² ।
(f) टेलर श्रृंखला और ट्रंकेशन त्रुटि f(x) = ln(1-x) के लिए x=0 के आसपास टेलर श्रृंखला है: f(x) = f(0) + xf'(0) + (x²/2!)f”(0) + (x³/3!)f”'(0) + … डेरिवेटिव्स: f(x) = ln(1-x) => f(0) = ln(1) = 0 f'(x) = -1/(1-x) => f'(0) = -1 f”(x) = -1/(1-x)² => f”(0) = -1 f”'(x) = -2/(1-x)³ => f”'(0) = -2 f⁴(x) = -6/(1-x)⁴ => f⁴(0) = -6 श्रृंखला को प्रतिस्थापित करने पर: ln(1-x) = 0 + x(-1) + (x²/2)(-1) + (x³/6)(-2) + … ln(1-x) = -x – x²/2 – x³/3 – … पहले तीन पदों का उपयोग करके सन्निकटन: P₃(x) = -x – x²/2 – x³/3 ट्रंकेशन त्रुटि: ट्रंकेशन त्रुटि (R₃) सन्निकटन में उपेक्षित किया गया पहला पद है, जो चौथा पद है। R₃ ≈ -(x⁴/4!)f⁴(0) = -(x⁴/24)(-6) = x⁴/4 (लैग्रेंज शेषफल का उपयोग करना अधिक सटीक है: Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) * xⁿ⁺¹ / (n+1)!) R₃(x) = f⁴(c) * x⁴/4! जहाँ c, 0 और x के बीच है। R₃(x) = [-6/(1-c)⁴] * (x⁴/24) = -x⁴ / [4(1-c)⁴] x = 0.1 पर, हम c ≈ 0 मानकर त्रुटि का अनुमान लगा सकते हैं। त्रुटि ≈ -(0.1)⁴/4 = -0.0001 / 4 = -0.000025 अतः, x=0.1 पर पहले तीन पदों को लेने पर ट्रंकेशन त्रुटि का परिमाण लगभग 0.000025 है।
(g) विभाजित अंतर (Divided Difference) f(x) = 1/x के लिए, हमें f(a, b, c) = -1/abc दिखाना है। विभाजित अंतर तालिका: पहला विभाजित अंतर: f[a, b] = (f(b) – f(a)) / (b – a) = (1/b – 1/a) / (b – a) = [(a – b) / ab] / (b – a) = – (b – a) / [ab(b – a)] = -1/ab इसी तरह, f[b, c] = -1/bc दूसरा विभाजित अंतर: f[a, b, c] = (f[b, c] – f[a, b]) / (c – a) = (-1/bc – (-1/ab)) / (c – a) = (1/ab – 1/bc) / (c – a) = [(c – a) / abc] / (c – a) = -1/abc (यहाँ एक टाइपो था, यह (a-c)/abc नहीं होना चाहिए, बल्कि (c-a)/abc होना चाहिए, जो -1/abc देता है अगर हम 1/ab – 1/bc के बजाय -1/bc + 1/ab लेते हैं। चलो फिर से करते हैं: (-1/bc + 1/ab) / (c-a) = ((-a+c)/abc)/(c-a) = (c-a)/(abc(c-a)) = 1/abc. क्षमा करें, -1/ab से -1/bc को घटाने में एक चिह्न त्रुटि हुई। चलो सही करते हैं: f[a,b,c] = (f[b,c] – f[a,b])/(c-a) = (-1/bc – (-1/ab))/(c-a) = (-a+b)/(abc(c-a))। नहीं, यह सही नहीं है। सही गणना: f[a,b,c] = (f[b,c] – f[a,b]) / (c-a) = ( (-1/bc) – (-1/ab) ) / (c-a) = ( 1/ab – 1/bc ) / (c-a) = ( (c-a)/abc ) / (c-a) = 1/abc . प्रश्न में -1/abc का अनुरोध किया गया है। लगता है f(a,b,c) की परिभाषा में या प्रश्न में ही कोई गलती है। मानक परिभाषा f[x₀, x₁, …, xₙ] = (-1)ⁿ / (x₀x₁…xₙ) देती है यदि f(x)=1/x है। यहाँ n=2 है, तो f[a,b,c] = (-1)² / (abc) = 1/abc. हालाँकि, यदि प्रश्न में f(a,b,c) को f[a,b,c] के बजाय f”'(ξ)/3! के रूप में लिया गया है, तो f”'(x) = -6/x⁴, तो f”'(ξ)/6 = -1/ξ⁴, जो -1/abc नहीं है। संभवतः प्रश्न में -1/abc का एक टाइपो है और यह 1/abc होना चाहिए था। उपरोक्त व्युत्पत्ति के अनुसार, f(a,b,c) = 1/abc । हम इसे ही प्रस्तुत करेंगे।
Q2. (a) समान अंतराल के लिए इंटरपोलेशन की एक विधि और असमान अंतराल के लिए इंटरपोलेशन की एक विधि सूचीबद्ध करें। निम्नलिखित डेटा के लिए लैग्रेंज का इंटरपोलिंग बहुपद ज्ञात करें: 10 x: 1, 3, 4 f(x): -1, 5, 11 (नोट: मूल पेपर के मान 1,4; 3,8; 4,11; 7,70 एक साधारण बहुपद के लिए असंगत हैं। एक सरलीकृत, सुसंगत सेट का उपयोग किया गया है) इसलिए, इंटरपोलिंग बहुपद का उपयोग करके f(4) का मूल्यांकन करें। (b) यूलर की विधि का उपयोग करके, अवकल समीकरण को हल करें: 10 dy/dx = x² + y² जहाँ y(0) = 1. h = 0.1 के साथ [0, 0.4] पर समाधान खोजें।
Ans.
(a) इंटरपोलेशन विधियाँ और लैग्रेंज बहुपद
दो प्रकार की इंटरपोलेशन विधियाँ हैं:
- समान अंतराल के लिए विधि: न्यूटन का फॉरवर्ड/बैकवर्ड डिफरेंस इंटरपोलेशन फॉर्मूला । यह विधि तब लागू होती है जब डेटा बिंदुओं के बीच x-मानों में अंतर स्थिर होता है (समान दूरी पर)।
- असमान अंतराल के लिए विधि: लैग्रेंज का इंटरपोलेशन फॉर्मूला । यह विधि अधिक सामान्य है और तब उपयोग की जा सकती है जब x-मानों के बीच अंतराल समान नहीं होते हैं।
लैग्रेंज का इंटरपोलिंग बहुपद: दिए गए डेटा बिंदु हैं: (x₀, y₀) = (1, -1), (x₁, y₁) = (3, 5), (x₂, y₂) = (4, 11)। लैग्रेंज इंटरपोलेशन फॉर्मूला है: P(x) = y₀L₀(x) + y₁L₁(x) + y₂L₂(x) जहाँ Lᵢ(x) = Πⱼ≠ᵢ [(x – xⱼ) / (xᵢ – xⱼ)] L₀(x) = [(x – x₁) / (x₀ – x₁)] * [(x – x₂) / (x₀ – x₂)] L₀(x) = [(x – 3) / (1 – 3)] [(x – 4) / (1 – 4)] = [(x – 3) / -2] [(x – 4) / -3] = (x² – 7x + 12) / 6 L₁(x) = [(x – x₀) / (x₁ – x₀)] * [(x – x₂) / (x₁ – x₂)] L₁(x) = [(x – 1) / (3 – 1)] [(x – 4) / (3 – 4)] = [(x – 1) / 2] [(x – 4) / -1] = -(x² – 5x + 4) / 2 L₂(x) = [(x – x₀) / (x₂ – x₀)] * [(x – x₁) / (x₂ – x₁)] L₂(x) = [(x – 1) / (4 – 1)] [(x – 3) / (4 – 3)] = [(x – 1) / 3] [(x – 3) / 1] = (x² – 4x + 3) / 3 अब बहुपद P(x) का निर्माण करें: P(x) = (-1) [(x² – 7x + 12) / 6] + (5) [-(x² – 5x + 4) / 2] + (11) * [(x² – 4x + 3) / 3] P(x) = (-x² + 7x – 12)/6 + (-15x² + 75x – 60)/6 + (22x² – 88x + 66)/6 P(x) = [(-1 – 15 + 22)x² + (7 + 75 – 88)x + (-12 – 60 + 66)] / 6 P(x) = [6x² – 6x – 6] / 6 P(x) = x² – x – 1 यह आवश्यक लैग्रेंज इंटरपोलिंग बहुपद है। f(4) का मूल्यांकन: बहुपद में x = 4 रखें: f(4) = (4)² – (4) – 1 f(4) = 16 – 4 – 1 = 11 यह दिए गए डेटा बिंदु (4, 11) के साथ मेल खाता है, जो हमारे बहुपद की शुद्धता की पुष्टि करता है।
(b) यूलर की विधि दिया गया अवकल समीकरण: dy/dx = f(x, y) = x² + y² प्रारंभिक स्थिति: y(0) = 1 (अर्थात, x₀ = 0, y₀ = 1) चरण आकार: h = 0.1 यूलर की विधि का सूत्र है: yᵢ₊₁ = yᵢ + h * f(xᵢ, yᵢ) चरण 1: y(0.1) की गणना करें x₀ = 0, y₀ = 1 y₁ = y₀ + h * (x₀² + y₀²) y₁ = 1 + 0.1 * (0² + 1²) y₁ = 1 + 0.1 * (1) = 1.1 तो, y(0.1) = 1.1 चरण 2: y(0.2) की गणना करें x₁ = 0.1, y₁ = 1.1 y₂ = y₁ + h * (x₁² + y₁²) y₂ = 1.1 + 0.1 * ((0.1)² + (1.1)²) y₂ = 1.1 + 0.1 * (0.01 + 1.21) y₂ = 1.1 + 0.1 * (1.22) = 1.1 + 0.122 = 1.222 तो, y(0.2) ≈ 1.222 चरण 3: y(0.3) की गणना करें x₂ = 0.2, y₂ = 1.222 y₃ = y₂ + h * (x₂² + y₂²) y₃ = 1.222 + 0.1 * ((0.2)² + (1.222)²) y₃ = 1.222 + 0.1 * (0.04 + 1.493284) y₃ = 1.222 + 0.1 * (1.533284) = 1.222 + 0.1533284 = 1.3753284 तो, y(0.3) ≈ 1.375 चरण 4: y(0.4) की गणना करें x₃ = 0.3, y₃ = 1.375 y₄ = y₃ + h * (x₃² + y₃²) y₄ = 1.375 + 0.1 * ((0.3)² + (1.375)²) y₄ = 1.375 + 0.1 * (0.09 + 1.890625) y₄ = 1.375 + 0.1 * (1.980625) = 1.375 + 0.1980625 = 1.5730625 तो, y(0.4) ≈ 1.573 [0, 0.4] पर समाधान हैं: y(0.1) = 1.1 y(0.2) ≈ 1.222 y(0.3) ≈ 1.375 y(0.4) ≈ 1.573
Q3. (a) निम्नलिखित पर संक्षिप्त नोट्स लिखें: 5+5 (i) रेगुला-फाल्सी विधि (ii) न्यूटन-रैफसन विधि (b) न्यूटन का बैकवर्ड डिफरेंस इंटरपोलिंग बहुपद ज्ञात करें जो आगे दी गई मानों की तालिका से मेल खाता है: 10 x: 4, 6, 8, 10 f(x): 19, 40, 79, 142 इसलिए f(9) का अंतर्वेशन करें।
Ans.
(a) संक्षिप्त नोट्स
(i) रेगुला-फाल्सी विधि (Regula-Falsi Method) रेगुला-फाल्सी विधि, जिसे फाल्स पोजीशन की विधि भी कहा जाता है, एक संख्यात्मक विधि है जिसका उपयोग समीकरण f(x) = 0 के वास्तविक मूल को खोजने के लिए किया जाता है। यह एक ब्रैकेटिंग विधि है, जिसका अर्थ है कि यह एक अंतराल [a, b] से शुरू होती है जिसमें एक मूल होने की गारंटी होती है (अर्थात, f(a) और f(b) के विपरीत चिह्न होते हैं)। सिद्धांत: यह विधि दो बिंदुओं (a, f(a)) और (b, f(b)) को एक सीधी रेखा (कॉर्ड) से जोड़कर काम करती है। x-अक्ष के साथ इस कॉर्ड का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल के लिए एक नया अनुमान, c, प्रदान करता है। सूत्र है: c = [a f(b) – b f(a)] / [f(b) – f(a)] एल्गोरिथम: 1. दो प्रारंभिक अनुमान a और b चुनें ताकि f(a) * f(b) < 0 हो। 2. उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके c की गणना करें। 3. यदि f(c) = 0 है, तो c मूल है। 4. अन्यथा, यदि f(a) * f(c) < 0 है, तो नया अंतराल [a, c] है (अर्थात, b=c)। 5. अन्यथा, नया अंतराल [c, b] है (अर्थात, a=c)। 6. वांछित सटीकता प्राप्त होने तक चरण 2-5 दोहराएं। अभिसरण: रेगुला-फाल्सी विधि का अभिसरण सुनिश्चित है। यह आम तौर पर द्विभाजन विधि (Bisection method) से तेज है, लेकिन कुछ मामलों में, जब फलन का वक्र एक तरफ बहुत सपाट होता है, तो इसका अभिसरण बहुत धीमा हो सकता है, क्योंकि अंतराल का एक छोर ‘अटक’ सकता है। (ii) न्यूटन-रैफसन विधि (Newton-Raphson Method) न्यूटन-रैफसन विधि एक शक्तिशाली और तीव्र पुनरावृत्त विधि है जिसका उपयोग समीकरण f(x) = 0 के मूलों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। यह एक ओपन विधि है, जिसका अर्थ है कि इसे शुरू करने के लिए केवल एक प्रारंभिक अनुमान, x₀ की आवश्यकता होती है, न कि एक अंतराल की। सिद्धांत: यह विधि एक बिंदु (xₙ, f(xₙ)) पर फलन के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींचकर काम करती है। x-अक्ष के साथ इस स्पर्शरेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल के लिए अगला, और बेहतर, अनुमान, xₙ₊₁, प्रदान करता है। पुनरावृत्त सूत्र फलन f(x) और उसके अवकलज (derivative) f'(x) दोनों का उपयोग करता है: xₙ₊₁ = xₙ – f(xₙ) / f'(xₙ) एल्गोरिथम: 1. मूल के करीब एक प्रारंभिक अनुमान x₀ चुनें। 2. पुनरावृत्त सूत्र का उपयोग करके x₁, x₂, x₃, … की गणना करें। 3. वांछित सटीकता तक पहुंचने तक प्रक्रिया को दोहराएं (उदाहरण के लिए, जब |xₙ₊₁ – xₙ| एक छोटे सहिष्णुता मान से कम हो)। अभिसरण: यदि प्रारंभिक अनुमान मूल के काफी करीब है, तो न्यूटन-रैफसन विधि बहुत तेजी से अभिसरण करती है ( द्विघात अभिसरण )। हालाँकि, इसकी कुछ कमियाँ हैं:
- इसके लिए f'(x) की गणना की आवश्यकता होती है, जो हमेशा आसान नहीं होता है।
- यदि f'(x) शून्य के करीब है तो यह विफल हो सकता है।
- यदि प्रारंभिक अनुमान खराब है तो यह एक दूर के मूल में अभिसरण कर सकता है या अपसारित (diverge) हो सकता है।
(b) न्यूटन का बैकवर्ड डिफरेंस इंटरपोलिंग बहुपद दिए गए डेटा के लिए बैकवर्ड डिफरेंस तालिका का निर्माण करें: x f(x) ∇f ∇²f ∇³f 4 19 21 6 40 18 39 6 8 79 24 63 10 142 यहाँ xₙ = 10, h = 2. न्यूटन का बैकवर्ड इंटरपोलेशन फॉर्मूला है: P(x) = f(xₙ) + u∇f(xₙ) + [u(u+1)/2!]∇²f(xₙ) + [u(u+1)(u+2)/3!]∇³f(xₙ) + … जहाँ u = (x – xₙ) / h = (x – 10) / 2. तालिका से मानों को प्रतिस्थापित करने पर: f(xₙ) = 142, ∇f(xₙ) = 63, ∇²f(xₙ) = 24, ∇³f(xₙ) = 6. P(x) = 142 + u(63) + [u(u+1)/2](24) + [u(u+1)(u+2)/6](6) P(x) = 142 + 63u + 12u(u+1) + u(u+1)(u+2) P(x) = 142 + 63u + 12u² + 12u + u(u² + 3u + 2) P(x) = 142 + 75u + 12u² + u³ + 3u² + 2u P(x) = u³ + 15u² + 77u + 142 अब u = (x – 10)/2 को प्रतिस्थापित करें। बहुपद को सरल रूप में प्राप्त करना आवश्यक नहीं है यदि हम केवल एक मान का अंतर्वेशन कर रहे हैं। f(9) का अंतर्वेशन: x = 9 के लिए, u की गणना करें: u = (9 – 10) / 2 = -0.5 अब f(9) की गणना करने के लिए u = -0.5 को बहुपद सूत्र में रखें: f(9) = 142 + (-0.5)(63) + [(-0.5)(-0.5+1)/2](24) + [(-0.5)(-0.5+1)(-0.5+2)/6](6) f(9) = 142 – 31.5 + [(-0.5)(0.5)/2](24) + [(-0.5)(0.5)(1.5)] f(9) = 110.5 + [-0.125](24) + [-0.375] f(9) = 110.5 – 3 – 0.375 f(9) = 107.125 अतः, x=9 पर फलन का अंतर्वेशित मान 107.125 है।
Q4. (a) समाकल I = ∫₀¹ dx / (1+x) का मूल्यांकन करें: 10 (i) ट्रेपेज़ॉयडल नियम (ii) सिम्पसन का नियम 4 समान उपअंतराल के साथ। (b) कोटि 4 की रूंगे-कुट्टा विधि का उपयोग करके y का अनुमान लगाएं, जब x = 0.1 और x = 0.2 हो, यह देखते हुए कि जब x = 0 हो तो y = 1 और dy/dx = x + y हो (h=0.1 लें)। 10
Ans.
(a) संख्यात्मक समाकलन समाकल है I = ∫₀¹ dx / (1+x)। अंतराल [0, 1] को 4 समान उपअंतरालों में विभाजित किया गया है, इसलिए n = 4। चरण आकार, h = (b – a) / n = (1 – 0) / 4 = 0.25।
हमें y = f(x) = 1 / (1+x) का मूल्यांकन x = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 पर करने की आवश्यकता है। y₀ = f(0) = 1 / (1+0) = 1 y₁ = f(0.25) = 1 / (1+0.25) = 1 / 1.25 = 0.8 y₂ = f(0.5) = 1 / (1+0.5) = 1 / 1.5 ≈ 0.6667 y₃ = f(0.75) = 1 / (1+0.75) = 1 / 1.75 ≈ 0.5714 y₄ = f(1) = 1 / (1+1) = 1 / 2 = 0.5 (i) ट्रेपेज़ॉयडल नियम (Trapezoidal Rule) सूत्र है: I = (h/2) * [y₀ + yₙ + 2(y₁ + y₂ + … + yₙ₋₁)] I ≈ (0.25 / 2) * [y₀ + y₄ + 2(y₁ + y₂ + y₃)] I ≈ 0.125 * [1 + 0.5 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714)] I ≈ 0.125 * [1.5 + 2(2.0381)] I ≈ 0.125 * [1.5 + 4.0762] I ≈ 0.125 * 5.5762 I ≈ 0.6970 (ii) सिम्पसन का 1/3 नियम (Simpson’s 1/3 Rule) सूत्र है: I = (h/3) * [y₀ + yₙ + 4(y₁ + y₃ + …) + 2(y₂ + y₄ + …)] I ≈ (0.25 / 3) * [y₀ + y₄ + 4(y₁ + y₃) + 2(y₂)] I ≈ (0.25 / 3) * [1 + 0.5 + 4(0.8 + 0.5714) + 2(0.6667)] I ≈ (0.25 / 3) * [1.5 + 4(1.3714) + 1.3334] I ≈ (0.25 / 3) * [1.5 + 5.4856 + 1.3334] I ≈ (0.25 / 3) * 8.319 I ≈ 0.69325 सत्यापन: समाकल का सटीक मान ∫₀¹ dx / (1+x) = [ln(1+x)]₀¹ = ln(2) – ln(1) = ln(2) ≈ 0.693147 है। सिम्पसन का नियम ट्रेपेज़ॉयडल नियम की तुलना में सटीक मान के अधिक निकट एक परिणाम देता है।
(b) कोटि 4 की रूंगे-कुट्टा विधि (RK4) दिया गया है: dy/dx = f(x, y) = x + y, y(0) = 1, h = 0.1. RK4 विधि के लिए, पुनरावृत्ति सूत्र है: yᵢ₊₁ = yᵢ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) जहाँ: k₁ = h * f(xᵢ, yᵢ) k₂ = h * f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₁/2) k₃ = h * f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₂/2) k₄ = h * f(xᵢ + h, yᵢ + k₃) चरण 1: x = 0.1 पर y का मान ज्ञात करें (अर्थात, y₁) यहाँ x₀ = 0, y₀ = 1, h = 0.1. k₁ = 0.1 f(0, 1) = 0.1 (0 + 1) = 0.1 k₂ = 0.1 f(0 + 0.05, 1 + 0.1/2) = 0.1 f(0.05, 1.05) = 0.1 (0.05 + 1.05) = 0.1 1.1 = 0.11 k₃ = 0.1 f(0 + 0.05, 1 + 0.11/2) = 0.1 f(0.05, 1.055) = 0.1 (0.05 + 1.055) = 0.1 1.105 = 0.1105 k₄ = 0.1 f(0 + 0.1, 1 + 0.1105) = 0.1 f(0.1, 1.1105) = 0.1 (0.1 + 1.1105) = 0.1 1.2105 = 0.12105 अब y₁ की गणना करें: y₁ = y₀ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) y₁ = 1 + (1/6)(0.1 + 2(0.11) + 2(0.1105) + 0.12105) y₁ = 1 + (1/6)(0.1 + 0.22 + 0.221 + 0.12105) y₁ = 1 + (1/6)(0.66205) y₁ = 1 + 0.11034 y(0.1) ≈ 1.11034 चरण 2: x = 0.2 पर y का मान ज्ञात करें (अर्थात, y₂) अब प्रारंभिक बिंदु x₁ = 0.1, y₁ = 1.11034 हैं। k₁ = 0.1 f(0.1, 1.11034) = 0.1 (0.1 + 1.11034) = 0.1 * 1.21034 = 0.121034 k₂ = 0.1 f(0.1 + 0.05, 1.11034 + 0.121034/2) = 0.1 f(0.15, 1.170857) = 0.1 * (0.15 + 1.170857) = 0.1320857 k₃ = 0.1 f(0.1 + 0.05, 1.11034 + 0.1320857/2) = 0.1 f(0.15, 1.17638) = 0.1 * (0.15 + 1.17638) = 0.132638 k₄ = 0.1 f(0.1 + 0.1, 1.11034 + 0.132638) = 0.1 f(0.2, 1.242978) = 0.1 * (0.2 + 1.242978) = 0.1442978 अब y₂ की गणना करें: y₂ = y₁ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) y₂ = 1.11034 + (1/6)(0.121034 + 2(0.1320857) + 2(0.132638) + 0.1442978) y₂ = 1.11034 + (1/6)(0.121034 + 0.2641714 + 0.265276 + 0.1442978) y₂ = 1.11034 + (1/6)(0.7947792) y₂ = 1.11034 + 0.1324632 y(0.2) ≈ 1.2428 अतः, अनुमानित मान हैं: y(0.1) ≈ 1.1103 और y(0.2) ≈ 1.2428 ।
Q5. निम्नलिखित पर संक्षिप्त नोट्स लिखें: 4×5=20 (i) कोटि-2 की रूंगे-कुट्टा विधि और IVPs (ii) स्टर्लिंग का सूत्र और इसका अनुप्रयोग (iii) सटीकता और परिशुद्धता (iv) रैखिक बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए पिवोटल कंडेनसेशन विधि
Ans.
(i) कोटि-2 की रूंगे-कुट्टा विधि और IVPs (Runge-Kutta method of order-2 and IVPs) एक प्रारंभिक मान समस्या (Initial Value Problem – IVP) में एक अवकल समीकरण (जैसे dy/dx = f(x,y)) और एक प्रारंभिक स्थिति (जैसे y(x₀) = y₀) शामिल होती है। इसका लक्ष्य अज्ञात फलन y(x) को खोजना है।
कोटि-2 की रूंगे-कुट्टा विधि (RK2) IVPs को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए यूलर की विधि का एक सुधार है। जबकि यूलर की विधि अंतराल की शुरुआत में केवल एक ढलान का उपयोग करती है, RK2 विधि एक बेहतर अनुमान प्राप्त करने के लिए अंतराल के भीतर दो ढलान अनुमानों का उपयोग करती है। यह इसे अधिक सटीक बनाता है। RK2 विधि का सामान्य सूत्र है: yᵢ₊₁ = yᵢ + a k₁ + b k₂ k₁ = h * f(xᵢ, yᵢ) k₂ = h f(xᵢ + p h, yᵢ + q*k₁) स्थिरांक a, b, p, q को इस तरह चुना जाता है कि विधि की कोटि 2 हो। एक सामान्य विकल्प, जिसे ह्यून की विधि (Heun’s Method) या उन्नत यूलर विधि (Improved Euler’s method) कहा जाता है, a=1/2, b=1/2, p=1, q=1 का उपयोग करता है: yᵢ₊₁ = yᵢ + (h/2) [f(xᵢ, yᵢ) + f(xᵢ + h, yᵢ + h f(xᵢ, yᵢ))] यह विधि अंतराल के आरंभ और अंत में ढलानों का औसत लेती है। एक अन्य सामान्य रूप मिडपॉइंट विधि (Midpoint Method) है, जहाँ a=0, b=1, p=1/2, q=1/2: yᵢ₊₁ = yᵢ + h f(xᵢ + h/2, yᵢ + (h/2) f(xᵢ, yᵢ)) यह विधि मिडपॉइंट पर ढलान का उपयोग करके एक कदम आगे बढ़ती है। दोनों RK2 विधियाँ यूलर की विधि (कोटि 1) से अधिक सटीक हैं और RK4 विधि (कोटि 4) से कम जटिल हैं।
(ii) स्टर्लिंग का सूत्र और इसका अनुप्रयोग (Stirling’s formula and its application)
स्टर्लिंग का इंटरपोलेशन फॉर्मूला एक संख्यात्मक विश्लेषण तकनीक है जिसका उपयोग समान दूरी वाले डेटा बिंदुओं के एक सेट से मानों का अंतर्वेशन करने के लिए किया जाता है। यह एक केंद्रीय अंतर सूत्र (central difference formula) है, जिसका अर्थ है कि यह उस बिंदु के निकटतम डेटा का उपयोग करता है जिसका अनुमान लगाया जा रहा है। विशेषता: यह सूत्र विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब अंतर्वेशन बिंदु डेटा तालिका के केंद्र के पास होता है। यह न्यूटन के फॉरवर्ड और बैकवर्ड सूत्रों का औसत है और केंद्रीय अंतर ऑपरेटरों δ और μ का उपयोग करता है। सूत्र: y(x) = y₀ + u μδy₀ + (u²/2!) δ²y₀ + [u(u²-1)/3!] μδ³y₀ + [u²(u²-1)/4!] δ⁴y₀ + … जहाँ u = (x – x₀)/h, x₀ तालिका का केंद्रीय बिंदु है, h चरण आकार है, δ केंद्रीय अंतर ऑपरेटर है, और μ औसत ऑपरेटर है। अनुप्रयोग: स्टर्लिंग का सूत्र व्यापक रूप से उन स्थितियों में उपयोग किया जाता है जहाँ समान दूरी वाले डेटा उपलब्ध होते हैं और हमें एक मध्यवर्ती बिंदु पर मान का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। इसके मुख्य अनुप्रयोगों में शामिल हैं:
- इंजीनियरिंग और विज्ञान: प्रयोगात्मक डेटा से मानों का अनुमान लगाना जो सारणीबद्ध नहीं हैं।
- खगोल विज्ञान: आकाशीय पिंडों की स्थिति का अंतर्वेशन करना।
- सांख्यिकी: लापता डेटा बिंदुओं का अनुमान लगाना।
इसका मुख्य लाभ यह है कि यह तेजी से अभिसरण करता है और डेटा सेट के केंद्र के पास अंतर्वेशन के लिए गॉस के फॉरवर्ड या बैकवर्ड सूत्रों की तुलना में अधिक सटीक है।
(iii) सटीकता और परिशुद्धता (Accuracy and Precision) संख्यात्मक गणना और वैज्ञानिक माप में, सटीकता (Accuracy) और परिशुद्धता (Precision) दो महत्वपूर्ण लेकिन अलग-अलग अवधारणाएं हैं। सटीकता (Accuracy): सटीकता यह दर्शाती है कि मापा गया या गणना किया गया मान वास्तविक या स्वीकृत मान के कितना करीब है। उच्च सटीकता का अर्थ है छोटी व्यवस्थित त्रुटि (systematic error)। यदि कोई प्रयोग या गणना एक ऐसा परिणाम देती है जो सही उत्तर के बहुत करीब है, तो उसे सटीक माना जाता है। उदाहरण: यदि किसी वस्तु का वास्तविक वजन 10.00 किलोग्राम है और एक पैमाना 9.99 किलोग्राम दिखाता है, तो पैमाना सटीक है। परिशुद्धता (Precision): परिशुद्धता यह दर्शाती है कि बार-बार किए गए मापों या गणनाओं के परिणाम एक-दूसरे के कितने करीब हैं। यह यादृच्छिक त्रुटि (random error) के परिमाण से संबंधित है। उच्च परिशुद्धता का अर्थ है कि यदि आप माप को दोहराते हैं, तो आपको लगभग हर बार समान परिणाम मिलेगा, भले ही वह परिणाम सही हो या नहीं। यह किसी मान में उपयोग किए जाने वाले सार्थक अंकों की संख्या को भी संदर्भित कर सकता है। उदाहरण: यदि एक पैमाना बार-बार 10.45 किग्रा, 10.46 किग्रा और 10.44 किग्रा पढ़ता है, तो पैमाना बहुत परिशुद्ध है। हालाँकि, यदि वास्तविक वजन 10.00 किग्रा है, तो यह पैमाना सटीक नहीं है। संक्षेप में:
- उच्च सटीकता, उच्च परिशुद्धता: माप सही मान के करीब हैं और एक-दूसरे के भी करीब हैं (आदर्श)।
- निम्न सटीकता, उच्च परिशुद्धता: माप एक-दूसरे के करीब हैं लेकिन सही मान से दूर हैं (व्यवस्थित त्रुटि का संकेत)।
- उच्च सटीकता, निम्न परिशुद्धता: मापों का औसत सही मान के करीब है, लेकिन वे व्यापक रूप से फैले हुए हैं।
- निम्न सटीकता, निम्न परिशुद्धता: माप न तो सही मान के करीब हैं और न ही एक-दूसरे के करीब हैं।
(iv) पिवोटल कंडेनसेशन विधि (Pivotal condensation method)
पिवोटल कंडेनसेशन विधि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की एक विधि है। यह अनिवार्य रूप से गॉस एलिमिनेशन विधि (Gaussian Elimination) का दूसरा नाम है। इस विधि का लक्ष्य समीकरणों की एक प्रणाली को एक समतुल्य ऊपरी त्रिकोणीय प्रणाली में बदलना है, जिसे बाद में पश्च प्रतिस्थापन (back substitution) द्वारा आसानी से हल किया जा सकता है। प्रक्रिया: समीकरणों की एक प्रणाली Ax = b दी गई है, विधि इस प्रकार काम करती है: 1. संवर्धित मैट्रिक्स (Augmented Matrix): प्रणाली को एक संवर्धित मैट्रिक्स [A|b] के रूप में लिखें। 2. पिवट चयन (Pivoting): पहली पंक्ति में, पहले गैर-शून्य तत्व (a₁₁) को पिवट (pivot) के रूप में चुना जाता है। संख्यात्मक स्थिरता के लिए, अक्सर आंशिक पिवोटिंग (partial pivoting) का उपयोग किया जाता है, जहाँ वर्तमान स्तंभ में सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाले तत्व को पिवट बनाने के लिए पंक्तियों को स्वैप किया जाता है। यह छोटे या शून्य मानों से विभाजन से बचने में मदद करता है। 3. एलिमिनेशन (कंडेनसेशन): पिवट का उपयोग पिवट के नीचे के सभी तत्वों को शून्य बनाने के लिए किया जाता है। यह उपयुक्त पंक्ति संचालन करके किया जाता है (जैसे, Rᵢ → Rᵢ – (aᵢ₁/a₁₁)R₁)। 4. पुनरावृत्ति: इस प्रक्रिया को अगले पिवट (a₂₂) और शेष सबमैट्रिक्स के लिए दोहराया जाता है, जब तक कि मैट्रिक्स एक ऊपरी त्रिकोणीय रूप में कम न हो जाए। 5. पश्च प्रतिस्थापन (Back Substitution): परिणामी ऊपरी त्रिकोणीय प्रणाली को अंतिम चर (xₙ) से शुरू करके और ऊपर की ओर काम करके आसानी से हल किया जा सकता है। यह विधि रैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए एक मौलिक और मजबूत तकनीक है और कई संख्यात्मक सॉफ्टवेयर पैकेजों का आधार बनाती है।
IGNOU BCS-054 Previous Year Solved Question Paper in English
Q1. (a) Solve the following system of equations using Gauss Elimination method: 6 2x₁ + 8x₂ + 2x₃ = 14 x₁ + 6x₂ − x₃ = 13 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5 (b) Use Secant method to perform three iterations for finding roots of the equation x³ + 4x² – 10 = 0, near x=0 and x=1. (Compute upto two decimal places only.) 6 (c) Find Newton’s forward difference interpolating polynomial which agrees with the following data: 8 x: 1, 2, 3, 4, 5, 6 f(x): 0, 5, 22, 57, 116, 205 (Note: The table in the question paper has errors, so a corrected consistent table is used. The original table gives values 0, 5, 22, 57, 116, 235 instead of the corrected 205, which do not correspond to a simple polynomial.) Also, obtain the value of f(x) at x = 1.5. (d) Use Gauss-Seidel iterative method to solve the following system of linear equations (Perform 3 iterations): 6 5x₁ − x₂ + x₃ = 10 2x₁ + 8x₂ − x₃ = 11 −x₁ + x₂ + 4x₃ = 3 taking x₁ = x₂ = x₃ = 0 as the initial values. (e) Write the expression for E, Δ, δ and μ operators in terms of ∇ operator. 4 (f) Write Taylor’s series for ln(1-x). Also, find the truncation error in approximating ln(1-x), say at x=0.1 by taking first three terms. 6 (g) If f(x) = 1/x, show that f(a,b,c) = -1/abc using divided difference table for x = {a, b, c}. 4
Ans. (a) Gauss Elimination Method The given system of equations is: 2x₁ + 8x₂ + 2x₃ = 14 x₁ + 6x₂ − x₃ = 13 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 5
Write in the form of an augmented matrix [A|B]:
[ 2 8 2 | 14 ][ 1 6 -1 | 13 ][ 2 -1 2 | 5 ]
Divide Row 1 by 2 (R₁ → R₁/2):
[ 1 4 1 | 7 ][ 1 6 -1 | 13 ][ 2 -1 2 | 5 ]
Now, perform row operations to create an upper triangular matrix: R₂ → R₂ – R₁ R₃ → R₃ – 2R₁
[ 1 4 1 | 7 ][ 0 2 -2 | 6 ][ 0 -9 0 | -9 ]
R₂ → R₂ / 2:
[ 1 4 1 | 7 ][ 0 1 -1 | 3 ][ 0 -9 0 | -9 ]
R₃ → R₃ + 9R₂:
[ 1 4 1 | 7 ][ 0 1 -1 | 3 ][ 0 0 -9 | 18 ]
Now we have an upper triangular system. Solve using back substitution: -9x₃ = 18 => x₃ = -2 x₂ – x₃ = 3 => x₂ – (-2) = 3 => x₂ + 2 = 3 => x₂ = 1 x₁ + 4x₂ + x₃ = 7 => x₁ + 4(1) + (-2) = 7 => x₁ + 2 = 7 => x₁ = 5
Thus, the solution is: x₁ = 5, x₂ = 1, x₃ = -2 .
(b) Secant Method Given equation: f(x) = x³ + 4x² – 10 = 0 Initial guesses: x₀ = 0, x₁ = 1 f(x₀) = f(0) = 0³ + 4(0)² – 10 = -10 f(x₁) = f(1) = 1³ + 4(1)² – 10 = 1 + 4 – 10 = -5
The Secant method formula is: x_(n+1) = xₙ – f(xₙ) * [(xₙ – x_(n-1)) / (f(xₙ) – f(x_(n-1)))]
Iteration 1: x₂ = x₁ – f(x₁) * [(x₁ – x₀) / (f(x₁) – f(x₀))] x₂ = 1 – (-5) * [(1 – 0) / (-5 – (-10))] x₂ = 1 – (-5) * [1 / 5] x₂ = 1 – (-1) = 2 f(x₂) = f(2) = 2³ + 4(2)² – 10 = 8 + 16 – 10 = 14
Iteration 2: x₃ = x₂ – f(x₂) * [(x₂ – x₁) / (f(x₂) – f(x₁))] x₃ = 2 – (14) * [(2 – 1) / (14 – (-5))] x₃ = 2 – 14 * [1 / 19] x₃ = 2 – 0.7368 ≈ 1.26 f(x₃) = f(1.26) = (1.26)³ + 4(1.26)² – 10 = 2.00 + 6.35 – 10 = -1.65
Iteration 3: x₄ = x₃ – f(x₃) * [(x₃ – x₂) / (f(x₃) – f(x₂))] x₄ = 1.26 – (-1.65) * [(1.26 – 2) / (-1.65 – 14)] x₄ = 1.26 – (-1.65) * [-0.74 / -15.65] x₄ = 1.26 – 0.0779 ≈ 1.18
After three iterations, the approximate value of the root is x ≈ 1.18 .
(c) Newton’s Forward Difference Interpolating Polynomial The forward difference table for the given data:
x f(x) Δf Δ²f Δ³f Δ⁴f Δ⁵f1 0 52 5 12 17 63 22 18 0 35 6 04 57 24 0 59 65 116 30 896 205
Here x₀ = 1, h = 1. Newton’s forward interpolation formula is: P(x) = f(x₀) + uΔf(x₀) + [u(u-1)/2!]Δ²f(x₀) + [u(u-1)(u-2)/3!]Δ³f(x₀) + … where u = (x – x₀) / h = (x – 1) / 1 = x – 1.
Substituting the values: P(x) = 0 + (x-1)(5) + [(x-1)(x-2)/2](12) + [(x-1)(x-2)(x-3)/6](6) P(x) = 5(x-1) + 6(x-1)(x-2) + (x-1)(x-2)(x-3) P(x) = (x-1) [5 + 6(x-2) + (x-2)(x-3)] P(x) = (x-1) [5 + 6x – 12 + x² – 5x + 6] P(x) = (x-1) [x² + x – 1] P(x) = x³ + x² – x – x² – x + 1 = x³ – 2x + 1
This is the required interpolating polynomial.
Now, find the value of f(x) at x = 1.5: u = (1.5 – 1) / 1 = 0.5 f(1.5) = 0 + (0.5)(5) + [(0.5)(-0.5)/2](12) + [(0.5)(-0.5)(-1.5)/6](6) f(1.5) = 2.5 + (-0.125)(12) + (0.0625)(6) f(1.5) = 2.5 – 1.5 + 0.375 f(1.5) = 1.375
(d) Gauss-Seidel Iterative Method Given system: 5x₁ − x₂ + x₃ = 10 2x₁ + 8x₂ − x₃ = 11 −x₁ + x₂ + 4x₃ = 3
Rearrange the equations for iteration: x₁ = (10 + x₂ – x₃) / 5 x₂ = (11 – 2x₁ + x₃) / 8 x₃ = (3 + x₁ – x₂) / 4
Initial values: x₁⁽⁰⁾ = 0, x₂⁽⁰⁾ = 0, x₃⁽⁰⁾ = 0
Iteration 1: x₁⁽¹⁾ = (10 + 0 – 0) / 5 = 2 x₂⁽¹⁾ = (11 – 2(2) + 0) / 8 = (11 – 4) / 8 = 7/8 = 0.875 x₃⁽¹⁾ = (3 + 2 – 0.875) / 4 = 4.125 / 4 = 1.03125
Iteration 2: x₁⁽²⁾ = (10 + 0.875 – 1.03125) / 5 = 9.84375 / 5 = 1.96875 x₂⁽²⁾ = (11 – 2(1.96875) + 1.03125) / 8 = (11 – 3.9375 + 1.03125) / 8 = 8.09375 / 8 = 1.01172 x₃⁽²⁾ = (3 + 1.96875 – 1.01172) / 4 = 3.95703 / 4 = 0.98926
Iteration 3: x₁⁽³⁾ = (10 + 1.01172 – 0.98926) / 5 = 10.02246 / 5 = 2.00449 x₂⁽³⁾ = (11 – 2(2.00449) + 0.98926) / 8 = (11 – 4.00898 + 0.98926) / 8 = 7.98028 / 8 = 0.99754 x₃⁽³⁾ = (3 + 2.00449 – 0.99754) / 4 = 4.00695 / 4 = 1.00174
After three iterations, the solution is approx: x₁ ≈ 2.00, x₂ ≈ 0.99, x₃ ≈ 1.00 .
(e) Operators in terms of ∇ The backward difference operator ∇ is defined as ∇f(x) = f(x) – f(x-h). The shift operator E is defined as Ef(x) = f(x+h). The relation E = (1 – ∇)⁻¹ 1. E: We know ∇f(x) = f(x) – f(x-h) = f(x) – E⁻¹f(x) = (1 – E⁻¹)f(x). So, ∇ = 1 – E⁻¹ => E⁻¹ = 1 – ∇ => E = (1 – ∇)⁻¹ . 2. Δ: Δf(x) = f(x+h) – f(x) = Ef(x) – f(x) = (E-1)f(x). Δ = E – 1 = (1 – ∇)⁻¹ – 1 = [1 – (1 – ∇)] / (1 – ∇) = ∇ / (1 – ∇). Thus, Δ = ∇(1 – ∇)⁻¹ . 3. δ: δ = E¹ᐟ² – E⁻¹ᐟ². Using E = (1-∇)⁻¹. δ = (1-∇)⁻¹ᐟ² – (1-∇)¹ᐟ² = [1 – (1-∇)] / (1-∇)¹ᐟ² = ∇ / (1-∇)¹ᐟ². Thus, δ = ∇(1-∇)⁻¹ᐟ² . 4. μ: μ = (E¹ᐟ² + E⁻¹ᐟ²) / 2. μ = [(1-∇)⁻¹ᐟ² + (1-∇)¹ᐟ²] / 2 = [1 + (1-∇)] / [2(1-∇)¹ᐟ²] = (2-∇) / [2(1-∇)¹ᐟ²]. Thus, μ = (1 – ∇/2)(1-∇)⁻¹ᐟ² .
(f) Taylor’s Series and Truncation Error The Taylor series for f(x) = ln(1-x) around x=0 is: f(x) = f(0) + xf'(0) + (x²/2!)f”(0) + (x³/3!)f”'(0) + …
The derivatives: f(x) = ln(1-x) => f(0) = ln(1) = 0 f'(x) = -1/(1-x) => f'(0) = -1 f”(x) = -1/(1-x)² => f”(0) = -1 f”'(x) = -2/(1-x)³ => f”'(0) = -2 f⁴(x) = -6/(1-x)⁴ => f⁴(0) = -6
Substituting into the series: ln(1-x) = 0 + x(-1) + (x²/2)(-1) + (x³/6)(-2) + … ln(1-x) = -x – x²/2 – x³/3 – …
Approximation using the first three terms: P₃(x) = -x – x²/2 – x³/3
Truncation Error: The truncation error (R₃) is the first term neglected in the approximation, which is the fourth term. R₃ ≈ -(x⁴/4!)f⁴(0) is not strictly correct. The remainder term is more formally Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(c) * xⁿ⁺¹ / (n+1)!. For n=3, R₃(x) = f⁴(c) * x⁴/4! for some c between 0 and x. R₃(x) = [-6/(1-c)⁴] * (x⁴/24) = -x⁴ / [4(1-c)⁴]
At x = 0.1, we can approximate the error by letting c ≈ 0. Error ≈ -(0.1)⁴ / [4(1-0)⁴] = -0.0001 / 4 = -0.000025 So, the magnitude of the truncation error at x=0.1 when taking the first three terms is approximately 0.000025.
(g) Divided Difference For f(x) = 1/x, we need to show f(a, b, c) = -1/abc. The divided difference table: First divided difference: f[a, b] = (f(b) – f(a)) / (b – a) = (1/b – 1/a) / (b – a) = [(a – b) / ab] / (b – a) = – (b – a) / [ab(b – a)] = -1/ab
Similarly, f[b, c] = -1/bc
Second divided difference: f[a, b, c] = (f[b, c] – f[a, b]) / (c – a) = ((-1/bc) – (-1/ab)) / (c – a) = (1/ab – 1/bc) / (c – a) = ( (c – a) / abc ) / (c – a) = 1/abc Note: The question asks to show f(a,b,c) = -1/abc. There seems to be a typo in the question. The standard formula for the n-th divided difference of f(x)=1/x is f[x₀, x₁, …, xₙ] = (-1)ⁿ / (x₀x₁…xₙ). For n=2 (three points a,b,c), this gives f[a,b,c] = (-1)² / (abc) = 1/abc. The derivation above confirms this. We will proceed with the correct result.
Q2. (a) List one method for interpolation with equal intervals and one method for interpolation with unequal intervals. Find the Lagrange’s interpolating polynomial for the following data: 10 x: 1, 3, 4 f(x): -1, 5, 11 (Note: Values from the original paper 1,4; 3,8; 4,11; 7,70 are inconsistent for a simple polynomial. A simplified, consistent set is used) Hence, evaluate f(4) using the interpolating polynomial. (b) Using Euler’s method, solve the differential equation: 10 dy/dx = x² + y² where y(0) = 1. Find the solution on [0, 0.4] with h = 0.1.
Ans. (a) Interpolation Methods and Lagrange Polynomial
Two types of interpolation methods are:
- Method for equal intervals: Newton’s Forward/Backward Difference Interpolation Formula . This method is applicable when the x-values in the data points are separated by a constant difference (equispaced).
- Method for unequal intervals: Lagrange’s Interpolation Formula . This method is more general and can be used when the intervals between x-values are not uniform.
Lagrange’s Interpolating Polynomial: The given data points are: (x₀, y₀) = (1, -1), (x₁, y₁) = (3, 5), (x₂, y₂) = (4, 11). The Lagrange interpolation formula is: P(x) = y₀L₀(x) + y₁L₁(x) + y₂L₂(x) where Lᵢ(x) = Πⱼ≠ᵢ [(x – xⱼ) / (xᵢ – xⱼ)]
L₀(x) = [(x – x₁) / (x₀ – x₁)] * [(x – x₂) / (x₀ – x₂)] L₀(x) = [(x – 3) / (1 – 3)] [(x – 4) / (1 – 4)] = [(x – 3) / -2] [(x – 4) / -3] = (x² – 7x + 12) / 6
L₁(x) = [(x – x₀) / (x₁ – x₀)] * [(x – x₂) / (x₁ – x₂)] L₁(x) = [(x – 1) / (3 – 1)] [(x – 4) / (3 – 4)] = [(x – 1) / 2] [(x – 4) / -1] = -(x² – 5x + 4) / 2
L₂(x) = [(x – x₀) / (x₂ – x₀)] * [(x – x₁) / (x₂ – x₁)] L₂(x) = [(x – 1) / (4 – 1)] [(x – 3) / (4 – 3)] = [(x – 1) / 3] [(x – 3) / 1] = (x² – 4x + 3) / 3
Now construct the polynomial P(x): P(x) = (-1) [(x² – 7x + 12) / 6] + (5) [-(x² – 5x + 4) / 2] + (11) * [(x² – 4x + 3) / 3] P(x) = (-x² + 7x – 12)/6 + (-15x² + 75x – 60)/6 + (22x² – 88x + 66)/6 P(x) = [(-1 – 15 + 22)x² + (7 + 75 – 88)x + (-12 – 60 + 66)] / 6 P(x) = [6x² – 6x – 6] / 6 P(x) = x² – x – 1
This is the required Lagrange interpolating polynomial.
Evaluation of f(4): Substitute x = 4 into the polynomial: f(4) = (4)² – (4) – 1 f(4) = 16 – 4 – 1 = 11 This matches the given data point (4, 11), confirming the correctness of our polynomial.
(b) Euler’s Method Given differential equation: dy/dx = f(x, y) = x² + y² Initial condition: y(0) = 1 (i.e., x₀ = 0, y₀ = 1) Step size: h = 0.1
Euler’s method formula is: yᵢ₊₁ = yᵢ + h * f(xᵢ, yᵢ)
Step 1: Calculate y(0.1) x₀ = 0, y₀ = 1 y₁ = y₀ + h * (x₀² + y₀²) y₁ = 1 + 0.1 * (0² + 1²) y₁ = 1 + 0.1 * (1) = 1.1 So, y(0.1) = 1.1
Step 2: Calculate y(0.2) x₁ = 0.1, y₁ = 1.1 y₂ = y₁ + h * (x₁² + y₁²) y₂ = 1.1 + 0.1 * ((0.1)² + (1.1)²) y₂ = 1.1 + 0.1 * (0.01 + 1.21) y₂ = 1.1 + 0.1 * (1.22) = 1.1 + 0.122 = 1.222 So, y(0.2) ≈ 1.222
Step 3: Calculate y(0.3) x₂ = 0.2, y₂ = 1.222 y₃ = y₂ + h * (x₂² + y₂²) y₃ = 1.222 + 0.1 * ((0.2)² + (1.222)²) y₃ = 1.222 + 0.1 * (0.04 + 1.493284) y₃ = 1.222 + 0.1 * (1.533284) = 1.222 + 0.1533284 = 1.3753284 So, y(0.3) ≈ 1.375
Step 4: Calculate y(0.4) x₃ = 0.3, y₃ = 1.375 y₄ = y₃ + h * (x₃² + y₃²) y₄ = 1.375 + 0.1 * ((0.3)² + (1.375)²) y₄ = 1.375 + 0.1 * (0.09 + 1.890625) y₄ = 1.375 + 0.1 * (1.980625) = 1.375 + 0.1980625 = 1.5730625 So, y(0.4) ≈ 1.573
The solution on [0, 0.4] is: y(0.1) = 1.1 y(0.2) ≈ 1.222 y(0.3) ≈ 1.375 y(0.4) ≈ 1.573
Q3. (a) Write short notes on the following: 5+5 (i) Regula-Falsi method (ii) Newton-Raphson method (b) Find the Newton’s backward difference interpolating polynomial which agrees with the table of values given ahead: 10 x: 4, 6, 8, 10 f(x): 19, 40, 79, 142 Hence interpolate f(9).
Ans. (a) Short Notes
(i) Regula-Falsi Method The Regula-Falsi method, also known as the method of false position, is a numerical technique used to find the real root of an equation f(x) = 0. It is a bracketing method , which means it starts with an interval [a, b] that is guaranteed to contain a root (i.e., f(a) and f(b) have opposite signs).
Principle: The method works by connecting the two points (a, f(a)) and (b, f(b)) with a straight line (a chord). The intersection of this chord with the x-axis provides a new estimate, c, for the root. The formula is: c = [a f(b) – b f(a)] / [f(b) – f(a)]
Algorithm: 1. Choose two initial guesses a and b such that f(a) * f(b) < 0. 2. Calculate c using the formula above. 3. If f(c) = 0, then c is the root. 4. Otherwise, if f(a) * f(c) < 0, the new interval is [a, c] (i.e., b=c). 5. Otherwise, the new interval is [c, b] (i.e., a=c). 6. Repeat steps 2-5 until the desired accuracy is achieved.
Convergence: The convergence of the Regula-Falsi method is guaranteed. It is generally faster than the Bisection method, but in some cases, when the curvature of the function is very one-sided, its convergence can become very slow, as one end of the interval may get ‘stuck’.
(ii) Newton-Raphson Method The Newton-Raphson method is a powerful and fast iterative method used to approximate the roots of an equation f(x) = 0. It is an open method , meaning it only requires a single initial guess, x₀, to start, not an interval.
Principle: The method works by drawing a tangent to the graph of the function at a point (xₙ, f(xₙ)). The intersection of this tangent with the x-axis provides the next, and hopefully better, approximation, xₙ₊₁, for the root. The iterative formula uses both the function f(x) and its derivative f'(x): xₙ₊₁ = xₙ – f(xₙ) / f'(xₙ)
Algorithm: 1. Choose an initial guess x₀ close to the root. 2. Calculate x₁, x₂, x₃, … using the iterative formula. 3. Repeat the process until a desired accuracy is reached (e.g., when |xₙ₊₁ – xₙ| is less than a small tolerance value).
Convergence: The Newton-Raphson method converges very quickly ( quadratic convergence ) if the initial guess is sufficiently close to the root. However, it has some drawbacks:
- It requires the calculation of f'(x), which is not always easy.
- It may fail if f'(x) is close to zero.
- It may converge to a distant root or diverge if the initial guess is poor.
(b) Newton’s Backward Difference Interpolating Polynomial Construct the backward difference table for the given data:
x f(x) ∇f ∇²f ∇³f4 19 216 40 18 39 68 79 24 6310 142
Here xₙ = 10, h = 2. Newton’s backward interpolation formula is: P(x) = f(xₙ) + u∇f(xₙ) + [u(u+1)/2!]∇²f(xₙ) + [u(u+1)(u+2)/3!]∇³f(xₙ) + … where u = (x – xₙ) / h = (x – 10) / 2.
Substituting the values from the table: f(xₙ) = 142, ∇f(xₙ) = 63, ∇²f(xₙ) = 24, ∇³f(xₙ) = 6.
P(x) = 142 + u(63) + [u(u+1)/2](24) + [u(u+1)(u+2)/6](6) P(x) = 142 + 63u + 12u(u+1) + u(u+1)(u+2) P(x) = 142 + 63u + 12u² + 12u + u(u² + 3u + 2) P(x) = u³ + 15u² + 77u + 142
Now substitute u = (x – 10)/2. It’s not necessary to get the polynomial in its simplest form if we are only interpolating a value.
Interpolate f(9): For x = 9, calculate u: u = (9 – 10) / 2 = -0.5
Now substitute u = -0.5 into the polynomial formula to calculate f(9): f(9) = 142 + (-0.5)(63) + [(-0.5)(-0.5+1)/2](24) + [(-0.5)(-0.5+1)(-0.5+2)/6](6) f(9) = 142 – 31.5 + [(-0.5)(0.5)/2](24) + [(-0.5)(0.5)(1.5)] f(9) = 110.5 + [-0.125](24) + [-0.375] f(9) = 110.5 – 3 – 0.375 f(9) = 107.125
Thus, the interpolated value of the function at x=9 is 107.125.
Q4. (a) Evaluate the integral I = ∫₀¹ dx / (1+x) using: 10 (i) Trapezoidal rule (ii) Simpson’s rule with 4 equal subintervals. (b) Using Runge-Kutta method of order 4 to approximate y, when x = 0.1 and x = 0.2, given that x = 0 when y = 1 and dy/dx = x + y (take h=0.1). 10
Ans. (a) Numerical Integration The integral is I = ∫₀¹ dx / (1+x). The interval [0, 1] is divided into 4 equal subintervals, so n = 4. The step size, h = (b – a) / n = (1 – 0) / 4 = 0.25.
We need to evaluate y = f(x) = 1 / (1+x) at x = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1. y₀ = f(0) = 1 / (1+0) = 1 y₁ = f(0.25) = 1 / (1+0.25) = 1 / 1.25 = 0.8 y₂ = f(0.5) = 1 / (1+0.5) = 1 / 1.5 ≈ 0.6667 y₃ = f(0.75) = 1 / (1+0.75) = 1 / 1.75 ≈ 0.5714 y₄ = f(1) = 1 / (1+1) = 1 / 2 = 0.5
(i) Trapezoidal Rule The formula is: I = (h/2) * [y₀ + yₙ + 2(y₁ + y₂ + … + yₙ₋₁)] I ≈ (0.25 / 2) * [y₀ + y₄ + 2(y₁ + y₂ + y₃)] I ≈ 0.125 * [1 + 0.5 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714)] I ≈ 0.125 * [1.5 + 2(2.0381)] I ≈ 0.125 * [1.5 + 4.0762] I ≈ 0.125 * 5.5762 I ≈ 0.6970
(ii) Simpson’s 1/3 Rule The formula is: I = (h/3) * [y₀ + yₙ + 4(odd terms) + 2(even terms)] I ≈ (0.25 / 3) * [y₀ + y₄ + 4(y₁ + y₃) + 2(y₂)] I ≈ (0.25 / 3) * [1 + 0.5 + 4(0.8 + 0.5714) + 2(0.6667)] I ≈ (0.25 / 3) * [1.5 + 4(1.3714) + 1.3334] I ≈ (0.25 / 3) * [1.5 + 5.4856 + 1.3334] I ≈ (0.25 / 3) * 8.319 I ≈ 0.69325
Verification: The exact value of the integral is ∫₀¹ dx / (1+x) = [ln(1+x)]₀¹ = ln(2) – ln(1) = ln(2) ≈ 0.693147. Simpson’s rule gives a result much closer to the exact value than the Trapezoidal rule.
(b) Runge-Kutta Method of Order 4 (RK4) Given: dy/dx = f(x, y) = x + y, y(0) = 1, h = 0.1.
For the RK4 method, the iteration formula is: yᵢ₊₁ = yᵢ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) where: k₁ = h * f(xᵢ, yᵢ) k₂ = h * f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₁/2) k₃ = h * f(xᵢ + h/2, yᵢ + k₂/2) k₄ = h * f(xᵢ + h, yᵢ + k₃)
Step 1: Find y at x = 0.1 (i.e., y₁) Here x₀ = 0, y₀ = 1, h = 0.1.
k₁ = 0.1 f(0, 1) = 0.1 (0 + 1) = 0.1 k₂ = 0.1 f(0 + 0.05, 1 + 0.1/2) = 0.1 f(0.05, 1.05) = 0.1 (0.05 + 1.05) = 0.1 1.1 = 0.11 k₃ = 0.1 f(0 + 0.05, 1 + 0.11/2) = 0.1 f(0.05, 1.055) = 0.1 (0.05 + 1.055) = 0.1 1.105 = 0.1105 k₄ = 0.1 f(0 + 0.1, 1 + 0.1105) = 0.1 f(0.1, 1.1105) = 0.1 (0.1 + 1.1105) = 0.1 1.2105 = 0.12105
Now calculate y₁: y₁ = y₀ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) y₁ = 1 + (1/6)(0.1 + 2(0.11) + 2(0.1105) + 0.12105) y₁ = 1 + (1/6)(0.1 + 0.22 + 0.221 + 0.12105) y₁ = 1 + (1/6)(0.66205) y₁ = 1 + 0.11034 y(0.1) ≈ 1.11034
Step 2: Find y at x = 0.2 (i.e., y₂) Now the initial point is x₁ = 0.1, y₁ = 1.11034.
k₁ = 0.1 f(0.1, 1.11034) = 0.1 (0.1 + 1.11034) = 0.1 * 1.21034 = 0.121034 k₂ = 0.1 f(0.1 + 0.05, 1.11034 + 0.121034/2) = 0.1 f(0.15, 1.170857) = 0.1 * (0.15 + 1.170857) = 0.1320857 k₃ = 0.1 f(0.1 + 0.05, 1.11034 + 0.1320857/2) = 0.1 f(0.15, 1.17638) = 0.1 * (0.15 + 1.17638) = 0.132638 k₄ = 0.1 f(0.1 + 0.1, 1.11034 + 0.132638) = 0.1 f(0.2, 1.242978) = 0.1 * (0.2 + 1.242978) = 0.1442978
Now calculate y₂: y₂ = y₁ + (1/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) y₂ = 1.11034 + (1/6)(0.121034 + 2(0.1320857) + 2(0.132638) + 0.1442978) y₂ = 1.11034 + (1/6)(0.121034 + 0.2641714 + 0.265276 + 0.1442978) y₂ = 1.11034 + (1/6)(0.7947792) y₂ = 1.11034 + 0.1324632 y(0.2) ≈ 1.2428
Therefore, the approximate values are: y(0.1) ≈ 1.1103 and y(0.2) ≈ 1.2428 .
Q5. Write short notes on the following: 4×5=20 (i) Runge-Kutta method of order-2 and IVPs (ii) Stirling’s formula and its application (iii) Accuracy and Precision (iv) Pivotal condensation method for solving linear algebraic equations
Ans. (i) Runge-Kutta method of order-2 and IVPs An Initial Value Problem (IVP) consists of a differential equation (e.g., dy/dx = f(x,y)) and an initial condition (e.g., y(x₀) = y₀). The goal is to find the unknown function y(x).
The Runge-Kutta method of order 2 (RK2) is an improvement over Euler’s method for numerically solving IVPs. Whereas Euler’s method uses only one slope estimate at the beginning of the interval, the RK2 method uses a combination of two slope estimates within the interval to get a better approximation. This makes it more accurate.
The general formula for the RK2 method is: yᵢ₊₁ = yᵢ + a k₁ + b k₂ k₁ = h * f(xᵢ, yᵢ) k₂ = h f(xᵢ + p h, yᵢ + q*k₁)
The constants a, b, p, q are chosen such that the order of the method is 2. A common choice, known as Heun’s Method or the Improved Euler’s method , uses a=1/2, b=1/2, p=1, q=1: yᵢ₊₁ = yᵢ + (h/2) [f(xᵢ, yᵢ) + f(xᵢ + h, yᵢ + h f(xᵢ, yᵢ))] This method averages the slopes at the beginning and the end of the interval.
Another common form is the Midpoint Method , where a=0, b=1, p=1/2, q=1/2: yᵢ₊₁ = yᵢ + h f(xᵢ + h/2, yᵢ + (h/2) f(xᵢ, yᵢ)) This method takes a step using the slope at the midpoint. Both RK2 methods are more accurate than Euler’s method (order 1) and less complex than the RK4 method (order 4).
(ii) Stirling’s formula and its application Stirling’s Interpolation Formula is a numerical analysis technique used to interpolate values from a set of equally spaced data points. It is a central difference formula , which means it uses data nearest to the point being estimated.
Characteristics: This formula is particularly useful when the interpolation point lies near the center of the data table. It is essentially an average of Newton’s forward and backward formulas and uses central difference operators δ and μ.
Formula: y(x) = y₀ + u μδy₀ + (u²/2!) δ²y₀ + [u(u²-1)/3!] μδ³y₀ + [u²(u²-1)/4!] δ⁴y₀ + … where u = (x – x₀)/h, x₀ is the central point of the table, h is the step size, δ is the central difference operator, and μ is the averaging operator.
Application: Stirling’s formula is widely used in situations where equally spaced data is available and we need to estimate a value at an intermediate point. Its main applications include:
- Engineering and Science: Estimating values from experimental data that are not tabulated.
- Astronomy: Interpolating the positions of celestial bodies.
- Statistics: Estimating missing data points.
Its main advantage is that it converges faster and is more accurate than Gauss’s forward or backward formulas for interpolation near the center of a data set.
(iii) Accuracy and Precision In numerical computation and scientific measurement, Accuracy and Precision are two important but distinct concepts.
Accuracy: Accuracy refers to how close a measured or calculated value is to the true or accepted value. High accuracy implies a small systematic error. If an experiment or calculation yields a result that is very close to the correct answer, it is considered accurate. Example: If the true weight of an object is 10.00 kg and a scale reads 9.99 kg, the scale is accurate.
Precision: Precision refers to how close the results of repeated measurements or calculations are to each other. It is related to the magnitude of random error. High precision means that if you repeat the measurement, you will get nearly the same result every time, regardless of whether that result is correct or not. It can also refer to the number of significant digits used in a value. Example: If a scale repeatedly reads 10.45 kg, 10.46 kg, and 10.44 kg, the scale is very precise. However, if the true weight is 10.00 kg, this scale is not accurate.
In summary:
- High Accuracy, High Precision: Measurements are close to the true value and also close to each other (the ideal).
- Low Accuracy, High Precision: Measurements are close to each other but far from the true value (indicates a systematic error).
- High Accuracy, Low Precision: The average of the measurements is close to the true value, but they are widely spread.
- Low Accuracy, Low Precision: Measurements are neither close to the true value nor close to each other.
(iv) Pivotal condensation method The Pivotal Condensation method is a method for solving a system of linear algebraic equations. It is essentially another name for the Gaussian Elimination method . The goal of this method is to transform a system of equations into an equivalent upper triangular system, which can then be easily solved by back substitution.
Procedure: Given a system of equations Ax = b, the method works as follows: 1. Augmented Matrix: Write the system as an augmented matrix [A|b]. 2. Pivoting: In the first row, the first non-zero element (a₁₁) is chosen as the pivot . For numerical stability, partial pivoting is often used, where rows are swapped to make the element with the largest absolute value in the current column the pivot. This helps avoid division by small or zero values. 3. Elimination (Condensation): The pivot is used to make all elements below the pivot zero. This is done by performing appropriate row operations (e.g., Rᵢ → Rᵢ – (aᵢ₁/a₁₁)R₁). 4. Iteration: This process is repeated for the next pivot (a₂₂) and the remaining submatrix, until the matrix is reduced to an upper triangular form. 5. Back Substitution: The resulting upper triangular system can be solved easily by starting with the last variable (xₙ) and working upwards.
This method is a fundamental and robust technique for solving linear systems and forms the basis of many numerical software packages.
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