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- IGNOU MCS-053 Solved Question Paper in Hindi
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IGNOU MCS-053 Solved Question Paper PDF
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IGNOU MCS-053 Previous Year Solved Question Paper in Hindi
Q1. (a) निम्नलिखित रूपांतरणों के लिए सजातीय निर्देशांक प्रणाली में 2D मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व लिखें: x5=5 (i) स्थानांतरण (ii) घूर्णन (iii) स्केलिंग (iv) परावर्तन (v) शीयर (b) विंडोइंग रूपांतरण क्या है? समीकरण और आरेख के साथ विंडो से व्यूपोर्ट मैपिंग की व्याख्या करें। 5 (c) बिटमैप ग्राफिक्स की तुलना वेक्टर ग्राफिक्स से करें। दोनों की विशेषताएँ बताएँ। 5 (d) निम्नलिखित के बीच अंतर करें: 5×3=5 (i) पैरामीट्रिक निरंतरता बनाम ज्यामितीय निरंतरता (ii) गौराड शेडिंग बनाम फोंग शेडिंग (iii) फ्रेम बनाम स्प्राइट एनिमेशन (e) Z-बफर एल्गोरिथ्म लिखें। Z-बफर एल्गोरिथ्म द्वारा अधिकतम कितनी वस्तुओं को संभाला जा सकता है? 5 (f) ‘ऑथरिंग टूल्स’ शब्द पर संक्षिप्त चर्चा करें और ऑथरिंग टूल्स के प्रकारों को सूचीबद्ध करें। 5
Ans.
(a) सजातीय निर्देशांक प्रणाली में 2D रूपांतरणों के लिए मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व: सजातीय निर्देशांक 2D ज्यामितीय रूपांतरणों को मैट्रिक्स गुणन के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। एक 2D बिंदु (x, y) को सजातीय निर्देशांक में (x, y, 1) के रूप में दर्शाया जाता है। रूपांतरण मैट्रिक्स 3×3 होते हैं।
- (i) स्थानांतरण (Translation): एक वस्तु को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने के लिए। स्थानांतरण दूरियों (tx, ty) के लिए मैट्रिक्स है: P’ = T(tx, ty) . P
[1 0 tx]T = [0 1 ty] [0 0 1 ]
- (ii) घूर्णन (Rotation): मूल बिंदु के चारों ओर एक वस्तु को कोण θ द्वारा घुमाने के लिए। मैट्रिक्स है: P’ = R(θ) . P
[cosθ -sinθ 0]R = [sinθ cosθ 0] [0 0 1]
- (iii) स्केलिंग (Scaling): एक वस्तु का आकार बदलने के लिए। स्केलिंग कारकों (Sx, Sy) के लिए मैट्रिक्स है: P’ = S(Sx, Sy) . P
[Sx 0 0]S = [0 Sy 0] [0 0 1]
- (iv) परावर्तन (Reflection): x-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन के लिए, y का मान नकारात्मक हो जाता है। मैट्रिक्स है:
[1 0 0]Rx = [0 -1 0] [0 0 1]
y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन के लिए, x का मान नकारात्मक हो जाता है।
- (v) शीयर (Shear): एक वस्तु के आकार को विकृत करने के लिए। x-दिशा में शीयर के लिए मैट्रिक्स है:
[1 Shx 0]SHx = [0 1 0] [0 0 1]
(b) विंडोइंग रूपांतरण (Windowing Transformation): विंडोइंग रूपांतरण, जिसे विंडो-टू-व्यूपोर्ट मैपिंग भी कहा जाता है, एक विश्व-निर्देशांक क्षेत्र (वर्ल्ड-कोऑर्डिनेट एरिया) जिसे विंडो कहा जाता है, से ग्राफिक्स को एक डिवाइस-निर्देशांक क्षेत्र (डिवाइस-कोऑर्डिनेट एरिया) जिसे व्यूपोर्ट कहा जाता है, पर मैप करने की प्रक्रिया है।
- विंडो (Window): यह विश्व-निर्देशांक प्रणाली में एक आयताकार क्षेत्र है जिसे हम देखना चाहते हैं। यह परिभाषित करता है कि क्या क्लिप किया जाना है।
- व्यूपोर्ट (Viewport): यह डिस्प्ले डिवाइस (स्क्रीन) पर एक क्षेत्र है जहाँ विंडो में परिभाषित ग्राफिक्स को मैप किया जाएगा। यह परिभाषित करता है कि कहाँ प्रदर्शित करना है।
विंडो से व्यूपोर्ट मैपिंग:
मान लीजिए विंडो के निर्देशांक (Wx_min, Wy_min) और (Wx_max, Wy_max) हैं।
मान लीजिए व्यूपोर्ट के निर्देशांक (Vx_min, Vy_min) और (Vx_max, Vy_max) हैं।
विंडो में एक बिंदु (Wx, Wy) को व्यूपोर्ट में एक बिंदु (Vx, Vy) पर मैप करना है। मैपिंग के लिए समीकरण रैखिक संबंध पर आधारित हैं:
(Vx – Vx_min) / (Vx_max – Vx_min) = (Wx – Wx_min) / (Wx_max – Wx_min)
(Vy – Vy_min) / (Vy_max – Vy_min) = (Wy – Wy_min) / (Wy_max – Wy_min)
Vx और Vy के लिए हल करने पर:
Vx = Vx_min + (Wx – Wx_min) * Sx
Vy = Vy_min + (Wy – Wy_min) * Sy
जहाँ स्केलिंग फैक्टर Sx और Sy हैं:
Sx = (Vx_max – Vx_min) / (Wx_max – Wx_min)
Sy = (Vy_max – Vy_min) / (Wy_max – Wy_min)
यह रूपांतरण विंडो से ऑब्जेक्ट को व्यूपोर्ट में उचित रूप से स्केल और अनुवादित करता है।
(आरेख: एक तरफ एक बड़ा ‘वर्ल्ड कोऑर्डिनेट सिस्टम’ दिखाएं जिसमें एक छोटा आयताकार ‘विंडो’ हो। दूसरी तरफ एक ‘स्क्रीन’ दिखाएं जिसमें एक आयताकार ‘व्यूपोर्ट’ हो। विंडो से व्यूपोर्ट तक मैपिंग दर्शाने वाले तीर बनाएं।)
(c) बिटमैप ग्राफिक्स बनाम वेक्टर ग्राफिक्स:
बिटमैप और वेक्टर ग्राफिक्स डिजिटल छवियों को बनाने और संग्रहीत करने के दो मुख्य तरीके हैं।
- बिटमैप ग्राफिक्स (Bitmap Graphics):
- परिभाषा: इन्हें रास्टर ग्राफिक्स भी कहा जाता है। छवियां पिक्सल के ग्रिड से बनी होती हैं, जहां प्रत्येक पिक्सेल को एक विशिष्ट रंग सौंपा जाता है।
- विशेषताएँ:
- संकल्प पर निर्भर (Resolution Dependent): छवि को बड़ा करने (स्केलिंग) पर पिक्सेलेशन (किनारे दांतेदार दिखना) होता है, जिससे गुणवत्ता कम हो जाती है।
- बड़ी फ़ाइल आकार: उच्च रिज़ॉल्यूशन और रंग गहराई वाली छवियों के लिए बड़ी फ़ाइलों की आवश्यकता होती है।
- संपादन: पिक्सेल-स्तर पर संपादन किया जाता है, जो जटिल हो सकता है।
- उपयोग: डिजिटल तस्वीरें, स्कैन की गई छवियां, और जटिल रंग मिश्रण वाली पेंटिंग के लिए आदर्श। सामान्य प्रारूप: JPEG, GIF, PNG, BMP।
- वेक्टर ग्राफिक्स (Vector Graphics):
- परिभाषा: छवियां गणितीय समीकरणों (जैसे रेखाएं, वक्र, और आकार) पर आधारित होती हैं।
- विशेषताएँ:
- संकल्प से स्वतंत्र (Resolution Independent): गुणवत्ता में कोई कमी किए बिना किसी भी आकार में बढ़ाया या घटाया जा सकता है।
- छोटे फ़ाइल आकार: जटिल छवियों के लिए भी आमतौर पर बिटमैप समकक्षों की तुलना में छोटे होते हैं।
- संपादन: वस्तुओं और आकारों को आसानी से संशोधित, स्केल और पुन: रंग किया जा सकता है।
- उपयोग: लोगो, चित्र, टाइपोग्राफी और तकनीकी चित्र के लिए आदर्श। सामान्य प्रारूप: SVG, AI, EPS, PDF।
(d) निम्नलिखित के बीच अंतर करें:
- (i) पैरामीट्रिक निरंतरता बनाम ज्यामितीय निरंतरता: ये दो वक्र खंडों के बीच सहजता (smoothness) का वर्णन करते हैं।
- पैरामीट्रिक निरंतरता (Cⁿ): यह एक सख्त शर्त है जो वक्रों के पैरामीट्रिक व्युत्पन्न (derivatives) से संबंधित है।
- C⁰: शून्य-कोटि की निरंतरता। वक्र बस जुड़ते हैं (अंतिम बिंदु मेल खाते हैं)।
- C¹: प्रथम-कोटि की निरंतरता। पहले व्युत्पन्न भी समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि वक्रों की गति और दिशा जोड़ पर समान होती है।
- ज्यामितीय निरंतरता (Gⁿ): यह एक कम सख्त शर्त है जो वक्र के आकार की ज्यामिति पर केंद्रित है।
- G⁰: C⁰ के समान, वक्र जुड़ते हैं।
- G¹: प्रथम-कोटि की निरंतरता। जोड़ पर स्पर्शरेखा सदिश (tangent vectors) एक ही दिशा में होते हैं, लेकिन उनका परिमाण भिन्न हो सकता है। यह अभी भी एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करता है।
मुख्य अंतर:
पैरामीट्रिक निरंतरता के लिए व्युत्पन्न सदिशों के परिमाण और दिशा दोनों का मेल होना आवश्यक है, जबकि ज्यामितीय निरंतरता के लिए केवल दिशा का मेल होना आवश्यक है (वे आनुपातिक हो सकते हैं)। - पैरामीट्रिक निरंतरता (Cⁿ): यह एक सख्त शर्त है जो वक्रों के पैरामीट्रिक व्युत्पन्न (derivatives) से संबंधित है।
- (ii) गौराड शेडिंग बनाम फोंग शेडिंग: ये दोनों 3D ग्राफिक्स में पॉलीगॉन को शेड करने के लिए इंटरपोलेशन तकनीकें हैं।
- गौराड शेडिंग (Gouraud Shading): यह एक तीव्रता इंटरपोलेशन विधि है।
- प्रत्येक शीर्ष (vertex) पर प्रकाश की तीव्रता (रंग) की गणना करें।
- पॉलीगॉन के किनारों के साथ इन रंगों को रैखिक रूप से इंटरपोलेट करें।
- स्कैन लाइनों के साथ इन किनारे के मानों को पॉलीगॉन की सतह पर इंटरपोलेट करें।
यह फ्लेट शेडिंग से बेहतर है लेकिन स्पेक्युलर हाइलाइट्स (specular highlights) को ठीक से प्रस्तुत नहीं कर सकता है और ‘माख बैंड’ (Mach bands) नामक कलाकृतियाँ दिखा सकता है।
- फोंग शेडिंग (Phong Shading): यह एक सामान्य-सदिश इंटरपोलेशन विधि है।
- प्रत्येक शीर्ष पर सामान्य सदिश (normal vector) की गणना करें।
- इन सामान्य सदिशों को पॉलीगॉन की सतह पर रैखिक रूप से इंटरपोलेट करें।
- प्रत्येक पिक्सेल पर, इंटरपोलेटेड सामान्य का उपयोग करके प्रकाश की गणना करें।
यह गौराड शेडिंग की तुलना में अधिक यथार्थवादी है, विशेष रूप से स्पेक्युलर हाइलाइट्स के लिए, लेकिन यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है।
- गौराड शेडिंग (Gouraud Shading): यह एक तीव्रता इंटरपोलेशन विधि है।
- (iii) फ्रेम बनाम स्प्राइट एनिमेशन:
- फ्रेम एनिमेशन (Frame Animation): इसे सेल-आधारित एनिमेशन भी कहा जाता है। गति का भ्रम पैदा करने के लिए छवियों (फ्रेम) का एक अनुक्रम तेजी से प्रदर्शित किया जाता है। प्रत्येक फ्रेम एक पूरी तरह से नई छवि है, भले ही पिछले फ्रेम से केवल एक छोटा सा परिवर्तन हुआ हो। यह पारंपरिक कार्टून की तरह काम करता है। यह उच्च गुणवत्ता वाला हो सकता है लेकिन बड़ी मात्रा में मेमोरी और प्रोसेसिंग पावर की आवश्यकता होती है।
- स्प्राइट एनिमेशन (Sprite Animation): इस तकनीक में, जिसे कास्ट-आधारित एनिमेशन भी कहा जाता है, स्प्राइट्स नामक ग्राफिकल ऑब्जेक्ट्स को एक स्थिर पृष्ठभूमि पर स्वतंत्र रूप से ले जाया जाता है। एनिमेशन बनाने के लिए पूरे फ्रेम को फिर से बनाने के बजाय, सिस्टम केवल स्प्राइट की स्थिति को अपडेट करता है। यह फ्रेम एनिमेशन की तुलना में बहुत अधिक मेमोरी-कुशल और तेज है, जो इसे 2D गेम और सरल इंटरफेस के लिए आदर्श बनाता है।
(e) Z-बफर एल्गोरिथ्म (Z-Buffer Algorithm): Z-बफर एल्गोरिथ्म, जिसे डेप्थ-बफर एल्गोरिथ्म भी कहा जाता है, छिपी हुई सतहों को हटाने (hidden surface removal) के लिए एक सरल और प्रभावी छवि-स्थान (image-space) विधि है। यह कैमरा से सबसे दूर की वस्तुओं को उन वस्तुओं द्वारा अस्पष्ट करके काम करता है जो करीब हैं।
एल्गोरिथ्म:
- आरंभीकरण: दो बफर आवश्यक हैं:
- फ्रेम बफर (Framebuffer): स्क्रीन पर प्रत्येक पिक्सेल के लिए रंग मान संग्रहीत करता है। इसे पृष्ठभूमि रंग से आरंभ करें।
- Z-बफर (या डेप्थ बफर): स्क्रीन पर प्रत्येक पिक्सेल के लिए गहराई (z-मान) संग्रहीत करता है। इसे अधिकतम संभव गहराई मान (एक बहुत बड़ी संख्या, या 1.0) से आरंभ करें।
- पुनरावृत्ति (Iteration): दृश्य में प्रत्येक पॉलीगॉन के लिए:
- पॉलीगॉन के भीतर प्रत्येक पिक्सेल (x, y) के लिए:
- उस पिक्सेल पर पॉलीगॉन की गहराई (z-मान) की गणना करें।
- इस z-मान की तुलना Z-बफर में संग्रहीत मान से करें: if z < Z_buffer[x, y]
- यदि पॉलीगॉन की गहराई z कम है, तो यह कैमरे के करीब है। इसलिए:
- Z-बफर को नई, छोटी z-मान के साथ अपडेट करें: Z_buffer[x, y] = z
- फ्रेम बफर को उस बिंदु पर पॉलीगॉन के रंग से अपडेट करें: Framebuffer[x, y] = polygon_color
- यदि z अधिक या बराबर है, तो एक करीबी वस्तु पहले से ही खींची जा चुकी है, इसलिए कुछ भी न करें।
- पॉलीगॉन के भीतर प्रत्येक पिक्सेल (x, y) के लिए:
- परिणाम: सभी पॉलीगॉन संसाधित होने के बाद, फ्रेम बफर में सही दृश्य होता है।
संभालने योग्य वस्तुओं की अधिकतम संख्या:
Z-बफर एल्गोरिथ्म में सैद्धांतिक रूप से संभाली जा सकने वाली वस्तुओं की संख्या पर कोई अंतर्निहित सीमा नहीं है। एल्गोरिथ्म पिक्सेल-दर-पिक्सेल आधार पर काम करता है और केवल प्रत्येक पिक्सेल पर निकटतम वस्तु को याद रखता है। व्यावहारिक सीमाएं उपलब्ध सिस्टम मेमोरी (Z-बफर और फ्रेम बफर के आकार के लिए) और प्रसंस्करण गति से आती हैं। बहुत बड़ी संख्या में पॉलीगॉन को संसाधित करने में काफी समय लग सकता है।
(f) ऑथरिंग टूल्स (Authoring Tools):
परिभाषा: ऑथरिंग टूल एक सॉफ्टवेयर एप्लिकेशन है जो उपयोगकर्ताओं को मल्टीमीडिया सामग्री, एप्लिकेशन या इंटरैक्टिव प्रेजेंटेशन बनाने की अनुमति देता है। इन उपकरणों का मुख्य लाभ यह है कि वे उपयोगकर्ताओं को पारंपरिक प्रोग्रामिंग भाषाओं में कोड लिखे बिना मल्टीमीडिया तत्वों (जैसे टेक्स्ट, ग्राफिक्स, ऑडियो, वीडियो, एनिमेशन) को एकीकृत करने में सक्षम बनाते हैं। वे विकास प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए एक उच्च-स्तरीय वातावरण प्रदान करते हैं।
ऑथरिंग टूल्स के प्रकार: मल्टीमीडिया सामग्री को व्यवस्थित और नियंत्रित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले रूपक (metaphor) के आधार पर ऑथरिंग टूल्स को मुख्य रूप से वर्गीकृत किया जाता है:
- कार्ड/पेज-आधारित उपकरण (Card/Page-based Tools): ये उपकरण सामग्री को कार्ड या पेजों के ढेर के रूप में व्यवस्थित करते हैं। उपयोगकर्ता तत्वों को प्रत्येक पेज पर रखता है और पेजों के बीच नेविगेशन लिंक बना सकता है। यह हाइपरटेक्स्ट सिस्टम के लिए बहुत सहज है। उदाहरण: HyperCard (पुराना), ToolBook।
- आइकन-आधारित/फ्लो-कंट्रोल उपकरण (Icon-based/Flow-control Tools): ये उपकरण एक फ्लोचार्ट के रूप में एक दृश्य दृष्टिकोण प्रदान करते हैं। उपयोगकर्ता आइकनों को खींचकर और छोड़कर संरचना बनाता है, जहां प्रत्येक आइकन एक विशिष्ट घटना, सामग्री या उपयोगकर्ता इंटरैक्शन का प्रतिनिधित्व करता है। यह जटिल नेविगेशन और इंटरैक्शन के लिए शक्तिशाली है। उदाहरण: Adobe Authorware, IconAuthor।
- समय-आधारित उपकरण (Time-based Tools): ये उपकरण सामग्री को समय के साथ एक रैखिक टाइमलाइन पर व्यवस्थित करते हैं। वे वीडियो और एनिमेशन के उत्पादन के लिए बहुत उपयुक्त हैं, क्योंकि वे उपयोगकर्ता को यह नियंत्रित करने की अनुमति देते हैं कि कौन सी वस्तु कब और कितनी देर तक स्क्रीन पर दिखाई देती है। उदाहरण: Adobe Director, Adobe Flash, Adobe Animate।
- ऑब्जेक्ट-आधारित उपकरण (Object-based Tools): ये उपकरण एक ढांचे में वस्तुओं के रूप में सामग्री का समर्थन करते हैं। वस्तुओं में गुण होते हैं और वे संदेशों का जवाब दे सकते हैं। वे अक्सर एक प्रोग्रामिंग या स्क्रिप्टिंग भाषा (जैसे Lingo in Director) का उपयोग करते हैं जो वस्तुओं के व्यवहार और संचार को परिभाषित करती है। उदाहरण: Adobe Director, Tumult Hype।
Q2. (a) एक 2-D वर्ग A(1, 0), B(0, 0), C(0, 1) और D(1, 1) पर विचार करें। वर्ग ABCD को बिंदु A(1, 0) के परितः 45 डिग्री दक्षिणावर्त (clockwise) घुमाएँ। 6 (b) बिंदु P(x, y, z) का z = 0 तल पर प्रक्षेप निर्धारित करें, बशर्ते प्रक्षेप का केंद्र बिंदु Q(0, 0, -d) पर हो। अपने समाधान को एक उपयुक्त आरेख के साथ समर्थित करें। 8 (c) कोहेन-सदरलैंड और साइरस-बेक लाइन क्लिपिंग एल्गोरिथ्म की तुलना और अंतर करें। 6
Ans.
(a) एक बिंदु के परितः 2D घूर्णन:
वर्ग ABCD को बिंदु A(1, 0) के परितः 45 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाने के लिए, हमें निम्नलिखित तीन-चरणीय प्रक्रिया का उपयोग करना होगा:
- स्थानांतरण (Translate): घूर्णन बिंदु A(1, 0) को मूल बिंदु (origin) पर ले जाएं। यह स्थानांतरण मैट्रिक्स T(-1, 0) द्वारा किया जाता है।
- घूर्णन (Rotate): मूल बिंदु के परितः 45° दक्षिणावर्त (-45°) घुमाएं। यह घूर्णन मैट्रिक्स R(-45°) द्वारा किया जाता है।
- विपरीत स्थानांतरण (Translate back): बिंदु को उसकी मूल स्थिति पर वापस ले जाएं। यह स्थानांतरण मैट्रिक्स T(1, 0) द्वारा किया जाता है।
समग्र रूपांतरण मैट्रिक्स T_final = T(1, 0) ⋅ R(-45°) ⋅ T(-1, 0) है।
हमें cos(-45°) = cos(45°) = 1/√2 और sin(-45°) = -sin(45°) = -1/√2 की आवश्यकता होगी।
सजातीय निर्देशांक में मैट्रिक्स:
T(1,0) = [1 0 1] [0 1 0] [0 0 1] R(-45°) = [1/√2 1/√2 0] [-1/√2 1/√2 0] [0 0 1] T(-1,0) = [1 0 -1] [0 1 0] [0 0 1] अब हम नए निर्देशांक A’, B’, C’, D’ की गणना करेंगे। मूल बिंदु: A(1,0), B(0,0), C(0,1), D(1,1). A’ की गणना: चूंकि A घूर्णन का केंद्र है, यह नहीं बदलेगा। A’ = A = (1, 0). B’ की गणना: 1. B(0,0) को स्थानांतरित करें: B_t = (0-1, 0-0) = (-1, 0). 2. B_t को घुमाएं: x’ = -1 cos(-45°) – 0 sin(-45°) = -1 * (1/√2) = -1/√2. y’ = -1 sin(-45°) + 0 cos(-45°) = -1 * (-1/√2) = 1/√2. तो B_r = (-1/√2, 1/√2). 3. वापस स्थानांतरित करें: B’ = (-1/√2 + 1, 1/√2 + 0) = (1 – 1/√2, 1/√2). C’ की गणना: 1. C(0,1) को स्थानांतरित करें: C_t = (0-1, 1-0) = (-1, 1). 2. C_t को घुमाएं: x’ = -1 (1/√2) – 1 (-1/√2) = -1/√2 + 1/√2 = 0. y’ = -1 (-1/√2) + 1 (1/√2) = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2. तो C_r = (0, √2). 3. वापस स्थानांतरित करें: C’ = (0 + 1, √2 + 0) = (1, √2). D’ की गणना: 1. D(1,1) को स्थानांतरित करें: D_t = (1-1, 1-0) = (0, 1). 2. D_t को घुमाएं: x’ = 0 (1/√2) – 1 (-1/√2) = 1/√2. y’ = 0 (-1/√2) + 1 (1/√2) = 1/√2. तो D_r = (1/√2, 1/√2). 3. वापस स्थानांतरित करें: D’ = (1/√2 + 1, 1/√2 + 0) = (1 + 1/√2, 1/√2). अंतिम घूर्णित निर्देशांक हैं:
- A’ = (1, 0)
- B’ = (1 – 1/√2, 1/√2) ≈ (0.29, 0.71)
- C’ = (1, √2) ≈ (1, 1.41)
- D’ = (1 + 1/√2, 1/√2) ≈ (1.71, 0.71)
(b) परिप्रेक्ष्य प्रक्षेप (Perspective Projection):
हमें एक बिंदु P(x, y, z) का प्रक्षेप P'(x’, y’, 0) पर z=0 तल पर ज्ञात करना है, जहाँ प्रक्षेप का केंद्र (Center of Projection – COP) Q(0, 0, -d) पर है। अवधारणा और आरेख:
(आरेख: एक 3D निर्देशांक प्रणाली बनाएं। z=0 पर xy-तल (प्रक्षेप तल) को चिह्नित करें। z-अक्ष पर Q(0,0,-d) को COP के रूप में चिह्नित करें। धनात्मक z क्षेत्र में एक बिंदु P(x,y,z) को चिह्नित करें। Q से P तक एक सीधी रेखा खींचें। यह रेखा xy-तल को P'(x’,y’,0) पर काटती है। यह प्रक्षेप है। समान त्रिभुजों को दर्शाने के लिए साइड व्यू (जैसे yz-तल) दिखाएं।) व्युत्पत्ति: हम Q, P और P’ द्वारा बनाई गई रेखा का उपयोग करके समान त्रिभुजों का उपयोग कर सकते हैं। आइए yz-तल (साइड व्यू) में प्रक्षेप पर विचार करें। हमारे पास दो समान समकोण त्रिभुज हैं। एक बड़ा त्रिभुज जिसका शीर्ष Q पर है और आधार z-अक्ष के लंबवत P से गुजरने वाली रेखा है। दूसरा छोटा त्रिभुज जिसका शीर्ष Q पर है और आधार z-अक्ष के लंबवत P’ से गुजरने वाली रेखा है। छोटे त्रिभुज की ऊंचाई (Q से z=0 तल तक) d है। बड़े त्रिभुज की ऊंचाई (Q से P के z-स्तर तक) d + z है। छोटे त्रिभुज का आधार (y’ निर्देशांक) y’ है। बड़े त्रिभुज का आधार (y निर्देशांक) y है। समान त्रिभुजों के गुण के अनुसार: y’ / y = d / (d + z) => y’ = y * d / (d + z) इसी तरह, xz-तल (टॉप व्यू) में समान त्रिभुजों पर विचार करके, हम प्राप्त करते हैं: x’ / x = d / (d + z) => x’ = x * d / (d + z) प्रक्षेपित बिंदु का z’ निर्देशांक हमेशा 0 होता है क्योंकि यह z=0 तल पर है। इसलिए, बिंदु P(x, y, z) का प्रक्षेप P'(x’, y’, z’) है:
- x’ = x * d / (d + z)
- y’ = y * d / (d + z)
- z’ = 0
यह सूत्र एक 3D बिंदु को 2D प्रक्षेप तल पर मैप करने के लिए परिप्रेक्ष्य प्रक्षेप का आधार है।
(c) कोहेन-सदरलैंड बनाम साइरस-बेक लाइन क्लिपिंग एल्गोरिथ्म:
विशेषता
कोहेन-सदरलैंड एल्गोरिथ्म
साइरस-बेक एल्गोरिथ्म
क्लिपिंग विंडो
केवल एक अक्ष-संरेखित आयताकार विंडो के विरुद्ध क्लिप कर सकता है।
एक सामान्य उत्तल बहुभुज (convex polygon) के विरुद्ध क्लिप कर सकता है।
दृष्टिकोण
एक “आउटकोड” दृष्टिकोण का उपयोग करता है। प्रत्येक समापन बिंदु को एक 4-बिट कोड सौंपा जाता है ताकि उसकी स्थिति (अंदर, ऊपर, नीचे, दाएं, बाएं) का पता लगाया जा सके।
एक पैरामीट्रिक दृष्टिकोण का उपयोग करता है। यह रेखा को P(t) = P0 + t(P1-P0) के रूप में दर्शाता है, जहाँ t [0, 1] में है।
क्षुद्र स्वीकृति/अस्वीकृति
बहुत कुशल। यदि दोनों आउटकोड 0000 हैं (दोनों बिंदु अंदर हैं), तो रेखा को स्वीकार करें। यदि आउटकोड का बिटवाइज़ AND अशून्य है (दोनों बिंदु एक ही बाहरी क्षेत्र में हैं), तो रेखा को अस्वीकार करें।
क्षुद्र स्वीकृति/अस्वीकृति उतनी सीधी नहीं है, लेकिन पैरामीट्रिक परीक्षण के माध्यम से स्वाभाविक रूप से होती है।
प्रतिच्छेदन गणना
रेखा और विंडो की विस्तारित सीमाओं के बीच प्रतिच्छेदन की गणना करता है। यह बार-बार क्लिप कर सकता है, जिससे यह कुछ मामलों में अक्षम हो जाता है।
रेखा और क्लिपिंग बहुभुज के प्रत्येक किनारे के बीच प्रतिच्छेदन के लिए पैरामीटर ‘t’ की गणना करता है।
जटिलता
लागू करने में सरल और समझने में आसान।
लागू करने में अधिक जटिल है, जिसमें डॉट उत्पादों और पैरामीट्रिक समीकरणों की आवश्यकता होती है।
दक्षता
जब क्षुद्र स्वीकृति/अस्वीकृति सफल होती है तो बहुत तेज। अन्यथा, पुनरावर्ती क्लिपिंग धीमी हो सकती है।
आयताकार विंडो के लिए कोहेन-सदरलैंड से धीमा हो सकता है, लेकिन सामान्य रूप से अधिक सुसंगत प्रदर्शन प्रदान करता है और गैर-आयताकार क्लिपिंग के लिए आवश्यक है।
उपयोग
मानक 2D ग्राफिक्स पैकेजों में सामान्य जहाँ क्लिपिंग विंडो हमेशा आयताकार होती है।
3D क्लिपिंग और उन अनुप्रयोगों के लिए अधिक उपयुक्त है जहाँ क्लिपिंग वॉल्यूम या क्षेत्र एक उत्तल बहुभुज/पॉलीहेड्रॉन होता है।
सारांश:
कोहेन-सदरलैंड तेज और सरल है लेकिन आयताकार विंडो तक सीमित है। साइरस-बेक अधिक सामान्य, शक्तिशाली और सुरुचिपूर्ण है, जो इसे गैर-आयताकार उत्तल आकृतियों के लिए उपयुक्त बनाता है, लेकिन यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक गहन है।
IGNOU MCS-053 Previous Year Solved Question Paper in English
Q1. (a) Write 2D matrix representation in homogeneous coordinate system for the following transformations : x5=5 (i) Translation (ii) Rotation (iii) Scaling (iv) Reflection (v) Shear (b) What is Windowing transformation ? Explain window to viewport mapping with equation and diagram. 5 (c) Compare Bitmap Graphics with Vector Graphics. Give the characteristics of both. 5 (d) Differentiate between the following : 5×3=5 (i) Parametric Continuity vs. Geometric Continuity (ii) Gouraud Shading vs. Phong Shading (iii) Frame Vs. Sprite Animation (e) Write Z-Buffer algorithm. What is the maximum number of objects that can be handled by the Z-buffer algorithm? 5 (f) Briefly discuss the term ‘Authoring tools’ and list the types of authoring tools. 5
Ans.
(a) 2D Matrix Representation in Homogeneous Coordinate System: Homogeneous coordinates allow 2D geometric transformations to be expressed uniformly as matrix multiplications. A 2D point (x, y) is represented in homogeneous coordinates as (x, y, 1). The transformation matrices are 3×3.
- (i) Translation: To move an object from one position to another. The matrix for translation distances (tx, ty) is: P’ = T(tx, ty) . P
[1 0 tx]T = [0 1 ty] [0 0 1 ]
- (ii) Rotation: To rotate an object by an angle θ about the origin. The matrix is: P’ = R(θ) . P
[cosθ -sinθ 0]R = [sinθ cosθ 0] [0 0 1]
- (iii) Scaling: To change the size of an object. The matrix for scaling factors (Sx, Sy) is: P’ = S(Sx, Sy) . P
[Sx 0 0]S = [0 Sy 0] [0 0 1]
- (iv) Reflection: For reflection relative to the x-axis, the y-value becomes negative. The matrix is:
[1 0 0]Rx = [0 -1 0] [0 0 1]
For reflection relative to the y-axis, the x-value becomes negative.
- (v) Shear: To distort the shape of an object. The matrix for a shear in the x-direction is:
[1 Shx 0]SHx = [0 1 0] [0 0 1]
(b) Windowing Transformation: Windowing transformation, also known as window-to-viewport mapping , is the process of mapping graphics from a world-coordinate area called the window to a device-coordinate area called the viewport .
- Window: It is a rectangular area in the world-coordinate system that we want to see. It defines what is to be clipped and viewed.
- Viewport: It is an area on the display device (screen) where the graphics defined in the window will be mapped. It defines where to display it.
Window-to-Viewport Mapping:
Let the window coordinates be (Wx_min, Wy_min) and (Wx_max, Wy_max).
Let the viewport coordinates be (Vx_min, Vy_min) and (Vx_max, Vy_max).
A point (Wx, Wy) in the window needs to be mapped to a point (Vx, Vy) in the viewport. The equations for the mapping are based on a linear relationship:
(Vx – Vx_min) / (Vx_max – Vx_min) = (Wx – Wx_min) / (Wx_max – Wx_min)
(Vy – Vy_min) / (Vy_max – Vy_min) = (Wy – Wy_min) / (Wy_max – Wy_min)
Solving for Vx and Vy:
Vx = Vx_min + (Wx – Wx_min) * Sx
Vy = Vy_min + (Wy – Wy_min) * Sy
where Sx and Sy are the scaling factors:
Sx = (Vx_max – Vx_min) / (Wx_max – Wx_min)
Sy = (Vy_max – Vy_min) / (Wy_max – Wy_min)
This transformation scales and translates the object from the window to fit appropriately in the viewport.
(Diagram: Show a large ‘World Coordinate System’ on one side with a smaller rectangular ‘Window’ inside it. On the other side, show a ‘Screen’ with a rectangular ‘Viewport’. Draw arrows indicating the mapping from the window to the viewport.)
(c) Bitmap Graphics vs. Vector Graphics: Bitmap and vector graphics are the two primary ways of creating and storing digital images.
- Bitmap Graphics:
- Definition: Also known as raster graphics. Images are made up of a grid of pixels, where each pixel is assigned a specific color.
- Characteristics:
- Resolution Dependent: Enlarging (scaling) the image causes pixelation (jagged edges), leading to a loss of quality.
- Large File Size: Requires large files for high-resolution and high-color-depth images.
- Editing: Editing is done at the pixel level, which can be complex.
- Use Cases: Ideal for digital photographs, scanned images, and paintings with complex color blending. Common formats: JPEG, GIF, PNG, BMP.
- Vector Graphics:
- Definition: Images are based on mathematical equations (e.g., lines, curves, and shapes).
- Characteristics:
- Resolution Independent: Can be scaled to any size without any loss of quality.
- Small File Size: Usually smaller than their bitmap counterparts, even for complex images.
- Editing: Objects and shapes can be easily modified, scaled, and re-colored.
- Use Cases: Ideal for logos, illustrations, typography, and technical drawings. Common formats: SVG, AI, EPS, PDF.
(d) Differentiate between the following:
- (i) Parametric Continuity vs. Geometric Continuity: These describe the smoothness between two connecting curve segments.
- Parametric Continuity (Cⁿ): This is a stricter condition relating to the parametric derivatives of the curves.
- C⁰: Zeroth-order continuity. The curves simply join (endpoints match).
- C¹: First-order continuity. The first derivatives are also identical, meaning the speed and direction of the curves are the same at the join.
- Geometric Continuity (Gⁿ): This is a less strict condition that focuses on the geometry of the curve’s shape.
- G⁰: Same as C⁰, the curves join.
- G¹: First-order continuity. The tangent vectors at the join point in the same direction, but their magnitudes can differ. This still ensures a smooth transition.
Key Difference:
Parametric continuity requires both the magnitude and direction of the derivative vectors to match, while geometric continuity only requires the direction to match (they can be proportional). - Parametric Continuity (Cⁿ): This is a stricter condition relating to the parametric derivatives of the curves.
- (ii) Gouraud Shading vs. Phong Shading: These are both interpolation techniques for shading polygons in 3D graphics.
- Gouraud Shading: This is an intensity interpolation method.
- Calculate the light intensity (color) at each vertex.
- Linearly interpolate these colors along the edges of the polygon.
- Interpolate these edge values across the surface of the polygon along scan lines.
It is better than flat shading but cannot render specular highlights correctly and may show artifacts called ‘Mach bands’.
- Phong Shading: This is a normal-vector interpolation method.
- Calculate the normal vector at each vertex.
- Linearly interpolate these normal vectors across the surface of the polygon.
- At each pixel, calculate the illumination using the interpolated normal.
It is more realistic than Gouraud shading, especially for specular highlights, but it is computationally more expensive.
- Gouraud Shading: This is an intensity interpolation method.
- (iii) Frame Vs. Sprite Animation:
- Frame Animation: Also called cell-based animation. A sequence of images (frames) is displayed rapidly to create the illusion of motion. Each frame is a completely new image, even if only a small change has occurred from the previous frame. It works like a traditional cartoon flip-book. It can be high quality but requires large amounts of memory and processing power.
- Sprite Animation: In this technique, also called cast-based animation, graphical objects called sprites are moved independently over a static background. Instead of redrawing the entire frame to create animation, the system only updates the position of the sprite. This is far more memory-efficient and faster than frame animation, making it ideal for 2D games and simple interfaces.
(e) Z-Buffer Algorithm: The Z-buffer algorithm, also called the depth-buffer algorithm, is a simple and effective image-space method for hidden surface removal. It works by ensuring that objects farther from the camera are obscured by objects that are closer. Algorithm:
- Initialization: Two buffers are required:
- Framebuffer: Stores the color value for each pixel on the screen. Initialize it to the background color.
- Z-buffer (or Depth buffer): Stores the depth (z-value) for each pixel on the screen. Initialize it to the maximum possible depth value (a very large number, or 1.0).
- Iteration: For each polygon in the scene:
- For each pixel (x, y) covered by the polygon:
- Calculate the depth (z-value) of the polygon at that pixel.
- Compare this z-value with the value stored in the Z-buffer: if z < Z_buffer[x, y]
- If the polygon’s depth z is less, it is closer to the camera. Therefore:
- Update the Z-buffer with the new, smaller z-value: Z_buffer[x, y] = z
- Update the Framebuffer with the polygon’s color at that point: Framebuffer[x, y] = polygon_color
- If z is greater or equal, a closer object has already been drawn, so do nothing.
- For each pixel (x, y) covered by the polygon:
- Result: After all polygons are processed, the framebuffer contains the correct visible scene.
Maximum Number of Objects Handled:
The Z-buffer algorithm has no inherent limit on the number of objects it can theoretically handle. The algorithm works on a per-pixel basis and only ever remembers the closest object at each pixel. The practical limitations come from the available system memory (for the size of the Z-buffer and framebuffer) and processing speed. Processing a very large number of polygons can be time-consuming.
(f) Authoring Tools: Definition: An authoring tool is a software application that allows users to create multimedia content, applications, or interactive presentations. The key advantage of these tools is that they enable users to integrate multimedia elements (like text, graphics, audio, video, animation) without needing to code in traditional programming languages. They provide a high-level environment to simplify the development process. Types of Authoring Tools: Authoring tools are primarily categorized based on the metaphor used for organizing and controlling the multimedia content:
- Card/Page-based Tools: These tools organize content as a stack of cards or pages. The user places elements on each page and can create navigation links between pages. It is very intuitive for hypertext systems. Examples: HyperCard (obsolete), ToolBook.
- Icon-based/Flow-control Tools: These tools provide a visual approach in the form of a flowchart. The user builds the structure by dragging and dropping icons, where each icon represents a specific event, content, or user interaction. It is powerful for complex navigation and interactions. Examples: Adobe Authorware, IconAuthor.
- Time-based Tools: These tools organize content along a linear timeline. They are very well-suited for the production of video and animation, as they allow the user to control what object appears on the screen, when, and for how long. Examples: Adobe Director, Adobe Flash, Adobe Animate.
- Object-based Tools: These tools support content as objects in a framework. The objects have properties and can respond to messages. They often use a programming or scripting language (like Lingo in Director) that defines the behavior and communication of objects. Examples: Adobe Director, Tumult Hype.
Q2. (a) Consider a 2-D square A(1, 0), B(0, 0), C(0, 1) and D(1, 1). Rotate the square ABCD by 45 degrees in clockwise about the point A(1, 0). 6 (b) Determine the projection of point P(x, y, z) on z = 0 plane, provided centre of projection is at point Q (0, 0, -d). Support your solution to the given problem with a suitable diagram. 8 (c) Compare and contrast Cohen-Sutherland and Cyrus-Beck line clipping algorithm. 6
Ans.
(a) 2D Rotation about a point: To rotate the square ABCD by 45 degrees clockwise about the point A(1, 0), we must use the following three-step process:
- Translate: Move the pivot point A(1, 0) to the origin. This is done by the translation matrix T(-1, 0).
- Rotate: Rotate by 45° clockwise (-45°) about the origin. This is done by the rotation matrix R(-45°).
- Translate back: Move the point back to its original position. This is done by the translation matrix T(1, 0).
The composite transformation matrix T_final = T(1, 0) ⋅ R(-45°) ⋅ T(-1, 0).
We will need cos(-45°) = cos(45°) = 1/√2 and sin(-45°) = -sin(45°) = -1/√2.
The matrices in homogeneous coordinates are:
T(1,0) =
[1 0 1][0 1 0][0 0 1]
R(-45°) =
[1/√2 1/√2 0][-1/√2 1/√2 0][0 0 1]
T(-1,0) =
[1 0 -1][0 1 0][0 0 1]
Now we calculate the new coordinates A’, B’, C’, D’. Original points: A(1,0), B(0,0), C(0,1), D(1,1).
Calculate A’: Since A is the center of rotation, it will not change. A’ = A = (1, 0).
Calculate B’: 1. Translate B(0,0): B_t = (0-1, 0-0) = (-1, 0). 2. Rotate B_t: x’ = -1 cos(-45°) – 0 sin(-45°) = -1 * (1/√2) = -1/√2. y’ = -1 sin(-45°) + 0 cos(-45°) = -1 * (-1/√2) = 1/√2. So B_r = (-1/√2, 1/√2). 3. Translate back: B’ = (-1/√2 + 1, 1/√2 + 0) = (1 – 1/√2, 1/√2).
Calculate C’: 1. Translate C(0,1): C_t = (0-1, 1-0) = (-1, 1). 2. Rotate C_t: x’ = -1 (1/√2) – 1 (-1/√2) = -1/√2 + 1/√2 = 0. y’ = -1 (-1/√2) + 1 (1/√2) = 1/√2 + 1/√2 = 2/√2 = √2. So C_r = (0, √2). 3. Translate back: C’ = (0 + 1, √2 + 0) = (1, √2).
Calculate D’: 1. Translate D(1,1): D_t = (1-1, 1-0) = (0, 1). 2. Rotate D_t: x’ = 0 (1/√2) – 1 (-1/√2) = 1/√2. y’ = 0 (-1/√2) + 1 (1/√2) = 1/√2. So D_r = (1/√2, 1/√2). 3. Translate back: D’ = (1/√2 + 1, 1/√2 + 0) = (1 + 1/√2, 1/√2).
The final rotated coordinates are:
- A’ = (1, 0)
- B’ = (1 – 1/√2, 1/√2) ≈ (0.29, 0.71)
- C’ = (1, √2) ≈ (1, 1.41)
- D’ = (1 + 1/√2, 1/√2) ≈ (1.71, 0.71)
(b) Perspective Projection: We need to find the projection P'(x’, y’, 0) of a point P(x, y, z) onto the z=0 plane, where the Center of Projection (COP) is at Q(0, 0, -d).
Concept and Diagram: (Diagram: Draw a 3D coordinate system. Mark the xy-plane at z=0 as the projection plane. Mark Q(0,0,-d) on the negative z-axis as the COP. Mark a point P(x,y,z) in the positive z space. Draw a straight line from Q through P. This line intersects the xy-plane at P'(x’,y’,0). This is the projection. Show a side view (e.g., in the yz-plane) to illustrate the similar triangles.)
Derivation: We can use similar triangles by considering the line formed by Q, P, and P’. Let’s consider the projection in the yz-plane (a side view). We have two similar right-angled triangles. A large one with its vertex at Q and base being the line through P perpendicular to the z-axis. A smaller one with its vertex at Q and base being the line through P’ perpendicular to the z-axis.
The height of the small triangle (from Q to the z=0 plane) is d . The height of the large triangle (from Q to the z-level of P) is d + z . The base of the small triangle (the y’ coordinate) is y’ . The base of the large triangle (the y coordinate) is y .
By the property of similar triangles: y’ / y = d / (d + z) => y’ = y * d / (d + z)
Similarly, by considering the similar triangles in the xz-plane (a top view), we get: x’ / x = d / (d + z) => x’ = x * d / (d + z)
The z’ coordinate of the projected point is always 0 since it lies on the z=0 plane. Therefore, the projection of point P(x, y, z) is P'(x’, y’, z’):
- x’ = x * d / (d + z)
- y’ = y * d / (d + z)
- z’ = 0
This formula is the basis of perspective projection for mapping a 3D point onto a 2D projection plane.
(c) Cohen-Sutherland vs. Cyrus-Beck Line Clipping Algorithm:
Feature |
Cohen-Sutherland Algorithm |
Cyrus-Beck Algorithm |
|---|---|---|
Clipping Window |
Can only clip against an axis-aligned rectangular window. |
Can clip against a general convex polygon . |
Approach |
Uses an “outcode” approach. Each endpoint is assigned a 4-bit code to identify its position (inside, above, below, right, left). |
Uses a parametric approach. It represents the line as P(t) = P0 + t(P1-P0) for t in [0, 1]. |
Trivial Acceptance/Rejection |
Very efficient. If both outcodes are 0000 (both points inside), accept the line. If the bitwise AND of outcodes is non-zero (both points in the same outside region), reject the line. | Trivial acceptance/rejection is not as direct but happens naturally through the parametric test. |
Intersection Calculation |
Calculates intersections between the line and the extended boundaries of the window. It may clip iteratively, making it inefficient in some cases. | Calculates the parameter ‘t’ for intersections between the line and each edge of the clipping polygon. |
Complexity |
Simpler to implement and understand. | More complex to implement, requiring dot products and parametric equations. |
Efficiency |
Very fast when trivial acceptance/rejection succeeds. Otherwise, the iterative clipping can be slow. | May be slower than Cohen-Sutherland for rectangular windows, but offers more consistent performance in general and is necessary for non-rectangular clipping. |
Usage |
Common in standard 2D graphics packages where the clipping window is always rectangular. | More suited for 3D clipping and applications where the clipping volume or area is a convex polygon/polyhedron. |
In summary: Cohen-Sutherland is fast and simple but limited to rectangular windows. Cyrus-Beck is more general, powerful, and elegant, making it suitable for non-rectangular convex shapes, but is computationally more intensive.
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