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IGNOU MPC-006 Solved Question Paper PDF
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IGNOU MPC-006 Previous Year Solved Question Paper in Hindi
Q1. केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों और प्रसरण के मापों का वर्णन कीजिए। 5+5
Ans. सांख्यिकी में, वर्णनात्मक आँकड़ों के दो महत्वपूर्ण प्रकार हैं: केंद्रीय प्रवृत्ति के माप और प्रसरण (या विचलनशीलता) के माप। ये दोनों मिलकर आँकड़ों के एक सेट का सारांश और विवरण प्रदान करते हैं।
केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (Measures of Central Tendency) केंद्रीय प्रवृत्ति के माप एक एकल मान होते हैं जो आँकड़ों के एक सेट के केंद्र या विशिष्ट मान का वर्णन करने का प्रयास करते हैं। यह इंगित करता है कि अधिकांश मान वितरण में कहाँ केंद्रित होते हैं। केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मुख्य माप हैं:
1. माध्य (Mean): यह सबसे सामान्य माप है, जिसे औसत भी कहा जाता है। इसकी गणना सेट में सभी मानों को जोड़कर और फिर मानों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। उदाहरण: 2, 3, 3, 5, 7 का माध्य (2+3+3+5+7)/5 = 4 है। माध्य अंतराल (interval) और अनुपात (ratio) स्तर के आँकड़ों के लिए उपयुक्त है। यह बाहरी मानों (outliers) के प्रति संवेदनशील होता है।
2. माध्यिका (Median): माध्यिका वह मान है जो आँकड़ों के सेट को, जब क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, तो दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है। यह मध्य मान है। यदि आँकड़ों की संख्या सम है, तो माध्यिका दो मध्य मानों का औसत होती है। उदाहरण: 2, 3, 3 , 5, 7 में, माध्यिका 3 है। माध्यिका क्रमसूचक (ordinal), अंतराल और अनुपात आँकड़ों के लिए उपयुक्त है। यह बाहरी मानों से प्रभावित नहीं होती है, इसलिए यह विषम वितरणों (skewed distributions) के लिए एक बेहतर माप है।
3. बहुलांक (Mode): बहुलांक वह मान है जो आँकड़ों के सेट में सबसे अधिक बार आता है। एक वितरण में एक से अधिक बहुलांक (बाय-मोडल, मल्टी-मोडल) हो सकते हैं या कोई भी नहीं हो सकता है। उदाहरण: 2, 3 , 3 , 5, 7 में, बहुलांक 3 है। बहुलांक एकमात्र केंद्रीय प्रवृत्ति का माप है जिसे नाममात्र (nominal) आँकड़ों के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।
प्रसरण के माप (Measures of Dispersion) प्रसरण (जिसे विचलनशीलता या फैलाव भी कहा जाता है) के माप यह बताते हैं कि आँकड़ों के सेट में स्कोर एक दूसरे से और केंद्रीय मान से कितने फैले हुए या बिखरे हुए हैं। यह वितरण के फैलाव का वर्णन करता है। मुख्य माप हैं:
1. परास (Range): यह प्रसरण का सबसे सरल माप है। इसकी गणना आँकड़ों के सेट में उच्चतम मान से निम्नतम मान घटाकर की जाती है। उदाहरण: 2, 3, 3, 5, 7 के सेट में, परास 7 – 2 = 5 है। यह गणना करने में आसान है, लेकिन यह केवल दो मानों का उपयोग करता है और बाहरी मानों के प्रति बहुत संवेदनशील है।
2. प्रसरण (Variance): यह माध्य से वर्गित विचलनों का औसत है। यह मापता है कि प्रत्येक संख्या सेट में माध्य से कितनी दूर है। सूत्र: σ² = Σ (X – μ)² / N एक बड़ा प्रसरण इंगित करता है कि संख्याएँ माध्य से बहुत दूर तक फैली हुई हैं; एक छोटा प्रसरण इंगित करता है कि वे माध्य के चारों ओर घनीभूत रूप से एकत्रित हैं।
3. मानक विचलन (Standard Deviation): यह प्रसरण का वर्गमूल है (√σ²)। यह सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला और प्रसरण का सबसे विश्वसनीय माप है। यह आँकड़ों के मूल मात्रकों में व्यक्त किया जाता है, जिससे इसकी व्याख्या करना आसान हो जाता है। एक कम मानक विचलन इंगित करता है कि मान माध्य के करीब होते हैं, जबकि एक उच्च मानक विचलन इंगित करता है कि मान एक व्यापक परास में फैले हुए हैं। सामान्य वितरण में, लगभग 68% मान माध्य के ±1 मानक विचलन के भीतर आते हैं।
Q2. आगे दिए गए आँकड़ों के लिए एक-मार्गी एनोवा (पैरामीट्रिक परीक्षण) की गणना कीजिए: 10 समूह A: 2 3 2 2 4 4 समूह B: 3 3 5 5 2 2 समूह C: 5 5 3 3 2 2
Ans.
उद्देश्य: यह निर्धारित करना कि क्या तीन समूहों (A, B, C) के माध्यों के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर है।
शून्य परिकल्पना (H₀): तीनों समूहों के माध्य बराबर हैं (μA = μB = μC)। वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): कम से कम एक समूह का माध्य दूसरों से भिन्न है।
दिए गए आँकड़े:
- समूह A (X₁): 2, 3, 2, 2, 4, 4 (n₁ = 6)
- समूह B (X₂): 3, 3, 5, 5, 2, 2 (n₂ = 6)
- समूह C (X₃): 5, 5, 3, 3, 2, 2 (n₃ = 6)
कुल प्रतिदर्श आकार (N) = n₁ + n₂ + n₃ = 6 + 6 + 6 = 18
चरण 1: मूल गणना
- ΣX₁ = 2+3+2+2+4+4 = 17
- ΣX₂ = 3+3+5+5+2+2 = 20
- ΣX₃ = 5+5+3+3+2+2 = 20
- कुल योग (ΣX_total) = 17 + 20 + 20 = 57
चरण 2: सुधार पद (Correction Term – C) की गणना
C = (ΣX_total)² / N = (57)² / 18 = 3249 / 18 = 180.5
चरण 3: वर्गों का कुल योग (Total Sum of Squares – SST) की गणना
SST = (ΣX₁² + ΣX₂² + ΣX₃²) – C
ΣX₁² = 2²+3²+2²+2²+4²+4² = 4+9+4+4+16+16 = 53
ΣX₂² = 3²+3²+5²+5²+2²+2² = 9+9+25+25+4+4 = 76
ΣX₃² = 5²+5²+3²+3²+2²+2² = 25+25+9+9+4+4 = 76
SST = (53 + 76 + 76) – 180.5 = 205 – 180.5 = 24.5
चरण 4: समूहों के बीच वर्गों का योग (Sum of Squares Between Groups – SSB) की गणना
SSB = [ (ΣX₁)²/n₁ + (ΣX₂)²/n₂ + (ΣX₃)²/n₃ ] – C
SSB = [ (17)²/6 + (20)²/6 + (20)²/6 ] – 180.5
SSB = [ 289/6 + 400/6 + 400/6 ] – 180.5
SSB = [ 48.17 + 66.67 + 66.67 ] – 180.5
SSB = 181.51 – 180.5 = 1.01
चरण 5: समूहों के भीतर वर्गों का योग (Sum of Squares Within Groups – SSW) की गणना
SSW = SST – SSB
SSW = 24.5 – 1.01 = 23.49
चरण 6: स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom – df) की गणना
- df_between (k-1) = 3 – 1 = 2
- df_within (N-k) = 18 – 3 = 15
- df_total (N-1) = 18 – 1 = 17
चरण 7: माध्य वर्ग (Mean Squares – MS) की गणना
- MSB = SSB / df_between = 1.01 / 2 = 0.505
- MSW = SSW / df_within = 23.49 / 15 = 1.566
चरण 8: F-अनुपात (F-ratio) की गणना
F = MSB / MSW = 0.505 / 1.566 = 0.322
ANOVA सारांश सारणी
भिन्नता का स्रोत SS df MS F-अनुपात समूहों के बीच 1.01 2 0.505 0.322 समूहों के भीतर 23.49 15 1.566 कुल 24.5 17
निष्कर्ष:
प्राप्त F-मान (0.322) की तुलना df(2, 15) के लिए सार्थकता के विभिन्न स्तरों (जैसे α = 0.05) पर F-तालिका के क्रांतिक मान से की जाएगी। df(2, 15) के लिए 0.05 स्तर पर क्रांतिक F-मान लगभग 3.68 है। चूंकि हमारा परिकलित F-मान (0.322) क्रांतिक मान (3.68) से बहुत कम है, इसलिए हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं।
अंतिम निष्कर्ष: आँकड़े तीन समूहों के माध्यों के बीच कोई महत्वपूर्ण अंतर नहीं दिखाते हैं।
Q3. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए पियर्सन का गुणन-आघूर्ण सहसंबंध की गणना कीजिए: 10 आँकड़े A: 3 4 7 8 3 2 6 आँकड़े B: 4 3 9 9 4 3 7
Ans.
उद्देश्य: पियर्सन के गुणन-आघूर्ण सहसंबंध (r) का उपयोग करके दो चरों, आँकड़े A (X) और आँकड़े B (Y) के बीच रैखिक संबंध की दिशा और प्रबलता को मापना।
दिए गए आँकड़े:
- X (आँकड़े A): 3, 4, 7, 8, 3, 2, 6
- Y (आँकड़े B): 4, 3, 9, 9, 4, 3, 7
प्रतिदर्शों की संख्या (N) = 7
गणना के लिए सारणी:
X Y X² Y² XY 3 4 9 16 12 4 3 16 9 12 7 9 49 81 63 8 9 64 81 72 3 4 9 16 12 2 3 4 9 6 6 7 36 49 42 ΣX = 33 ΣY = 39 ΣX² = 187 ΣY² = 261 ΣXY = 219
पियर्सन के r का सूत्र:
r = [NΣXY – (ΣX)(ΣY)] / √[[NΣX² – (ΣX)²][NΣY² – (ΣY)²]]
मानों को सूत्र में रखना:
N = 7
ΣX = 33
ΣY = 39
ΣX² = 187
ΣY² = 261
ΣXY = 219
r = [7 219 – (33)(39)] / √[[7 187 – (33)²][7 * 261 – (39)²]]
r = [1533 – 1287] / √[[1309 – 1089][1827 – 1521]]
r = 246 / √[[220][306]]
r = 246 / √[67320]
r = 246 / 259.46
r = 0.948
निष्कर्ष:
सहसंबंध गुणांक (r) का मान +0.948 है।
- दिशा: चिह्न सकारात्मक (+) है, जो एक सकारात्मक सहसंबंध को इंगित करता है। इसका मतलब है कि जैसे-जैसे आँकड़े A (X) में मान बढ़ता है, वैसे-वैसे आँकड़े B (Y) में मान भी बढ़ता जाता है।
- प्रबलता: मान 0.948 1.0 के बहुत करीब है, जो एक बहुत प्रबल रैखिक संबंध को इंगित करता है।
अतः, आँकड़े A और आँकड़े B के बीच एक बहुत ही प्रबल, सकारात्मक रैखिक संबंध है।
Q4. उपयुक्त आरेखों की सहायता से सामान्य संभाव्यता वक्र की विशेषताओं का वर्णन कीजिए। 10
Ans.
सामान्य संभाव्यता वक्र (Normal Probability Curve – NPC) , जिसे सामान्य वितरण या घंटी के आकार का वक्र भी कहा जाता है, एक सैद्धांतिक, सतत संभाव्यता वितरण है जो मनोविज्ञान और अन्य विज्ञानों में एक मौलिक अवधारणा है। कई प्राकृतिक और मनोवैज्ञानिक घटनाएँ इस वक्र के अनुमानित रूप में होती हैं।
सामान्य संभाव्यता वक्र की विशेषताएँ:
1. घंटी के आकार का और सममित (Bell-Shaped and Symmetrical): वक्र का आकार एक घंटी जैसा होता है। यह पूरी तरह से सममित होता है, जिसका अर्थ है कि यदि इसे केंद्र से आधा मोड़ा जाए, तो दोनों हिस्से एक-दूसरे पर पूरी तरह से आ जाएंगे। इसका मतलब यह है कि वितरण का बायां और दाहिना भाग एक दूसरे का दर्पण प्रतिबिंब है।
2. माध्य, माध्यिका और बहुलांक बराबर होते हैं: एक पूर्ण सामान्य वितरण में, केंद्रीय प्रवृत्ति के तीनों माप— माध्य (Mean), माध्यिका (Median), और बहुलांक (Mode) —एक ही मान होते हैं और वक्र के केंद्र में स्थित होते हैं, जो उच्चतम बिंदु होता है।
3. एकबहुलांकी (Unimodal): वक्र में केवल एक चोटी या उच्चतम बिंदु होता है, जो इंगित करता है कि वितरण में केवल एक बहुलांक है।
4. वक्र स्पर्शोन्मुख (Asymptotic) होता है: वक्र x-अक्ष के करीब और करीब आता जाता है जैसे-जैसे यह केंद्र से दूर जाता है, लेकिन यह कभी भी x-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है। सैद्धांतिक रूप से, पूंछें दोनों दिशाओं में अनंत तक फैली होती हैं। यह दर्शाता है कि चरम स्कोर संभव हैं, लेकिन बहुत असंभावित हैं।
5. वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल: वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 (या 100%) के बराबर होता है। इस क्षेत्र का उपयोग संभाव्यता की गणना के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं के बीच का क्षेत्रफल उस सीमा के भीतर एक स्कोर के आने की संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करता है।
6. मानक विचलन के संदर्भ में निश्चित क्षेत्र: माध्य और मानक विचलन (SD) के बीच एक निश्चित संबंध होता है। वक्र के नीचे का क्षेत्र मानक विचलन इकाइयों में विभाजित किया जा सकता है:
- माध्य से ±1 मानक विचलन (±1σ) के बीच लगभग 68.26% क्षेत्र आता है।
- माध्य से ±2 मानक विचलन (±2σ) के बीच लगभग 95.44% क्षेत्र आता है।
- माध्य से ±3 मानक विचलन (±3σ) के बीच लगभग 99.73% क्षेत्र आता है।
यह “अनुभवजन्य नियम” हमें यह समझने में मदद करता है कि स्कोर वितरण में कहाँ स्थित हैं।
उपयुक्त आरेख:
निम्नलिखित आरेख इन विशेषताओं को दर्शाता है:
चित्र: सामान्य संभाव्यता वक्र जो माध्य (μ), मानक विचलन (σ) और वक्र के नीचे के प्रतिशत क्षेत्रों को दर्शाता है।
मनोविज्ञान में, आईक्यू स्कोर, व्यक्तित्व लक्षण और माप की त्रुटियां अक्सर सामान्य वितरण का पालन करती हैं, जो एनपीसी को अनुमानिक सांख्यिकी में एक आवश्यक उपकरण बनाती है।
Q5. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए मान-व्हिटनी यू-टेस्ट की गणना कीजिए: 6 समूह A: 3, 4, 7, 3, 9, 4, 9, 6, 30, 31 समूह B: 0, 8, 2, 2, 5, 9, 32, 40, 23
Ans.
नोट: प्रश्न में दिए गए आँकड़ों का स्वरूपण अस्पष्ट है। गणना के लिए, हम निम्नलिखित आँकड़ों का उपयोग कर रहे हैं:
समूह A (n₁=10): 3, 4, 7, 3, 9, 4, 9, 6, 30, 31
समूह B (n₂=9): 0, 8, 2, 2, 5, 9, 32, 40, 23
उद्देश्य: मान-व्हिटनी यू-टेस्ट, एक गैर-पैरामीट्रिक परीक्षण, का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या दो स्वतंत्र नमूनों के वितरण में कोई महत्वपूर्ण अंतर है।
चरण 1: दोनों समूहों को मिलाएं और रैंक दें
सभी 19 मानों को मिलाएं और उन्हें सबसे छोटे से सबसे बड़े तक रैंक दें। समान मानों (ties) को औसत रैंक दिया जाता है।
मान समूह रैंक 0 B 1 2 B 2.5 (2 और 3 का औसत) 2 B 2.5 3 A 4.5 (4 और 5 का औसत) 3 A 4.5 4 A 6.5 (6 और 7 का औसत) 4 A 6.5 5 B 8 6 A 9 7 A 10 8 B 11 9 A 13 (12, 13, 14 का औसत) 9 A 13 9 B 13 23 B 15 30 A 16 31 A 17 32 B 18 40 B 19
चरण 2: प्रत्येक समूह के लिए रैंक का योग (R) करें
समूह A के लिए रैंक का योग (R₁):
R₁ = 4.5 + 4.5 + 6.5 + 6.5 + 9 + 10 + 13 + 13 + 16 + 17 = 100
समूह B के लिए रैंक का योग (R₂):
R₂ = 1 + 2.5 + 2.5 + 8 + 11 + 13 + 15 + 18 + 19 = 90
जाँच: R₁ + R₂ = 100 + 90 = 190. कुल रैंक का योग = N(N+1)/2 = 19(20)/2 = 190. गणना सही है।
चरण 3: U मानों की गणना करें
n₁ = 10, n₂ = 9
U₁ = n₁n₂ + [n₁(n₁+1)/2] – R₁
U₁ = (10)(9) + [10(11)/2] – 100
U₁ = 90 + 55 – 100 = 45
U₂ = n₁n₂ + [n₂(n₂+1)/2] – R₂
U₂ = (10)(9) + [9(10)/2] – 90
U₂ = 90 + 45 – 90 = 45
जाँच: U₁ + U₂ = n₁n₂. 45 + 45 = 90. (10)(9) = 90. गणना सही है।
चरण 4: टेस्ट सांख्यिकी U का निर्धारण करें
टेस्ट सांख्यिकी U, U₁ और U₂ में से छोटा मान होता है। इस मामले में, दोनों बराबर हैं।
U = 45
निष्कर्ष:
प्राप्त U-मान (45) की तुलना n₁=10 और n₂=9 के लिए मान-व्हिटनी यू-टेस्ट की क्रांतिक मान तालिका से की जाएगी। α = 0.05 (द्वि-पुच्छीय) पर, क्रांतिक मान 20 है।
परीक्षण का नियम है: यदि परिकलित U ≤ क्रांतिक U, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करें।
हमारे मामले में, 45 > 20 ।
इसलिए, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। इस बात का कोई महत्वपूर्ण सांख्यिकीय प्रमाण नहीं है कि दोनों समूहों के वितरण भिन्न हैं।
Q6. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए काई-वर्ग की गणना कीजिए: 6 प्रतिक्रियाएँ पुरुष 2 8
Ans.
नोट: प्रश्न में प्रदान किए गए आँकड़े अधूरे हैं। काई-वर्ग परीक्षण के लिए एक पूर्ण आकस्मिकता सारणी (contingency table) की आवश्यकता होती है। गणना प्रदर्शित करने के लिए, हम एक तार्किक 2×2 सारणी मान लेंगे, जिसमें दिए गए मान (पुरुषों के लिए 2 और 8) शामिल होंगे।
मानी गई सारणी (Observed Frequencies – O):
हम मानते हैं कि आँकड़े दो श्रेणियों (जैसे, प्रतिक्रिया ‘हाँ’/’नहीं’) पर दो समूहों (पुरुष/महिला) के लिए हैं।
लिंग प्रतिक्रिया ‘हाँ’ प्रतिक्रिया ‘नहीं’ कुल पुरुष 2 8 10 महिला 8 2 10 कुल 10 10 20 (N)
शून्य परिकल्पना (H₀): लिंग और प्रतिक्रिया के बीच कोई संबंध नहीं है।
चरण 1: अपेक्षित आवृत्तियों (Expected Frequencies – E) की गणना करें
सूत्र: E = (पंक्ति कुल * स्तंभ कुल) / कुल योग (N)
- पुरुष, हाँ: E = (10 * 10) / 20 = 5
- पुरुष, नहीं: E = (10 * 10) / 20 = 5
- महिला, हाँ: E = (10 * 10) / 20 = 5
- महिला, नहीं: E = (10 * 10) / 20 = 5
चरण 2: काई-वर्ग (χ²) मान की गणना करें
सूत्र: χ² = Σ [ (O – E)² / E ]
सेल O E O – E (O – E)² (O – E)² / E पुरुष, हाँ 2 5 -3 9 9 / 5 = 1.8 पुरुष, नहीं 8 5 3 9 9 / 5 = 1.8 महिला, हाँ 8 5 3 9 9 / 5 = 1.8 महिला, नहीं 2 5 -3 9 9 / 5 = 1.8 कुल χ² = 7.2
χ² = 1.8 + 1.8 + 1.8 + 1.8 = 7.2
चरण 3: स्वतंत्रता की कोटि (df) का निर्धारण करें
df = (पंक्तियों की संख्या – 1) * (स्तंभों की संख्या – 1)
df = (2 – 1) (2 – 1) = 1 1 = 1
निष्कर्ष:
प्राप्त χ² मान (7.2) की तुलना df=1 के लिए क्रांतिक मान से की जाएगी।
α = 0.05 पर, df=1 के लिए क्रांतिक χ² मान 3.84 है।
α = 0.01 पर, df=1 के लिए क्रांतिक χ² मान 6.63 है।
चूंकि हमारा परिकलित मान (7.2) 3.84 और 6.63 दोनों से अधिक है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं।
अंतिम निष्कर्ष: लिंग और प्रतिक्रिया के बीच एक सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण संबंध है।
Q7. सार्थकता के द्वि-पुच्छीय और एक-पुच्छीय परीक्षणों की व्याख्या कीजिए। सार्थकता स्तर स्थापित करने के चरणों का वर्णन कीजिए। 3+3
Ans.
द्वि-पुच्छीय और एक-पुच्छीय परीक्षण (Two-Tailed and One-Tailed Tests)
सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण में, एक-पुच्छीय और द्वि-पुच्छीय परीक्षण इस बात का उल्लेख करते हैं कि क्या परीक्षण एक विशेष दिशा में प्रभाव की परिकल्पना करता है।
1. एक-पुच्छीय परीक्षण (One-Tailed Test):
एक-पुच्छीय (या दिशात्मक) परीक्षण का उपयोग तब किया जाता है जब शोधकर्ता के पास एक विशिष्ट दिशा में अपेक्षित अंतर या संबंध के बारे में एक स्पष्ट परिकल्पना होती है। वैकल्पिक परिकल्पना (H₁) या तो ‘से अधिक’ (>) या ‘से कम’ (<) के रूप में बताई जाती है। अस्वीकृति क्षेत्र (rejection region) पूरी तरह से संभाव्यता वितरण के एक सिरे (पूंछ) पर स्थित होता है।
- उदाहरण: एक शोधकर्ता यह परिकल्पना करता है कि एक नया शिक्षण तरीका मौजूदा तरीके की तुलना में छात्रों के स्कोर में सुधार करेगा (μ_new > μ_old)। यहां, प्रभाव की दिशा निर्दिष्ट है।
- आरेख: यदि α=0.05 है, तो अस्वीकृति क्षेत्र के लिए पूरे 5% को वितरण की एक पूंछ (या तो बाईं या दाईं) में रखा जाता है।
2. द्वि-पुच्छीय परीक्षण (Two-Tailed Test):
एक द्वि-पुच्छीय (या गैर-दिशात्मक) परीक्षण का उपयोग तब किया जाता है जब शोधकर्ता यह परिकल्पना करता है कि एक अंतर या संबंध मौजूद है, लेकिन वह उस अंतर की दिशा निर्दिष्ट नहीं करता है। वैकल्पिक परिकल्पना (H₁) ‘बराबर नहीं’ (≠) के रूप में बताई जाती है। अस्वीकृति क्षेत्र को संभाव्यता वितरण के दोनों सिरों (पूंछों) के बीच विभाजित किया जाता है।
- उदाहरण: एक शोधकर्ता यह परिकल्पना करता है कि पुरुष और महिला के आईक्यू स्कोर में अंतर है (μ_male ≠ μ_female), लेकिन यह नहीं बताता कि किसका स्कोर अधिक है।
- आरेख: यदि α=0.05 है, तो अस्वीकृति क्षेत्र को दो भागों में बांटा जाता है, जिसमें प्रत्येक पूंछ में 2.5% होता है।
सार्थकता स्तर स्थापित करने के चरण (Steps in Setting up the Level of Significance)
सार्थकता स्तर, जिसे अल्फा (α) भी कहा जाता है, एक सच्ची शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की संभाव्यता है (टाइप I त्रुटि करना)। यह एक सीमा है जिसे शोधकर्ता सांख्यिकीय सार्थकता का दावा करने के लिए निर्धारित करता है। इसे स्थापित करने के चरण निम्नलिखित हैं:
1. एक पारंपरिक स्तर चुनें: सामाजिक विज्ञान में, सबसे आम अल्फा स्तर 0.05 (या 5%) है। इसका मतलब है कि 100 में से 5 बार संयोग से परिणाम मिलने का जोखिम है। अधिक कठोर अध्ययनों के लिए, 0.01 (1%) या 0.001 (0.1%) जैसे छोटे अल्फा स्तरों का उपयोग किया जा सकता है।
2. त्रुटियों के परिणामों पर विचार करें:
- यदि टाइप I त्रुटि (एक सच्ची परिकल्पना को गलत तरीके से अस्वीकार करना) विशेष रूप से हानिकारक है (जैसे, एक अप्रभावी दवा को प्रभावी घोषित करना), तो एक छोटा (अधिक कठोर) अल्फा स्तर, जैसे 0.01, चुना जाना चाहिए।
- यदि टाइप II त्रुटि (एक झूठी परिकल्पना को गलत तरीके से स्वीकार करना) अधिक चिंता का विषय है (जैसे, एक संभावित प्रभावी उपचार को नजरअंदाज करना), तो एक बड़ा अल्फा स्तर, जैसे 0.10, पर विचार किया जा सकता है।
3. विश्लेषण से पहले अल्फा स्तर बताएं: पूर्वाग्रह से बचने के लिए, डेटा एकत्र करने और विश्लेषण करने से पहले अल्फा स्तर का चयन और रिपोर्ट किया जाना चाहिए। यह शोधकर्ता को परिणामों के आधार पर सीमा बदलने से रोकता है। चयनित अल्फा स्तर परीक्षण के क्रांतिक मानों को निर्धारित करता है, जो अस्वीकृति क्षेत्र को परिभाषित करते हैं।
Q8. उपयुक्त उदाहरण की सहायता से आंशिक सहसंबंध का वर्णन कीजिए। 6
Ans.
आंशिक सहसंबंध (Partial Correlation) एक सांख्यिकीय माप है जो दो चरों के बीच संबंध की प्रबलता का वर्णन करता है, जबकि एक या एक से अधिक अन्य चरों के प्रभावों को नियंत्रित या स्थिर रखा जाता है। इसका मुख्य उद्देश्य दो चरों के बीच “शुद्ध” या “सच्चे” संबंध को उजागर करना है, जो किसी तीसरे, भ्रमित करने वाले चर (confounding variable) से प्रभावित हो सकता है।
जब दो चर (X और Y) सहसंबद्ध दिखाई देते हैं, तो यह हमेशा एक प्रत्यक्ष कारण-और-प्रभाव संबंध के कारण नहीं होता है। कभी-कभी, एक तीसरा चर (Z) X और Y दोनों को प्रभावित कर रहा होता है, जिससे उनके बीच एक भ्रामक (spurious) सहसंबंध बनता है। आंशिक सहसंबंध इस तीसरे चर Z के प्रभाव को सांख्यिकीय रूप से “हटाकर” X और Y के बीच के संबंध का पुनर्मूल्यांकन करता है।
आंशिक सहसंबंध गुणांक को rₓᵧ.z के रूप में दर्शाया जाता है, जो X और Y के बीच सहसंबंध को इंगित करता है, जबकि Z को स्थिर रखा गया है।
सूत्र:
rₓᵧ.z = (rₓᵧ – rₓz rᵧz) / √[(1 – rₓz²) (1 – rᵧz²)]
जहाँ:
- rₓᵧ = चर X और Y के बीच सहसंबंध
- rₓz = चर X और Z के बीच सहसंबंध
- rᵧz = चर Y और Z के बीच सहसंबंध
उपयुक्त उदाहरण:
एक क्लासिक उदाहरण आइसक्रीम की बिक्री (X) और अपराध दर (Y) के बीच संबंध है।
एक शोधकर्ता गर्मी के महीनों के दौरान डेटा एकत्र करता है और पाता है कि आइसक्रीम की बिक्री और अपराध दर के बीच एक मजबूत, सकारात्मक सहसंबंध (जैसे, rₓᵧ = +0.8) है। इसका मतलब यह है कि जब आइसक्रीम की बिक्री बढ़ती है, तो अपराध दर भी बढ़ती है।
क्या इसका मतलब यह है कि आइसक्रीम खाने से लोग अपराध करते हैं? शायद नहीं। एक तार्किक व्याख्या यह है कि एक तीसरा, भ्रमित करने वाला चर खेल में है: तापमान (Z) ।
- जब तापमान (Z) बढ़ता है, तो अधिक लोग आइसक्रीम (X) खरीदते हैं (सकारात्मक सहसंबंध, rₓz)।
- जब तापमान (Z) बढ़ता है, तो अधिक लोग बाहर होते हैं, जिससे अपराध (Y) के अवसर बढ़ जाते हैं (सकारात्मक सहसंबंध, rᵧz)।
इस परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए, शोधकर्ता आंशिक सहसंबंध की गणना करता है, जो तापमान के प्रभाव को नियंत्रित करता है। वह पाता है:
- आइसक्रीम की बिक्री और तापमान के बीच सहसंबंध: rₓz = +0.9
- अपराध दर और तापमान के बीच सहसंबंध: rᵧz = +0.85
इन मानों को आंशिक सहसंबंध सूत्र में रखने पर, शोधकर्ता को rₓᵧ.z का एक मान मिल सकता है जो शून्य के बहुत करीब है (जैसे, +0.05)।
निष्कर्ष: एक बार जब तापमान के प्रभाव को हटा दिया जाता है, तो आइसक्रीम की बिक्री और अपराध दर के बीच का संबंध लगभग गायब हो जाता है। यह इंगित करता है कि मूल मजबूत सहसंबंध भ्रामक था और मुख्य रूप से तीसरे चर, तापमान के कारण था। इस प्रकार, आंशिक सहसंबंध ने हमें चरों के बीच वास्तविक संबंध को बेहतर ढंग से समझने में मदद की।
Q9. उपयुक्त उदाहरणों की सहायता से मापन के स्तरों का वर्णन कीजिए। 6
Ans. 1946 में मनोवैज्ञानिक एस. एस. स्टीवंस द्वारा प्रस्तावित मापन के स्तर (Levels of Measurement) , एक वर्गीकरण है जो चरों को सौंपी गई संख्याओं की प्रकृति का वर्णन करता है। ये स्तर यह निर्धारित करते हैं कि कौन सी सांख्यिकीय प्रक्रियाएं डेटा के लिए उपयुक्त हैं। मापन के चार मुख्य स्तर हैं, जो सबसे कम से उच्चतम जटिलता तक हैं: नाममात्र, क्रमसूचक, अंतराल और अनुपात।
1. नाममात्र स्तर (Nominal Level):
यह मापन का सबसे सरल स्तर है। इस स्तर पर, संख्याओं या प्रतीकों का उपयोग केवल वस्तुओं या विशेषताओं को वर्गीकृत करने या पहचानने के लिए किया जाता है। संख्याओं में कोई मात्रात्मक मान या क्रम नहीं होता है।
- विशेषताएँ: श्रेणियां परस्पर अनन्य (mutually exclusive) होती हैं। कोई अंतर्निहित क्रम नहीं होता।
- उदाहरण:
- लिंग (1=पुरुष, 2=महिला, 3=अन्य)
- रक्त प्रकार (A, B, AB, O)
- जर्सी नंबर (नंबर 10 का खिलाड़ी नंबर 5 से ‘दोगुना’ अच्छा नहीं है)
- अनुमेय सांख्यिकी: आवृत्ति गणना, बहुलांक, काई-वर्ग।
2. क्रमसूचक स्तर (Ordinal Level):
यह स्तर डेटा को एक सार्थक क्रम में रैंक करने की अनुमति देता है। यह हमें बताता है कि एक श्रेणी दूसरी से अधिक या कम है, लेकिन यह हमें यह नहीं बताता कि कितनी अधिक है। श्रेणियों के बीच के अंतराल असमान या अज्ञात होते हैं।
- विशेषताएँ: डेटा को क्रमबद्ध या रैंक किया जा सकता है।
- उदाहरण:
- एक दौड़ में रैंक (प्रथम, द्वितीय, तृतीय)
- शैक्षिक स्तर (हाई स्कूल, स्नातक, स्नातकोत्तर)
- लाइकेर्ट स्केल प्रतिक्रियाएँ (1=पूरी तरह से असहमत, 2=असहमत, …, 5=पूरी तरह से सहमत)
- अनुमेय सांख्यिकी: माध्यिका, प्रतिशतक, रैंक-ऑर्डर सहसंबंध।
3. अंतराल स्तर (Interval Level):
अंतराल स्तर में क्रमसूचक स्तर के सभी गुण होते हैं, साथ ही यह भी कि पैमाने पर बिंदुओं के बीच के अंतराल बराबर और सार्थक होते हैं। हालांकि, इसमें “वास्तविक शून्य” या पूर्ण शून्य बिंदु नहीं होता है। शून्य बिंदु मनमाना होता है।
- विशेषताएँ: क्रम और बराबर अंतराल। कोई वास्तविक शून्य नहीं।
- उदाहरण:
- तापमान सेल्सियस या फारेनहाइट में (0°C ठंड का बिंदु है, ‘शून्य तापमान’ नहीं)
- आईक्यू स्कोर (आईक्यू 0 का मतलब ‘शून्य बुद्धि’ नहीं है; 100 का आईक्यू 50 के आईक्यू से दोगुना बुद्धिमान नहीं है)
- कैलेंडर वर्ष (वर्ष 0 एक मनमाना बिंदु है)
- अनुमेय सांख्यिकी: माध्य, मानक विचलन, सहसंबंध, एनोवा। जोड़ और घटाव सार्थक हैं।
4. अनुपात स्तर (Ratio Level):
यह मापन का उच्चतम स्तर है। इसमें अंतराल स्तर के सभी गुण होते हैं, लेकिन इसमें एक वास्तविक शून्य बिंदु भी होता है, जो मापी जा रही विशेषता की पूर्ण अनुपस्थिति को दर्शाता है। यह सार्थक अनुपातों की गणना की अनुमति देता है।
- विशेषताएँ: क्रम, बराबर अंतराल, और वास्तविक शून्य।
- उदाहरण:
- ऊंचाई (0 सेमी = कोई ऊंचाई नहीं)
- वजन (0 किलो = कोई वजन नहीं)
- आयु, आय, प्रतिक्रिया समय
- अनुमेय सांख्यिकी: सभी अंकगणितीय ऑपरेशन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) और सभी सांख्यिकीय परीक्षण अनुमेय हैं। हम कह सकते हैं कि 10 किलो 5 किलो का दोगुना है।
Q10. निर्णय त्रुटियाँ
Ans. परिकल्पना परीक्षण के संदर्भ में, निर्णय त्रुटियाँ तब होती हैं जब हम किसी जनसंख्या के बारे में नमूना डेटा के आधार पर गलत निष्कर्ष निकालते हैं। दो मुख्य प्रकार हैं:
- टाइप I त्रुटि (α): यह एक सच्ची शून्य परिकल्पना (H₀) को अस्वीकार करने की त्रुटि है। इसे “गलत सकारात्मक” (false positive) भी कहा जाता है। उदाहरण: यह निष्कर्ष निकालना कि एक दवा प्रभावी है जबकि वास्तव में वह नहीं है।
- टाइप II त्रुटि (β): यह एक झूठी शून्य परिकल्पना (H₀) को अस्वीकार करने में विफल रहने की त्रुटि है। इसे “गलत नकारात्मक” (false negative) भी कहा जाता है। उदाहरण: यह निष्कर्ष निकालने में विफल रहना कि एक प्रभावी दवा काम करती है।
Q11. अरेखीय संबंध
Ans. एक अरेखीय (non-linear) संबंध दो चरों के बीच एक ऐसा संबंध है जिसे एक सीधी रेखा द्वारा सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। जब एक स्कैटर प्लॉट पर चित्रित किया जाता है, तो डेटा बिंदु एक वक्र का अनुसरण करते हैं। उदाहरणों में वक्ररेखीय (जैसे, यू-आकार या उलटा यू-आकार) संबंध शामिल हैं, जैसे कि यर्क्स-डॉडसन कानून जो उत्तेजना और प्रदर्शन के बीच संबंध का वर्णन करता है। पियर्सन का सहसंबंध गुणांक ऐसे संबंधों को मापने के लिए उपयुक्त नहीं है।
Q12. प्रतिगमन समीकरण
Ans. एक प्रतिगमन समीकरण (regression equation) एक गणितीय सूत्र है जो एक आश्रित चर (Y) और एक या अधिक स्वतंत्र चरों (X) के बीच संबंध का वर्णन करता है। इसका उपयोग एक चर के मान के आधार पर दूसरे चर के मान का पूर्वानुमान लगाने के लिए किया जाता है। सरल रैखिक प्रतिगमन समीकरण Y = a + bX है, जहाँ:
- Y आश्रित चर है।
- X स्वतंत्र चर है।
- a Y-अवरोधन (Y-intercept) है (जब X=0 हो तो Y का मान)।
- b ढलान (slope) है, जो X में प्रत्येक एक-यूनिट परिवर्तन के लिए Y में परिवर्तन को दर्शाता है।
IGNOU MPC-006 Previous Year Solved Question Paper in English
Q1. Describe the measures of central tendency and measures of dispersion. 5+5
Ans. In statistics, two important types of descriptive statistics are measures of central tendency and measures of dispersion (or variability). Together, they provide a summary and description of a set of data. Measures of Central Tendency Measures of central tendency are single values that attempt to describe the center or typical value of a set of data. It indicates where most values in a distribution fall. The three main measures of central tendency are: 1. Mean: This is the most common measure, also known as the average. It is calculated by adding up all the values in the set and then dividing by the total number of values. Example: The mean of 2, 3, 3, 5, 7 is (2+3+3+5+7)/5 = 4. The mean is appropriate for interval and ratio level data. It is sensitive to outliers. 2. Median: The median is the value that divides a data set, when arranged in order, into two equal halves. It is the middle value. If there is an even number of data points, the median is the average of the two middle values. Example: In 2, 3, 3 , 5, 7, the median is 3. The median is appropriate for ordinal, interval, and ratio data. It is not affected by outliers, making it a better measure for skewed distributions. 3. Mode: The mode is the value that occurs most frequently in a data set. A distribution can have more than one mode (bi-modal, multi-modal) or no mode at all. Example: In 2, 3 , 3 , 5, 7, the mode is 3. The mode is the only measure of central tendency that can be used for nominal data. Measures of Dispersion Measures of dispersion (also called variability or spread) describe how spread out or clustered together the scores are in a data set from each other and from the central value. It describes the spread of the distribution. The main measures are: 1. Range: This is the simplest measure of dispersion. It is calculated by subtracting the lowest value from the highest value in a data set. Example: In the set 2, 3, 3, 5, 7, the range is 7 – 2 = 5. It is easy to calculate but uses only two values and is very sensitive to outliers. 2. Variance: This is the average of the squared deviations from the mean. It measures how far each number in the set is from the mean. Formula: σ² = Σ (X – μ)² / N A large variance indicates that the numbers are spread far from the mean; a small variance indicates they are clustered closely around the mean. 3. Standard Deviation: This is the square root of the variance (√σ²). It is the most commonly used and most reliable measure of dispersion. It is expressed in the original units of the data, making it easier to interpret. A low standard deviation indicates that the values tend to be close to the mean, while a high standard deviation indicates that the values are spread out over a wider range. In a normal distribution, approximately 68% of values fall within ±1 standard deviation of the mean.
Q2. Compute one-way ANOVA (Parametric test) for the data given ahead : 10 Group A: 2 3 2 2 4 4 Group B: 3 3 5 5 2 2 Group C: 5 5 3 3 2 2
Ans. Objective: To determine if there is a significant difference between the means of the three groups (A, B, C). Null Hypothesis (H₀): The means of the three groups are equal (μA = μB = μC). Alternative Hypothesis (H₁): At least one group mean is different from the others. Given Data:
- Group A (X₁): 2, 3, 2, 2, 4, 4 (n₁ = 6)
- Group B (X₂): 3, 3, 5, 5, 2, 2 (n₂ = 6)
- Group C (X₃): 5, 5, 3, 3, 2, 2 (n₃ = 6)
Total Sample Size (N) = n₁ + n₂ + n₃ = 6 + 6 + 6 = 18
Step 1: Basic Calculations
- ΣX₁ = 2+3+2+2+4+4 = 17
- ΣX₂ = 3+3+5+5+2+2 = 20
- ΣX₃ = 5+5+3+3+2+2 = 20
- Grand Total (ΣX_total) = 17 + 20 + 20 = 57
Step 2: Calculate Correction Term (C)
C = (ΣX_total)² / N = (57)² / 18 = 3249 / 18 = 180.5
Step 3: Calculate Total Sum of Squares (SST)
SST = (ΣX₁² + ΣX₂² + ΣX₃²) – C
ΣX₁² = 2²+3²+2²+2²+4²+4² = 4+9+4+4+16+16 = 53
ΣX₂² = 3²+3²+5²+5²+2²+2² = 9+9+25+25+4+4 = 76
ΣX₃² = 5²+5²+3²+3²+2²+2² = 25+25+9+9+4+4 = 76
SST = (53 + 76 + 76) – 180.5 = 205 – 180.5 = 24.5
Step 4: Calculate Sum of Squares Between Groups (SSB)
SSB = [ (ΣX₁)²/n₁ + (ΣX₂)²/n₂ + (ΣX₃)²/n₃ ] – C
SSB = [ (17)²/6 + (20)²/6 + (20)²/6 ] – 180.5
SSB = [ 289/6 + 400/6 + 400/6 ] – 180.5
SSB = [ 48.17 + 66.67 + 66.67 ] – 180.5
SSB = 181.51 – 180.5 = 1.01
Step 5: Calculate Sum of Squares Within Groups (SSW)
SSW = SST – SSB
SSW = 24.5 – 1.01 = 23.49
Step 6: Calculate Degrees of Freedom (df)
- df_between (k-1) = 3 – 1 = 2
- df_within (N-k) = 18 – 3 = 15
- df_total (N-1) = 18 – 1 = 17
Step 7: Calculate Mean Squares (MS)
- MSB = SSB / df_between = 1.01 / 2 = 0.505
- MSW = SSW / df_within = 23.49 / 15 = 1.566
Step 8: Calculate F-ratio
F = MSB / MSW = 0.505 / 1.566 = 0.322
ANOVA Summary Table
Source of Variation |
SS |
df |
MS |
F-ratio |
| Between Groups | 1.01 | 2 | 0.505 | 0.322 |
| Within Groups | 23.49 | 15 | 1.566 | |
Total |
24.5 |
17 |
Conclusion:
The obtained F-value (0.322) would be compared to the critical F-value from an F-table for df(2, 15) at various levels of significance (e.g., α = 0.05). The critical F-value for df(2, 15) at the 0.05 level is approximately 3.68.
Since our calculated F-value (0.322) is much smaller than the critical value (3.68), we fail to reject the null hypothesis.
Final Conclusion:
The data does not show a significant difference between the means of the three groups.
Q3. Compute Pearson’s product moment correlation for the following data : 10 Data A: 3 4 7 8 3 2 6 Data B: 4 3 9 9 4 3 7
Ans. Objective: To measure the direction and strength of the linear relationship between two variables, Data A (X) and Data B (Y), using Pearson’s product-moment correlation (r). Given Data:
- X (Data A): 3, 4, 7, 8, 3, 2, 6
- Y (Data B): 4, 3, 9, 9, 4, 3, 7
Number of pairs (N) = 7
Table for Calculation:
| X | Y | X² | Y² | XY |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 9 | 16 | 12 |
| 4 | 3 | 16 | 9 | 12 |
| 7 | 9 | 49 | 81 | 63 |
| 8 | 9 | 64 | 81 | 72 |
| 3 | 4 | 9 | 16 | 12 |
| 2 | 3 | 4 | 9 | 6 |
| 6 | 7 | 36 | 49 | 42 |
ΣX = 33 |
ΣY = 39 |
ΣX² = 187 |
ΣY² = 261 |
ΣXY = 219 |
Formula for Pearson’s r:
r = [NΣXY – (ΣX)(ΣY)] / √[[NΣX² – (ΣX)²][NΣY² – (ΣY)²]]
Plugging in the values:
N = 7
ΣX = 33
ΣY = 39
ΣX² = 187
ΣY² = 261
ΣXY = 219
r = [7 219 – (33)(39)] / √[[7 187 – (33)²][7 * 261 – (39)²]]
r = [1533 – 1287] / √[[1309 – 1089][1827 – 1521]]
r = 246 / √[[220][306]]
r = 246 / √[67320]
r = 246 / 259.46
r = 0.948
Interpretation: The value of the correlation coefficient (r) is +0.948 .
- Direction: The sign is positive (+), which indicates a positive correlation . This means that as the values in Data A (X) tend to increase, the values in Data B (Y) also tend to increase.
- Strength: The value 0.948 is very close to 1.0, which indicates a very strong linear relationship .
Therefore, there is a very strong, positive linear relationship between Data A and Data B.
Q4. Describe the characteristics of normal probability curve with the help of suitable diagrams. 10
Ans. The Normal Probability Curve (NPC) , also known as the normal distribution or bell curve, is a theoretical, continuous probability distribution that is a fundamental concept in psychology and other sciences. Many natural and psychological phenomena approximate this curve. Characteristics of the Normal Probability Curve:
1. Bell-Shaped and Symmetrical: The curve has the shape of a bell. It is perfectly symmetrical, meaning if it were folded in half at the center, the two halves would perfectly overlap. This means the left and right sides of the distribution are mirror images of each other.
2. Mean, Median, and Mode are Equal: In a perfect normal distribution, all three measures of central tendency—the Mean, Median, and Mode —are the same value and are located at the center of the curve, which is the highest point.
3. Unimodal: The curve has only one peak or highest point, indicating that there is only one mode in the distribution.
4. The Curve is Asymptotic: The curve gets closer and closer to the x-axis as it moves away from the center, but it never actually touches the x-axis. Theoretically, the tails extend to infinity in both directions. This reflects that extreme scores are possible, but very unlikely.
5. Total Area Under the Curve: The total area under the curve is equal to 1 (or 100%). This area is used to calculate probability. For example, the area between two points represents the probability of a score falling within that range.
6. Fixed Areas in terms of Standard Deviation: There is a fixed relationship between the mean and the standard deviation (SD). The area under the curve can be divided into sections based on standard deviation units:
- Approximately 68.26% of the area falls between ±1 standard deviation (±1σ) from the mean.
- Approximately 95.44% of the area falls between ±2 standard deviations (±2σ) from the mean.
- Approximately 99.73% of the area falls between ±3 standard deviations (±3σ) from the mean.
This “empirical rule” helps us understand where scores are located within the distribution.
Suitable Diagram: The following diagram illustrates these characteristics: 
Figure: The Normal Probability Curve showing the mean (μ), standard deviations (σ), and the percentage areas under the curve.
In psychology, variables such as IQ scores, personality traits, and errors of measurement often follow a normal distribution, making the NPC an essential tool in inferential statistics.
Q5. Compute Mann-Whitney U-test for the following data : 6 Group A: 3, 4, 7, 3, 9, 4, 9, 6, 30, 31 Group B: 0, 8, 2, 2, 5, 9, 32, 40, 23
Ans. Note: The formatting of the data in the question is ambiguous. For the calculation, we are assuming the following data: Group A (n₁=10): 3, 4, 7, 3, 9, 4, 9, 6, 30, 31 Group B (n₂=9): 0, 8, 2, 2, 5, 9, 32, 40, 23
Objective: The Mann-Whitney U-test, a non-parametric test, is used to determine if there is a significant difference in the distributions of two independent samples.
Step 1: Combine and Rank Both Groups Combine all 19 values and rank them from smallest to largest. Tied values are given the average rank.
| Value | Group | Rank |
|---|---|---|
| 0 | B | 1 |
| 2 | B | 2.5 (avg of 2, 3) |
| 2 | B | 2.5 |
| 3 | A | 4.5 (avg of 4, 5) |
| 3 | A | 4.5 |
| 4 | A | 6.5 (avg of 6, 7) |
| 4 | A | 6.5 |
| 5 | B | 8 |
| 6 | A | 9 |
| 7 | A | 10 |
| 8 | B | 11 |
| 9 | A | 13 (avg of 12, 13, 14) |
| 9 | A | 13 |
| 9 | B | 13 |
| 23 | B | 15 |
| 30 | A | 16 |
| 31 | A | 17 |
| 32 | B | 18 |
| 40 | B | 19 |
Step 2: Sum the Ranks (R) for Each Group Sum of Ranks for Group A (R₁): R₁ = 4.5 + 4.5 + 6.5 + 6.5 + 9 + 10 + 13 + 13 + 16 + 17 = 100
Sum of Ranks for Group B (R₂): R₂ = 1 + 2.5 + 2.5 + 8 + 11 + 13 + 15 + 18 + 19 = 90
Check: R₁ + R₂ = 100 + 90 = 190. Total sum of ranks = N(N+1)/2 = 19(20)/2 = 190. The calculation is correct.
Step 3: Calculate the U values n₁ = 10, n₂ = 9 U₁ = n₁n₂ + [n₁(n₁+1)/2] – R₁ U₁ = (10)(9) + [10(11)/2] – 100 U₁ = 90 + 55 – 100 = 45
U₂ = n₁n₂ + [n₂(n₂+1)/2] – R₂ U₂ = (10)(9) + [9(10)/2] – 90 U₂ = 90 + 45 – 90 = 45
Check: U₁ + U₂ = n₁n₂. 45 + 45 = 90. (10)(9) = 90. The calculation is correct.
Step 4: Determine the Test Statistic U The test statistic U is the smaller of U₁ and U₂. In this case, they are equal. U = 45
Conclusion: The obtained U-value (45) would be compared to a critical value table for the Mann-Whitney U-test for n₁=10 and n₂=9. At α = 0.05 (two-tailed), the critical value is 20. The rule for the test is: If calculated U ≤ critical U, reject the null hypothesis. In our case, 45 > 20 . Therefore, we fail to reject the null hypothesis. There is no significant statistical evidence that the distributions of the two groups are different.
Q6. Compute Chi-square for the following data : 6 Responses Males 2 8
Ans. Note: The data provided in the question is incomplete. A full contingency table is required for a chi-square test. To demonstrate the calculation, we will assume a plausible 2×2 table that incorporates the given values (2 and 8 for males). Assumed Table (Observed Frequencies – O): We assume the data is for two groups (Male/Female) on two categories (e.g., Response ‘Yes’/’No’).
| Gender | Response ‘Yes’ | Response ‘No’ | Total |
|---|---|---|---|
| Males | 2 | 8 | 10 |
| Females | 8 | 2 | 10 |
Total |
10 |
10 |
20 (N) |
Null Hypothesis (H₀):
There is no association between gender and response.
Step 1: Calculate the Expected Frequencies (E)
Formula: E = (Row Total * Column Total) / Grand Total (N)
- Males, Yes: E = (10 * 10) / 20 = 5
- Males, No: E = (10 * 10) / 20 = 5
- Females, Yes: E = (10 * 10) / 20 = 5
- Females, No: E = (10 * 10) / 20 = 5
Step 2: Calculate the Chi-Square (χ²) value
Formula: χ² = Σ [ (O – E)² / E ]
| Cell | O | E | O – E | (O – E)² | (O – E)² / E |
|---|---|---|---|---|---|
| Males, Yes | 2 | 5 | -3 | 9 | 9 / 5 = 1.8 |
| Males, No | 8 | 5 | 3 | 9 | 9 / 5 = 1.8 |
| Females, Yes | 8 | 5 | 3 | 9 | 9 / 5 = 1.8 |
| Females, No | 2 | 5 | -3 | 9 | 9 / 5 = 1.8 |
Total |
χ² = 7.2 |
χ² = 1.8 + 1.8 + 1.8 + 1.8 =
7.2
Step 3: Determine Degrees of Freedom (df)
df = (Number of rows – 1) * (Number of columns – 1)
df = (2 – 1)
(2 – 1) = 1
1 = 1
Conclusion:
The obtained χ² value (7.2) is compared to the critical value for df=1.
At α = 0.05, the critical χ² value for df=1 is 3.84.
At α = 0.01, the critical χ² value for df=1 is 6.63.
Since our calculated value (7.2) is greater than both 3.84 and 6.63, we reject the null hypothesis.
Final Conclusion:
There is a statistically significant association between gender and response.
Q7. Explain the two-tailed and one-tailed tests of significance. Describe the steps in setting up the level of significance. 3+3
Ans. Two-Tailed and One-Tailed Tests In statistical hypothesis testing, one-tailed and two-tailed tests refer to whether the test is hypothesizing an effect in a particular direction. 1. One-Tailed Test: A one-tailed (or directional) test is used when the researcher has a clear hypothesis about the specific direction of an expected difference or relationship. The alternative hypothesis (H₁) is stated as either ‘greater than’ (>) or ‘less than’ (<). The rejection region is located entirely on one end (tail) of the probability distribution.
- Example: A researcher hypothesizes that a new teaching method will improve student scores compared to the existing method (μ_new > μ_old). The direction of the effect is specified.
- Diagram: If α=0.05, the entire 5% for the rejection region is placed in one tail of the distribution (either left or right).
2. Two-Tailed Test:
A two-tailed (or non-directional) test is used when the researcher hypothesizes that a difference or relationship exists, but does not specify the direction of that difference. The alternative hypothesis (H₁) is stated as ‘not equal to’ (≠). The rejection region is split between both ends (tails) of the probability distribution.
- Example: A researcher hypothesizes that there is a difference between male and female IQ scores (μ_male ≠ μ_female), but does not state whose score is higher.
- Diagram: If α=0.05, the rejection region is split in two, with 2.5% in each tail.
Steps in Setting up the Level of Significance
The level of significance, also known as
alpha (α)
, is the probability of rejecting a true null hypothesis (making a Type I error). It is the threshold the researcher sets for claiming statistical significance. The steps to set it are:
1. Choose a Conventional Level:
The most common alpha level in the social sciences is
0.05 (or 5%)
. This means there is a 5 in 100 risk of the result being due to chance. For more stringent studies, smaller alpha levels like
0.01 (1%)
or
0.001 (0.1%)
may be used.
2. Consider the Consequences of Errors:
- If a Type I error (wrongly rejecting a true hypothesis) is particularly harmful (e.g., declaring an ineffective drug as effective), a smaller (more stringent) alpha level, like 0.01, should be chosen.
- If a Type II error (wrongly accepting a false hypothesis) is of greater concern (e.g., overlooking a potentially effective treatment), a larger alpha level, like 0.10, might be considered.
3. State the Alpha Level Before Analysis:
To avoid bias, the alpha level must be selected and reported
before
collecting and analyzing data. This prevents the researcher from changing the threshold based on the results. The chosen alpha level determines the critical value(s) of the test, which define the rejection region.
Q8. Describe partial correlation with the help of a suitable example. 6
Ans. Partial Correlation is a statistical measure that describes the strength of the relationship between two variables while controlling for or holding constant the effects of one or more other variables. Its main purpose is to uncover the “pure” or “true” relationship between two variables that might be influenced by a third, confounding variable. When two variables (X and Y) appear correlated, it is not always because of a direct cause-and-effect relationship. Sometimes, a third variable (Z) is influencing both X and Y, creating a spurious correlation between them. Partial correlation statistically “removes” the influence of this third variable Z to re-evaluate the relationship between X and Y. The partial correlation coefficient is denoted as rₓᵧ.z , which indicates the correlation between X and Y, while holding Z constant. Formula: rₓᵧ.z = (rₓᵧ – rₓz rᵧz) / √[(1 – rₓz²) (1 – rᵧz²)] Where:
- rₓᵧ = the correlation between variables X and Y
- rₓz = the correlation between variables X and Z
- rᵧz = the correlation between variables Y and Z
Suitable Example:
A classic example is the relationship between
ice cream sales (X)
and
crime rates (Y)
.
A researcher collects data during the summer months and finds a strong, positive correlation (e.g., rₓᵧ = +0.8) between ice cream sales and crime rates. This means that when ice cream sales go up, crime rates also go up.
Does this mean that eating ice cream causes people to commit crimes? Probably not. A more logical explanation is that a third, confounding variable is at play:
temperature (Z)
.
- When the temperature (Z) increases, more people buy ice cream (X) (a positive correlation, rₓz).
- When the temperature (Z) increases, more people are outdoors, increasing opportunities for crime (Y) (a positive correlation, rᵧz).
To test this hypothesis, the researcher calculates the partial correlation, controlling for the effect of temperature. He finds:
- Correlation between ice cream sales and temperature: rₓz = +0.9
- Correlation between crime rates and temperature: rᵧz = +0.85
Plugging these values into the partial correlation formula, the researcher might find a value for rₓᵧ.z that is very close to zero (e.g., +0.05).
Conclusion:
Once the effect of temperature is removed, the relationship between ice cream sales and crime rates virtually disappears. This indicates that the original strong correlation was spurious and largely caused by the third variable, temperature. Thus, partial correlation helped us better understand the true relationship between the variables.
Q9. Describe the levels of measurement with the help of suitable examples. 6
Ans. The Levels of Measurement , proposed by psychologist S. S. Stevens in 1946, is a classification that describes the nature of the numbers assigned to variables. These levels determine which statistical procedures are appropriate for the data. There are four main levels of measurement, from lowest to highest complexity: nominal, ordinal, interval, and ratio. 1. Nominal Level: This is the simplest level of measurement. At this level, numbers or symbols are used simply to classify or identify objects or attributes. The numbers have no quantitative value or order.
- Properties: Categories are mutually exclusive. No underlying order.
- Examples:
- Gender (1=Male, 2=Female, 3=Other)
- Blood Type (A, B, AB, O)
- Jersey numbers (Player number 10 is not ‘twice’ as good as player number 5)
- Permissible Statistics: Frequency counts, mode, chi-square.
2. Ordinal Level:
This level allows data to be ranked in a meaningful order. It tells us that one category is more or less than another, but it does not tell us by how much. The intervals between the ranks are unequal or unknown.
- Properties: Data can be ordered or ranked.
- Examples:
- Rank in a race (1st, 2nd, 3rd)
- Educational level (High School, Graduate, Post-graduate)
- Likert scale responses (1=Strongly Disagree, 2=Disagree, …, 5=Strongly Agree)
- Permissible Statistics: Median, percentiles, rank-order correlation.
3. Interval Level:
The interval level has all the properties of the ordinal level, plus the intervals between points on the scale are equal and meaningful. However, it lacks a “true zero” or absolute zero point. The zero point is arbitrary.
- Properties: Order and equal intervals. No true zero.
- Examples:
- Temperature in Celsius or Fahrenheit (0°C is the freezing point, not ‘no temperature’)
- IQ scores (an IQ of 0 does not mean ‘no intelligence’; an IQ of 100 is not twice as intelligent as an IQ of 50)
- Calendar years (Year 0 is an arbitrary point)
- Permissible Statistics: Mean, standard deviation, correlation, ANOVA. Addition and subtraction are meaningful.
4. Ratio Level:
This is the highest level of measurement. It has all the properties of the interval level, but it also has a
true zero point
, which represents the complete absence of the characteristic being measured. This allows for the calculation of meaningful ratios.
- Properties: Order, equal intervals, and a true zero.
- Examples:
- Height (0 cm = no height)
- Weight (0 kg = no weight)
- Age, Income, Reaction time
- Permissible Statistics: All arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, division) and all statistical tests are permissible. We can say that 10 kg is twice as heavy as 5 kg.
Q10. Decision errors
Ans. In the context of hypothesis testing, decision errors occur when we draw incorrect conclusions about a population based on sample data. There are two main types:
- Type I Error (α): This is the error of rejecting a true null hypothesis (H₀). It’s also known as a “false positive.” Example: Concluding a drug is effective when it is not.
- Type II Error (β): This is the error of failing to reject a false null hypothesis (H₀). It’s also known as a “false negative.” Example: Failing to conclude that an effective drug works.
Q11. Non-linear relationship
Ans. A non-linear relationship is a relationship between two variables that cannot be accurately represented by a straight line. When plotted on a scatter plot, the data points follow a curve. Examples include curvilinear (e.g., U-shaped or inverted U-shaped) relationships, such as the Yerkes-Dodson Law describing the relationship between arousal and performance. Pearson’s correlation coefficient is not appropriate for measuring such relationships.
Q12. Regression equation
Ans. A regression equation is a mathematical formula that describes the relationship between a dependent variable (Y) and one or more independent variables (X). It is used to predict the value of one variable based on the value of another. The simple linear regression equation is Y = a + bX , where:
- Y is the dependent variable.
- X is the independent variable.
- a is the Y-intercept (the value of Y when X=0).
- b is the slope, representing the change in Y for every one-unit change in X.
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