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IGNOU BCOC-134 Previous Year Solved Question Paper in Hindi

IGNOU BCOC-134 Previous Year Solved Question Paper in English

Q1. (a) Explain the following terms with example for each: (i) Cost function (ii) Composite function (iii) Inverse function (iv) Demand function (b) Discuss briefly the importance of statistics in the following disciplines: (i) Business and Management (ii) Accountancy and Auditing

Ans.

(a) Explanation of Terms:

(i) Cost Function: A cost function is a mathematical relationship that expresses the total cost (C) of production as a function of the quantity of output (x). It typically breaks down the total cost into two components: Fixed Cost (FC) , which does not vary with the level of production (e.g., rent, machinery), and Variable Cost (VC) , which changes with the quantity produced (e.g., raw materials, labor). Mathematically, it is expressed as: C(x) = FC + VC(x) Example: A company incurs a fixed cost of ₹50,000 for rent and machinery, and a variable cost of ₹100 per unit for raw materials. If ‘x’ units are produced, the cost function would be: C(x) = 50,000 + 100x .

(ii) Composite Function: A composite function is formed when the output of one function is used as the input for another function. If we have two functions, f(x) and g(x), the composite function can be written as g(f(x)) or f(g(x)). It is denoted as (g ∘ f)(x), which reads as “g of f of x”. This process essentially chains functions together. Example: Let’s say a worker’s salary (s) is a function of the hours (h) worked, given by f(h) = 150h. The income tax (t) owed is a function of the salary, given by g(s) = 0.10s. The composite function for the tax based on hours worked would be: t(h) = (g ∘ f)(h) = g(f(h)) = g(150h) = 0.10(150h) = 15h .

(iii) Inverse Function: An inverse function, denoted by f⁻¹, is a function that reverses the action of the original function f. If f(x) = y, then f⁻¹(y) = x. For a function to have an inverse, it must be a one-to-one function , meaning each input has a unique output, and each output corresponds to a unique input. Example: In economics, a demand function might express quantity (Q) as a function of price (P), such as Q = 100 – 2P. The inverse function would express price as a function of quantity. Given Q = 100 – 2P 2P = 100 – Q P = 50 – 0.5Q Here, P(Q) = 50 – 0.5Q is the inverse demand function.

(iv) Demand Function: A demand function is a mathematical expression that describes the relationship between the quantity demanded of a good (Qd) and its various determinants, primarily its own price (P). It shows how much of a good consumers are willing and able to buy at different prices, holding other factors constant (ceteris paribus). Example: A simple linear demand function can be represented as Qd = a – bP , where ‘a’ is the quantity demanded when the price is zero, and ‘b’ measures the rate at which demand changes per unit change in price. If a demand function is Qd = 200 – 5P , it means that at a price of ₹10, the quantity demanded will be 200 – 5(10) = 150 units.

(b) Importance of Statistics:

(i) Business and Management: Statistics is an indispensable tool for modern business and management. Its importance lies in several areas:

• Decision Making: Managers use statistical methods to make informed decisions based on data analysis. This includes setting production levels, determining pricing strategies, and planning marketing campaigns.
• Forecasting: Statistical techniques like time series analysis are used to predict future sales, demand, and market trends. This is crucial for planning, budgeting, and resource allocation.
• Quality Control: Statistical Quality Control (SQC) charts and methods are used to monitor and control production processes to ensure products meet predefined specifications and minimize defects.
• Market Research: Statistics is fundamental to market research for analyzing survey data, understanding customer preferences, segmenting markets, and assessing the potential for new products.

(ii) Accountancy and Auditing: In the fields of accountancy and auditing, statistics plays a significant role:

• Sampling in Auditing: It is impractical for auditors to check every single transaction in a large company. Auditors use statistical sampling to select a representative subset of transactions. Based on the findings from the sample, they draw conclusions about the entire population of financial records, saving time and cost.
• Estimation: Statistical methods are used to make estimations required in accounting, such as estimating the provision for bad debts, valuation of inventory (e.g., using moving averages), and calculating depreciation.
• Costing and Variance Analysis: Techniques like regression analysis are used to establish cost-volume-profit (CVP) relationships and to analyze variances between budgeted and actual costs.
• Financial Analysis: Statistical analysis of financial ratios and trends over time helps in assessing a company’s financial health, performance, and risk profile.

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प्रश्न 2. (a) सारणिकों के विभिन्न गुणों की व्याख्या कीजिए। (b) क्रैमर के नियम द्वारा निम्नलिखित समीकरणों के निकाय को हल कीजिए : 2x – y = 5 और 3x + 2y = 7

उत्तर.

(a) सारणिकों के गुण (Properties of Determinants)

सारणिक एक वर्ग आव्यूह (square matrix) से जुड़ी एक विशेष संख्या है। इसके मान की गणना को सरल बनाने के लिए इसके कई महत्वपूर्ण गुण हैं:

• 1. परावर्तन गुण (Reflection Property): किसी सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है यदि उसकी पंक्तियों को स्तंभों में और स्तंभों को पंक्तियों में बदल दिया जाए। अर्थात्, det(A) = det(Aᵀ), जहाँ Aᵀ, A का परिवर्त (transpose) है।
• 2. सर्व-शून्य गुण (All-Zero Property): यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी अवयव शून्य हों, तो सारणिक का मान शून्य होता है।
• 3. समानुपातता गुण (Proportionality Property): यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ या दो स्तंभ समान (identical) या समानुपाती (proportional) हों, तो सारणिक का मान शून्य होता है।
• 4. स्विचन गुण (Switching Property): यदि किसी सारणिक की किन्हीं दो आसन्न पंक्तियों (या स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाए, तो सारणिक का चिह्न बदल जाता है (अर्थात मान ऋणात्मक हो जाता है)।
• 5. अदिश गुणज गुण (Scalar Multiple Property): यदि किसी सारणिक की किसी एक पंक्ति या एक स्तंभ के प्रत्येक अवयव को एक स्थिरांक ‘k’ से गुणा किया जाए, तो सारणिक का मान ‘k’ से गुणा हो जाता है।
• 6. योग गुण (Sum Property): यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ के कुछ या सभी अवयव दो पदों के योग के रूप में व्यक्त किए गए हों, तो सारणिक को उसी क्रम के दो सारणिकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• 7. निश्चरता गुण (Invariance Property): यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव में किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संगत अवयवों को एक ही संख्या से गुणा करके जोड़ा जाए, तो सारणिक का मान अपरिवर्तित रहता है। अर्थात्, Rᵢ → Rᵢ + kRⱼ या Cᵢ → Cᵢ + kCⱼ। यह गुण गणना को सरल बनाने में बहुत उपयोगी है।

(b) क्रैमर के नियम से समीकरणों का हल

दिए गए समीकरणों का निकाय है: 2x – y = 5 … (i) 3x + 2y = 7 … (ii)

क्रैमर का नियम (Cramer’s Rule) रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए सारणिकों का उपयोग करता है।

चरण 1: गुणांक आव्यूह (coefficient matrix) का सारणिक (D) ज्ञात करें। गुणांकों x और y से सारणिक D बनता है: D = | 2 -1 | | 3 2 | D = (2)(2) – (-1)(3) = 4 + 3 = 7

चूंकि D ≠ 0 है, इसलिए एक अद्वितीय हल मौजूद है।

चरण 2: Dₓ ज्ञात करें। Dₓ ज्ञात करने के लिए, D के पहले स्तंभ (x के गुणांक) को स्थिरांक पदों (5 और 7) से प्रतिस्थापित करें: Dₓ = | 5 -1 | | 7 2 | Dₓ = (5)(2) – (-1)(7) = 10 + 7 = 17

चरण 3: Dᵧ ज्ञात करें। Dᵧ ज्ञात करने के लिए, D के दूसरे स्तंभ (y के गुणांक) को स्थिरांक पदों (5 और 7) से प्रतिस्थापित करें: Dᵧ = | 2 5 | | 3 7 | Dᵧ = (2)(7) – (5)(3) = 14 – 15 = -1

चरण 4: x और y का मान ज्ञात करें। क्रैमर के नियम के अनुसार: x = Dₓ / D = 17 / 7 y = Dᵧ / D = -1 / 7

अतः, हल है: x = 17/7 और y = -1/7 ।