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IGNOU BPCC-108 Solved Question Paper PDF
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IGNOU BPCC-108 Previous Year Solved Question Paper in Hindi
Q1. औसत मानों के बीच अंतर की सार्थकता की आवश्यकता और महत्व पर चर्चा कीजिए और इसे निर्धारित करने हेतु मूलभूत संकल्पनाओं का वर्णन कीजिए।
Ans.
परिचय: मनोवैज्ञानिक अनुसंधान में, विशेष रूप से प्रयोगात्मक अध्ययनों में, शोधकर्ता अक्सर यह निर्धारित करने में रुचि रखते हैं कि क्या एक स्वतंत्र चर (जैसे एक नई चिकित्सा) का आश्रित चर (जैसे अवसाद स्कोर) पर कोई प्रभाव पड़ा है। यह आमतौर पर दो या दो से अधिक समूहों के औसत स्कोर (माध्य) की तुलना करके किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक प्रयोगात्मक समूह और एक नियंत्रण समूह। औसत मानों के बीच अंतर की सार्थकता का परीक्षण एक सांख्यिकीय प्रक्रिया है जो हमें यह तय करने में मदद करती है कि समूहों के बीच देखा गया अंतर वास्तविक है (स्वतंत्र चर के कारण) या केवल संयोग या नमूनाकरण त्रुटि का परिणाम है।
आवश्यकता और महत्व:
- निष्कर्ष निकालना: यह हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि क्या किसी हस्तक्षेप या उपचार का कोई वास्तविक प्रभाव था। इसके बिना, हम यह नहीं जान पाएंगे कि मनाया गया अंतर सार्थक है या नहीं।
- परिकल्पना परीक्षण: यह परिकल्पना परीक्षण की प्रक्रिया का एक मुख्य घटक है, जो शोधकर्ताओं को अपने सिद्धांतों के बारे में वैज्ञानिक रूप से सूचित निर्णय लेने में सक्षम बनाता है।
- सामान्यीकरण: यह निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या किसी नमूने में पाए गए परिणाम पूरी आबादी के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं जिससे नमूना लिया गया था।
- साक्ष्य-आधारित अभ्यास: मनोविज्ञान, शिक्षा और चिकित्सा जैसे क्षेत्रों में, यह निर्धारित करने के लिए महत्वपूर्ण है कि कौन से उपचार और हस्तक्षेप प्रभावी हैं, इस प्रकार साक्ष्य-आधारित प्रथाओं का समर्थन करते हैं।
अंतर की सार्थकता निर्धारित करने में मूलभूत संकल्पनाएं:
अंतर की सार्थकता का परीक्षण करने के लिए, जिसे आमतौर पर टी-टेस्ट (t-test) का उपयोग करके किया जाता है, निम्नलिखित मूलभूत अवधारणाओं को समझना आवश्यक है:
- शून्य परिकल्पना (H₀): यह परिकल्पना बताती है कि जनसंख्या स्तर पर समूहों के औसत मानों के बीच कोई वास्तविक अंतर नहीं है (μ₁ = μ₂)। कोई भी देखा गया अंतर केवल संयोग के कारण है।
- वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): यह परिकल्पना बताती है कि जनसंख्या औसत मानों के बीच एक वास्तविक अंतर है (μ₁ ≠ μ₂)। यह वह परिकल्पना है जिसे शोधकर्ता आमतौर पर समर्थन देने की उम्मीद करता है।
- औसत मानों के बीच अंतर की मानक त्रुटि (SEᴅ): यह एक सांख्यिकीय माप है जो यह अनुमान लगाता है कि दो नमूना औसत मानों के बीच का अंतर संयोग से कितना भिन्न होने की उम्मीद है। यह अनिवार्य रूप से उस सैंपलिंग वितरण का मानक विचलन है जो दो साधनों के बीच के अंतर से बनता है।
- टी-अनुपात (t-ratio): यह नमूना औसत मानों के बीच देखे गए अंतर और औसत मानों के बीच अंतर की मानक त्रुटि का अनुपात है। सूत्र है: t = (M₁ – M₂) / SEᴅ । एक बड़ा टी-अनुपात बताता है कि देखा गया अंतर संयोग की अपेक्षा से बहुत बड़ा है।
- स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom – df): यह टी-वितरण के आकार को निर्धारित करता है जिसका उपयोग परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जाता है। स्वतंत्र नमूनों के लिए, df = n₁ + n₂ – 2।
- सार्थकता का स्तर (α): यह एक सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने (टाइप I त्रुटि करने) की पूर्व-निर्धारित संभावना है। आमतौर पर इसे 0.05 या 0.01 पर सेट किया जाता है।
- क्रांतिक मान (Critical Value): यह टी-वितरण तालिका से प्राप्त मान है। यदि परिकलित टी-मान इस क्रांतिक मान से अधिक हो जाता है, तो परिणाम को सांख्यिकीय रूप से सार्थक माना जाता है, और शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है।
संक्षेप में, प्रक्रिया में एक टी-मान की गणना करना और इसकी तुलना क्रांतिक मान से करना शामिल है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि समूहों के बीच अंतर इतना बड़ा है कि इसे संयोग के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है।
Q2. निम्नलिखित पर लगभग 50-50 शब्दों में संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखिए : (a) परिकल्पना परीक्षण में त्रुटियाँ (b) प्राचलिक एवं अप्राचलिक सांख्यिकी का अनुप्रयोग
Ans.
(a) परिकल्पना परीक्षण में त्रुटियाँ:
परिकल्पना परीक्षण में, दो प्रकार की संभावित त्रुटियाँ होती हैं। टाइप I त्रुटि (α) तब होती है जब एक शोधकर्ता एक सत्य शून्य परिकल्पना (H₀) को अस्वीकार कर देता है, यह निष्कर्ष निकालता है कि एक प्रभाव मौजूद है जबकि वास्तव में ऐसा नहीं है (एक गलत सकारात्मक)। टाइप II त्रुटि (β) तब होती है जब एक शोधकर्ता एक झूठी शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहता है, यह निष्कर्ष निकालता है कि कोई प्रभाव नहीं है जबकि एक वास्तविक प्रभाव मौजूद है (एक गलत नकारात्मक)।
(b) प्राचलिक एवं अप्राचलिक सांख्यिकी का अनुप्रयोग:
प्राचलिक सांख्यिकी (जैसे, टी-टेस्ट, एनोवा) का उपयोग तब किया जाता है जब डेटा कुछ मान्यताओं को पूरा करता है: यह अंतराल या अनुपात पैमाने पर होना चाहिए, सामान्य रूप से वितरित होना चाहिए, और समूहों में विचरण की एकरूपता होनी चाहिए। ये परीक्षण अधिक शक्तिशाली होते हैं। अप्राचलिक सांख्यिकी (जैसे, काई-वर्ग, मान-व्हिटनी यू-टेस्ट) का उपयोग तब किया जाता है जब प्राचलिक मान्यताएं पूरी नहीं होती हैं, या जब डेटा नाममात्र या क्रमसूचक होता है। ये “वितरण-मुक्त” परीक्षण हैं और कम शक्तिशाली होते हैं।
Q3. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एकमार्गी प्रसरण का विश्लेषण (ANOVA) की गणना कीजिए : समूह A: 2, 3, 2, 2, 3, 3 समूह B: 4, 2, 3, 4, 4, 4 समूह C: 3, 2, 3, 3, 4, 4
Ans. एकमार्गी एनोवा (One-way ANOVA) का उद्देश्य यह परीक्षण करना है कि क्या तीन या अधिक समूहों के साधनों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है।
चरण 1: परिकल्पना तैयार करें
- शून्य परिकल्पना (H₀): तीनों समूहों के जनसंख्या साधनों में कोई अंतर नहीं है (μᴀ = μʙ = μᴄ)।
- वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): कम से कम एक समूह का जनसंख्या साधन दूसरों से भिन्न है।
चरण 2: प्रारंभिक गणना
समूह A समूह B समूह C 2, 3, 2, 2, 3, 3 4, 2, 3, 4, 4, 4 3, 2, 3, 3, 4, 4 n₁ = 6 n₂ = 6 n₃ = 6 ΣX₁ = 15 ΣX₂ = 21 ΣX₃ = 19 M₁ = 15/6 = 2.5 M₂ = 21/6 = 3.5 M₃ = 19/6 ≈ 3.17 ΣX₁² = 39 ΣX₂² = 77 ΣX₃² = 63 कुल अवलोकन (N) = 6 + 6 + 6 = 18
सभी स्कोरों का कुल योग (ΣX_total) = 15 + 21 + 19 = 55
सभी वर्गों का कुल योग (ΣX²_total) = 39 + 77 + 63 = 179
चरण 3: सुधार पद (Correction Term – C) की गणना करें
C = (ΣX_total)² / N = (55)² / 18 = 3025 / 18 = 168.06
चरण 4: वर्गों का योग (Sum of Squares – SS) की गणना करें
- कुल वर्गों का योग (SS_T): SS_T = ΣX²_total – C = 179 – 168.06 = 10.94
- समूहों के बीच वर्गों का योग (SS_B): SS_B = [ (ΣX₁)²/n₁ + (ΣX₂)²/n₂ + (ΣX₃)²/n₃ ] – C SS_B = [ (15²/6) + (21²/6) + (19²/6) ] – 168.06 SS_B = [ 37.5 + 73.5 + 60.17 ] – 168.06 = 171.17 – 168.06 = 3.11
- समूहों के भीतर वर्गों का योग (SS_W): SS_W = SS_T – SS_B = 10.94 – 3.11 = 7.83
चरण 5: स्वतंत्रता की कोटि (Degrees of Freedom – df) की गणना करें
- df_B (समूहों के बीच) = k – 1 = 3 – 1 = 2
- df_W (समूहों के भीतर) = N – k = 18 – 3 = 15
- df_T (कुल) = N – 1 = 18 – 1 = 17
चरण 6: माध्य वर्ग (Mean Squares – MS) की गणना करें
- MS_B = SS_B / df_B = 3.11 / 2 = 1.555
- MS_W = SS_W / df_W = 7.83 / 15 = 0.522
चरण 7: F-अनुपात की गणना करें
F = MS_B / MS_W = 1.555 / 0.522 = 2.98
चरण 8: एनोवा सारांश तालिका
विचरण का स्रोत SS df MS F समूहों के बीच 3.11 2 1.555 2.98 समूहों के भीतर 7.83 15 0.522 कुल 10.94 17
चरण 9: निष्कर्ष
df = 2 और 15 के लिए, F का क्रांतिक मान 0.05 सार्थकता स्तर पर 3.68 है। हमारा परिकलित F-मान (2.98) क्रांतिक मान (3.68) से कम है।
अंतिम निष्कर्ष: चूँकि परिकलित F-मान क्रांतिक मान से कम है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। इसका अर्थ है कि तीनों समूहों के साधनों के बीच कोई सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर नहीं है।
Q4. विभिन्न प्रकार के कारकीय अभिकल्पों का वर्णन कीजिए। तीन प्रकार के अंतःक्रियात्मक प्रभावों को उदाहरण सहित समझाइए।
Ans.
कारकीय अभिकल्प (Factorial Designs):
एक कारकीय अभिकल्प एक प्रकार का प्रयोगात्मक डिज़ाइन है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर (जिन्हें कारक भी कहा जाता है) शामिल होते हैं। प्रत्येक कारक के विभिन्न स्तर होते हैं। ये डिज़ाइन शोधकर्ताओं को न केवल प्रत्येक स्वतंत्र चर के आश्रित चर पर व्यक्तिगत प्रभाव (मुख्य प्रभाव) का अध्ययन करने की अनुमति देते हैं, बल्कि इन चरों के बीच अंतःक्रिया प्रभाव का भी अध्ययन करने की अनुमति देते हैं। कारकीय अभिकल्पों को कारकों की संख्या और प्रत्येक कारक के स्तरों की संख्या द्वारा दर्शाया जाता है (उदाहरण के लिए, 2×2 डिज़ाइन, 2×3 डिज़ाइन)।
कारकीय अभिकल्पों के प्रकार:
- विषयों के बीच अभिकल्प (Between-Subjects Design): इस डिज़ाइन में, प्रत्येक प्रतिभागी को केवल एक प्रायोगिक स्थिति (या सेल) में सौंपा जाता है। उदाहरण के लिए, एक 2×2 डिज़ाइन में चार स्थितियाँ होंगी, और प्रत्येक स्थिति के लिए प्रतिभागियों का एक अलग समूह होगा।
- विषयों के भीतर अभिकल्प (Within-Subjects Design): इसे पुनरावृत्त माप अभिकल्प भी कहा जाता है, इसमें समान प्रतिभागी सभी प्रायोगिक स्थितियों में भाग लेते हैं। यह व्यक्तिगत भिन्नताओं को कम करता है लेकिन क्रम प्रभाव (order effects) से ग्रस्त हो सकता है।
- मिश्रित अभिकल्प (Mixed Design): यह डिज़ाइन कम से कम एक विषयों के बीच स्वतंत्र चर और कम से कम एक विषयों के भीतर स्वतंत्र चर को जोड़ता है। उदाहरण के लिए, एक उपचार समूह बनाम एक नियंत्रण समूह (विषयों के बीच) के प्रभाव को समय के साथ मापना (विषयों के भीतर)।
अंतःक्रियात्मक प्रभाव (Interactive Effects):
एक अंतःक्रिया प्रभाव तब होता है जब एक स्वतंत्र चर का प्रभाव दूसरे स्वतंत्र चर के स्तर के आधार पर बदल जाता है। तीन मुख्य प्रकार के अंतःक्रिया प्रभाव हैं:
1. क्रमसूचक अंतःक्रिया (Ordinal Interaction):
इस प्रकार की अंतःक्रिया में, एक स्वतंत्र चर का प्रभाव दूसरे स्वतंत्र चर के सभी स्तरों पर एक ही दिशा में होता है, लेकिन प्रभाव का परिमाण भिन्न होता है। ग्राफ पर, रेखाएँ एक-दूसरे को पार नहीं करती हैं लेकिन समानांतर भी नहीं होती हैं।
उदाहरण: एक अध्ययन स्मृति पर कैफीन और नींद की कमी के प्रभाव की जांच करता है। परिणाम दिखाते हैं कि कैफीन उन लोगों की स्मृति में सुधार करता है जो अच्छी तरह से सोए हैं और जो नींद से वंचित हैं। हालांकि, सुधार नींद से वंचित प्रतिभागियों के लिए बहुत बड़ा है। दोनों समूहों के लिए प्रभाव सकारात्मक है, लेकिन परिमाण में भिन्न है।
2. व्युत्क्रमणीय अंतःक्रिया (Disordinal or Crossover Interaction):
यहाँ, एक स्वतंत्र चर का प्रभाव दूसरे स्वतंत्र चर के विभिन्न स्तरों पर दिशा बदलता है। ग्राफ पर, रेखाएँ एक-दूसरे को काटती या पार करती हैं।
उदाहरण: दो शिक्षण विधियों (विधि A और विधि B) की प्रभावशीलता की तुलना उच्च-योग्यता और निम्न-योग्यता वाले छात्रों के लिए की जाती है। परिणाम यह दिखा सकते हैं कि उच्च-योग्यता वाले छात्रों के लिए विधि A अधिक प्रभावी है, लेकिन निम्न-योग्यता वाले छात्रों के लिए विधि B अधिक प्रभावी है। एक चर का प्रभाव दूसरे चर के स्तर के आधार पर उलट जाता है।
3. कोई अंतःक्रिया नहीं (No Interaction):
जब कोई अंतःक्रिया नहीं होती है, तो एक स्वतंत्र चर का प्रभाव दूसरे स्वतंत्र चर के सभी स्तरों पर समान रहता है। ग्राफ पर, रेखाएँ समानांतर होती हैं। यह इंगित करता है कि दोनों स्वतंत्र चरों के प्रभाव एक दूसरे से स्वतंत्र हैं।
उदाहरण: एक अध्ययन दो अलग-अलग उर्वरकों के प्रभाव को दो अलग-अलग पौधों की प्रजातियों पर देखता है। यदि प्रत्येक उर्वरक दोनों पौधों की प्रजातियों की ऊंचाई को समान मात्रा में (जैसे, 5 सेमी) बढ़ाता है, तो कोई अंतःक्रिया नहीं होती है। उर्वरक का प्रभाव पौधे की प्रजाति पर निर्भर नहीं करता है।
Q5. काई-वर्ग परीक्षण के अनुप्रयोग के लिए मान्यताओं का वर्णन कीजिए। निम्नलिखित आँकड़ों के लिए काई-वर्ग की गणना कीजिए : लिंग: पुरुष 10, 8; महिला 4, 2
Ans.
काई-वर्ग परीक्षण के अनुप्रयोग के लिए मान्यताएं:
काई-वर्ग (Chi-square, χ²) परीक्षण एक गैर-प्राचलिक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि दो श्रेणीबद्ध चरों के बीच कोई महत्वपूर्ण संबंध है या नहीं। इसके उचित अनुप्रयोग के लिए, निम्नलिखित मान्यताओं को पूरा किया जाना चाहिए:
- आवृत्ति डेटा: डेटा को आवृत्तियों या गणनाओं के रूप में होना चाहिए, प्रतिशत या अनुपात के रूप में नहीं।
- स्वतंत्र अवलोकन: नमूने में प्रत्येक अवलोकन दूसरे से स्वतंत्र होना चाहिए। इसका मतलब है कि एक प्रतिभागी का चयन या प्रतिक्रिया दूसरे को प्रभावित नहीं करती है।
- पारस्परिक रूप से अनन्य श्रेणियां: प्रत्येक अवलोकन को केवल एक और केवल एक श्रेणी में फिट होना चाहिए। श्रेणियों में कोई ओवरलैप नहीं होना चाहिए।
- अपेक्षित आवृत्ति: अपेक्षित आवृत्तियाँ बहुत छोटी नहीं होनी चाहिए। एक सामान्य नियम यह है कि 2×2 तालिका में, किसी भी सेल में अपेक्षित आवृत्ति 5 से कम नहीं होनी चाहिए। बड़ी तालिकाओं के लिए, 20% से अधिक सेलों में 5 से कम की अपेक्षित आवृत्ति नहीं होनी चाहिए, और किसी भी सेल में शून्य की अपेक्षित आवृत्ति नहीं होनी चाहिए।
काई-वर्ग की गणना:
हम मान लेंगे कि डेटा दो प्रतिक्रिया श्रेणियों (जैसे, ‘हाँ’/’नहीं’) पर लिंग द्वारा विभाजित प्रतिक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करता है।
चरण 1: प्रेक्षित आवृत्तियों (Observed Frequencies – O) की तालिका बनाना और योग की गणना करना
लिंग प्रतिक्रिया 1 प्रतिक्रिया 2 पंक्ति योग पुरुष 10 8 18 महिला 4 2 6 कॉलम योग 14 10 24 (कुल N)
चरण 2: अपेक्षित आवृत्तियों (Expected Frequencies – E) की गणना करना
सूत्र: E = (पंक्ति योग × कॉलम योग) / कुल N
- E (पुरुष, प्रतिक्रिया 1) = (18 × 14) / 24 = 10.5
- E (पुरुष, प्रतिक्रिया 2) = (18 × 10) / 24 = 7.5
- E (महिला, प्रतिक्रिया 1) = (6 × 14) / 24 = 3.5
- E (महिला, प्रतिक्रिया 2) = (6 × 10) / 24 = 2.5
नोट: दो अपेक्षित आवृत्तियाँ (3.5 और 2.5) 5 से कम हैं, जो मान्यता का उल्लंघन करती हैं। एक कठोर विश्लेषण में, फिशर का सटीक परीक्षण बेहतर होगा। हालांकि, हम गणना के साथ आगे बढ़ेंगे।
चरण 3: काई-वर्ग (χ²) मान की गणना करना
सूत्र: χ² = Σ [ (O – E)² / E ]
- सेल 1 (पुरुष, प्रति. 1): (10 – 10.5)² / 10.5 = (-0.5)² / 10.5 = 0.25 / 10.5 = 0.024
- सेल 2 (पुरुष, प्रति. 2): (8 – 7.5)² / 7.5 = (0.5)² / 7.5 = 0.25 / 7.5 = 0.033
- सेल 3 (महिला, प्रति. 1): (4 – 3.5)² / 3.5 = (0.5)² / 3.5 = 0.25 / 3.5 = 0.071
- सेल 4 (महिला, प्रति. 2): (2 – 2.5)² / 2.5 = (-0.5)² / 2.5 = 0.25 / 2.5 = 0.100
χ² = 0.024 + 0.033 + 0.071 + 0.100 = 0.228
चरण 4: स्वतंत्रता की कोटि (df) और निष्कर्ष
df = (पंक्तियों की संख्या – 1) × (स्तंभों की संख्या – 1) = (2 – 1) × (2 – 1) = 1
df=1 के लिए, 0.05 सार्थकता स्तर पर काई-वर्ग का क्रांतिक मान 3.841 है।
निष्कर्ष: चूँकि परिकलित χ² मान (0.228) क्रांतिक मान (3.841) से बहुत कम है, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। इसका अर्थ है कि लिंग और प्रतिक्रिया के बीच कोई सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण संबंध नहीं है।
Q6. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए मान-व्हिटनी यू-परीक्षण की गणना कीजिए : समूह A: 3, 2, 6, 7, 0, 8, 8, 5 समूह B: 9, 4, 5, 25, 4, 20, 6, 11
Ans. मान-व्हिटनी यू-परीक्षण (Mann-Whitney U-test) एक गैर-प्राचलिक परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि दो स्वतंत्र नमूनों को समान वितरण वाले आबादी से लिया गया है या नहीं।
चरण 1: परिकल्पनाएं
- शून्य परिकल्पना (H₀): दोनों समूहों के वितरण में कोई अंतर नहीं है।
- वैकल्पिक परिकल्पना (H₁): दोनों समूहों के वितरण भिन्न हैं।
चरण 2: सभी स्कोरों को मिलाएं और रैंक करें
दोनों समूहों (n₁=8, n₂=8) से सभी 16 स्कोरों को सबसे छोटे से सबसे बड़े तक क्रमबद्ध करें और उन्हें रैंक करें। समान स्कोरों (टाई) को औसत रैंक दिया जाता है।
स्कोर समूह रैंक 0 A 1 2 A 2 3 A 3 4 B 4.5 (4 और 5 का औसत) 4 B 5 A 6.5 (6 और 7 का औसत) 5 B 6 A 8.5 (8 और 9 का औसत) 6 B 7 A 10 8 A 11.5 (11 और 12 का औसत) 8 A 9 B 13 11 B 14 20 B 15 25 B 16
चरण 3: प्रत्येक समूह के लिए रैंक का योग (R) करें
- समूह A के लिए रैंक का योग (R₁): R₁ = 1 + 2 + 3 + 6.5 + 8.5 + 10 + 11.5 + 11.5 = 54
- समूह B के लिए रैंक का योग (R₂): R₂ = 4.5 + 4.5 + 6.5 + 8.5 + 13 + 14 + 15 + 16 = 82
जांच: R₁ + R₂ = 54 + 82 = 136. साथ ही, N(N+1)/2 = 16(17)/2 = 136. गणना सही है।
चरण 4: U-मान की गणना करें
U के लिए दो मानों की गणना की जाती है, U₁ और U₂, और छोटे मान का उपयोग किया जाता है।
- U₁ = n₁n₂ + [n₁(n₁+1)/2] – R₁ U₁ = (8)(8) + [8(8+1)/2] – 54 U₁ = 64 + [72/2] – 54 = 64 + 36 – 54 = 46
- U₂ = n₁n₂ + [n₂(n₂+1)/2] – R₂ U₂ = (8)(8) + [8(8+1)/2] – 82 U₂ = 64 + 36 – 82 = 18
परीक्षण के लिए उपयोग किया जाने वाला U-मान छोटा वाला होता है, इसलिए U = 18 ।
चरण 5: निष्कर्ष
n₁=8 और n₂=8 के लिए, α = 0.05 (दो-पूंछ) पर मान-व्हिटनी यू-परीक्षण के लिए क्रांतिक मान 13 है।
सार्थकता के लिए, परिकलित U मान क्रांतिक मान से कम या बराबर होना चाहिए।
हमारा परिकलित U (18) क्रांतिक मान (13) से अधिक है।
अंतिम निष्कर्ष: हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। इसका अर्थ है कि समूह A और समूह B के वितरण के बीच कोई सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर नहीं है।
Q7. निम्नलिखित पर लगभग 50-50 शब्दों में संक्षिप्त टिप्पणियाँ लिखिए : (a) माध्यिका परीक्षण और उसकी गणना (b) प्राचलिक प्रसरण का विश्लेषण और क्रुस्कल-वालिस प्रसरण का विश्लेषण परीक्षण की तुलना
Ans.
(a) माध्यिका परीक्षण और उसकी गणना:
माध्यिका परीक्षण एक गैर-प्राचलिक विधि है जिसका उपयोग यह परीक्षण करने के लिए किया जाता है कि क्या दो या दो से अधिक स्वतंत्र समूह समान माध्यिका वाली आबादी से लिए गए हैं। इसकी गणना में सभी समूहों से डेटा को मिलाकर एक सामान्य माध्यिका ज्ञात करना शामिल है। फिर, एक 2xK काई-वर्ग तालिका बनाई जाती है, जिसमें प्रत्येक समूह के स्कोर को सामान्य माध्यिका से ऊपर या नीचे के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, और फिर महत्व के लिए एक काई-वर्ग परीक्षण किया जाता है।
(b) प्राचलिक प्रसरण का विश्लेषण और क्रुस्कल-वालिस प्रसरण का विश्लेषण परीक्षण की तुलना:
दोनों परीक्षण तीन या अधिक स्वतंत्र समूहों के बीच अंतर का आकलन करते हैं। प्राचलिक एनोवा (ANOVA) समूह के साधनों की तुलना करता है और इसके लिए अंतराल/अनुपात डेटा, सामान्यता और विचरण की समरूपता की आवश्यकता होती है। यह अधिक शक्तिशाली है। क्रुस्कल-वालिस परीक्षण , जिसे “रैंक पर एक-मार्गी एनोवा” भी कहा जाता है, एक गैर-प्राचलिक विकल्प है। यह समूह के माध्यिका या रैंक योग की तुलना करता है और इसका उपयोग तब किया जाता है जब एनोवा की मान्यताएं पूरी नहीं होती हैं या डेटा क्रमसूचक होता है। यह कम शक्तिशाली है।
Q8. क्रुस्कल-वालिस परीक्षण की मान्यताओं का वर्णन कीजिए। निम्नलिखित आँकड़ों के लिए क्रुस्कल-वालिस परीक्षण की गणना कीजिए : समूह A: 3, 9, 6, 3, 2, 7 समूह B: 2, 7, 4, 6, 0, 8 समूह C: 5, 4, 9, 22, 2, 20
Ans.
क्रुस्कल-वालिस परीक्षण की मान्यताएं:
क्रुस्कल-वालिस परीक्षण एक-मार्गी एनोवा (ANOVA) का एक गैर-प्राचलिक समकक्ष है, जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि तीन या अधिक स्वतंत्र समूहों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर हैं या नहीं। इसकी मुख्य मान्यताएं हैं:
- माप का स्तर: आश्रित चर को कम से कम एक क्रमसूचक पैमाने पर मापा जाना चाहिए।
- स्वतंत्रता: अवलोकन स्वतंत्र होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि समूहों के भीतर और बीच के अवलोकन एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं।
- वितरण का आकार: प्रत्येक समूह के लिए जनसंख्या वितरण का आकार समान होना चाहिए। परीक्षण को सामान्यता की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह मानता है कि वितरण समान रूप से आकार के हैं।
क्रुस्कल-वालिस परीक्षण की गणना:
(नोट: दिए गए डेटा में कुछ असामान्य रूप से बड़े मान (22, 20) हैं, लेकिन हम गणना में दिए गए मानों का उपयोग करेंगे।)
चरण 1: परिकल्पनाएं
- H₀: तीनों समूहों की जनसंख्या माध्यिकाएँ बराबर हैं।
- H₁: कम से कम एक समूह की जनसंख्या माध्यिका भिन्न है।
चरण 2: सभी स्कोरों को मिलाएं और रैंक करें
समूहों (n₁=6, n₂=6, n₃=6; N=18) से सभी स्कोरों को क्रमबद्ध करें और रैंक दें।
स्कोर समूह रैंक 0 B 1 2 A 3 (2, 3, 4 का औसत) 2 B 2 C 3 A 5.5 (5, 6 का औसत) 3 A 4 B 7.5 (7, 8 का औसत) 4 C 5 C 9 6 A 10.5 (10, 11 का औसत) 6 B 7 A 12.5 (12, 13 का औसत) 7 B 8 B 14 9 A 15.5 (15, 16 का औसत) 9 C 20 C 17 22 C 18
चरण 3: प्रत्येक समूह के लिए रैंक का योग (R) करें
- R_A = 3 + 5.5 + 5.5 + 10.5 + 12.5 + 15.5 = 52.5
- R_B = 1 + 3 + 7.5 + 10.5 + 12.5 + 14 = 48.5
- R_C = 3 + 7.5 + 9 + 15.5 + 17 + 18 = 70
जांच: 52.5 + 48.5 + 70 = 171. N(N+1)/2 = 18(19)/2 = 171. सही है।
चरण 4: H स्टैटिस्टिक की गणना करें
सूत्र: H = [ 12 / (N(N+1)) ] * Σ(Rₖ²/nₖ) – 3(N+1)
H = [ 12 / (18(18+1)) ] * [ (52.5²/6) + (48.5²/6) + (70²/6) ] – 3(18+1)
H = [ 12 / 342 ] * [ (2756.25/6) + (2352.25/6) + (4900/6) ] – 3(19)
H = 0.03509 * [ 459.375 + 392.042 + 816.667 ] – 57
H = 0.03509 * [ 1668.084 ] – 57
H = 58.54 – 57 = 1.54
चरण 5: निष्कर्ष
H स्टैटिस्टिक लगभग काई-वर्ग वितरण का अनुसरण करता है, जिसमें स्वतंत्रता की कोटि (df) = k – 1 = 3 – 1 = 2 है।
df = 2 के लिए, 0.05 सार्थकता स्तर पर काई-वर्ग का क्रांतिक मान 5.991 है।
अंतिम निष्कर्ष: हमारा परिकलित H मान (1.54) क्रांतिक मान (5.991) से कम है। इसलिए, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। इसका मतलब है कि तीन समूहों के वितरण के बीच कोई सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर नहीं है।
IGNOU BPCC-108 Previous Year Solved Question Paper in English
Q1. Discuss the need and importance of the significance of difference between the means and describe the fundamental concepts in determining the same.
Ans. Introduction: In psychological research, especially in experimental studies, researchers are often interested in determining whether an independent variable (e.g., a new therapy) has had an effect on a dependent variable (e.g., depression scores). This is typically done by comparing the average scores (means) of two or more groups, for instance, an experimental group and a control group. The significance of the difference between means is a statistical procedure that helps us decide whether an observed difference between groups is real (due to the independent variable) or simply a result of chance or sampling error. Need and Importance:
- Drawing Inferences: It allows us to infer whether an intervention or treatment had a genuine effect. Without it, we wouldn’t know if an observed difference is meaningful.
- Hypothesis Testing: It is a core component of the hypothesis testing process, enabling researchers to make scientifically informed decisions about their theories.
- Generalizability: It helps determine if the results found in a sample can be generalized to the wider population from which the sample was drawn.
- Evidence-Based Practice: In fields like clinical psychology, education, and medicine, it is crucial for determining which treatments and interventions are effective, thus supporting evidence-based practices.
Fundamental Concepts in Determining Significance of Difference:
To test the significance of the difference, commonly done using a
t-test
, the following fundamental concepts are essential:
- The Null Hypothesis (H₀): This hypothesis states that there is no real difference between the means of the populations from which the samples are drawn (μ₁ = μ₂). Any observed difference is due to chance alone.
- The Alternative Hypothesis (H₁): This hypothesis states that there is a real difference between the population means (μ₁ ≠ μ₂). It is the hypothesis the researcher typically hopes to support.
- Standard Error of the Difference between Means (SEᴅ): This is a statistical measure that estimates how much the difference between two sample means is expected to vary by chance. It is essentially the standard deviation of the sampling distribution of the difference between means.
- The t-ratio: This is the ratio of the observed difference between the sample means to the standard error of the difference between the means. The formula is: t = (M₁ – M₂) / SEᴅ . A large t-ratio suggests that the observed difference is much larger than would be expected by chance.
- Degrees of Freedom (df): This determines the shape of the t-distribution used to test the hypothesis. For independent samples, df = n₁ + n₂ – 2.
- Level of Significance (alpha, α): This is the pre-determined probability of making a Type I error (rejecting a true null hypothesis). It is commonly set at 0.05 or 0.01.
- Critical Value: This is the value obtained from a t-distribution table. If the calculated t-value exceeds this critical value, the result is considered statistically significant, and the null hypothesis is rejected.
In essence, the process involves calculating a t-value and comparing it to a critical value to determine if the difference between the groups is too large to be attributed to chance.
Q2. Write short notes on the following in about 50 words each : (a) Errors in hypothesis testing (b) Application of parametric and non-parametric statistics
Ans. (a) Errors in hypothesis testing: In hypothesis testing, two types of potential errors exist. A Type I error (α) occurs when a researcher rejects a true null hypothesis (H₀), concluding an effect exists when it does not (a false positive). A Type II error (β) occurs when a researcher fails to reject a false null hypothesis, concluding there is no effect when a real effect does exist (a false negative). (b) Application of parametric and non-parametric statistics: Parametric statistics (e.g., t-test, ANOVA) are used when data meet certain assumptions: they must be on an interval or ratio scale, be normally distributed, and have homogeneity of variance across groups. These tests are more powerful. Non-parametric statistics (e.g., Chi-square, Mann-Whitney U-test) are used when parametric assumptions are not met, or when data are nominal or ordinal. They are “distribution-free” tests and are less powerful.
Q3. Compute one-way ANOVA for the following data : Group A: 2, 3, 2, 2, 3, 3 Group B: 4, 2, 3, 4, 4, 4 Group C: 3, 2, 3, 3, 4, 4
Ans. The purpose of a one-way ANOVA is to test if there is a statistically significant difference between the means of three or more groups. Step 1: State the Hypotheses
- Null Hypothesis (H₀): There is no difference among the population means of the three groups (μᴀ = μʙ = μᴄ).
- Alternative Hypothesis (H₁): At least one group’s population mean is different from the others.
Step 2: Preliminary Calculations
Group A |
Group B |
Group C |
| 2, 3, 2, 2, 3, 3 | 4, 2, 3, 4, 4, 4 | 3, 2, 3, 3, 4, 4 |
| n₁ = 6 | n₂ = 6 | n₃ = 6 |
| ΣX₁ = 15 | ΣX₂ = 21 | ΣX₃ = 19 |
| M₁ = 15/6 = 2.5 | M₂ = 21/6 = 3.5 | M₃ = 19/6 ≈ 3.17 |
| ΣX₁² = 39 | ΣX₂² = 77 | ΣX₃² = 63 |
Total observations (N) = 6 + 6 + 6 = 18
Grand Sum of all scores (ΣX_total) = 15 + 21 + 19 = 55
Grand Sum of all squared scores (ΣX²_total) = 39 + 77 + 63 = 179
Step 3: Calculate the Correction Term (C)
C = (ΣX_total)² / N = (55)² / 18 = 3025 / 18 =
168.06
Step 4: Calculate Sum of Squares (SS)
- Total Sum of Squares (SS_T): SS_T = ΣX²_total – C = 179 – 168.06 = 10.94
- Sum of Squares Between Groups (SS_B): SS_B = [ (ΣX₁)²/n₁ + (ΣX₂)²/n₂ + (ΣX₃)²/n₃ ] – C SS_B = [ (15²/6) + (21²/6) + (19²/6) ] – 168.06 SS_B = [ 37.5 + 73.5 + 60.17 ] – 168.06 = 171.17 – 168.06 = 3.11
- Sum of Squares Within Groups (SS_W): SS_W = SS_T – SS_B = 10.94 – 3.11 = 7.83
Step 5: Calculate Degrees of Freedom (df)
- df_B (between) = k – 1 = 3 – 1 = 2
- df_W (within) = N – k = 18 – 3 = 15
- df_T (total) = N – 1 = 18 – 1 = 17
Step 6: Calculate Mean Squares (MS)
- MS_B = SS_B / df_B = 3.11 / 2 = 1.555
- MS_W = SS_W / df_W = 7.83 / 15 = 0.522
Step 7: Calculate the F-ratio
F = MS_B / MS_W = 1.555 / 0.522 =
2.98
Step 8: ANOVA Summary Table
| Source of Variation | SS | df | MS | F |
|---|---|---|---|---|
| Between Groups | 3.11 | 2 | 1.555 | 2.98 |
| Within Groups | 7.83 | 15 | 0.522 | |
| Total | 10.94 | 17 |
Step 9: Conclusion
For df = 2 and 15, the critical value of F at the 0.05 significance level is 3.68. Our calculated F-value (2.98) is less than the critical value (3.68).
Final Conclusion:
Since the calculated F-value is less than the critical value, we fail to reject the null hypothesis. This means there is no statistically significant difference between the means of the three groups.
Q4. Describe various types of factorial designs. Explain the three types of interactive effects with examples.
Ans. Factorial Designs: A factorial design is a type of experimental design that includes two or more independent variables (also called factors), with each factor having various levels. These designs allow researchers to study not only the individual effect of each independent variable on the dependent variable (main effects) but also the interaction effects between these variables. Factorial designs are denoted by the number of factors and the number of levels of each factor (e.g., a 2×2 design, a 2×3 design). Types of Factorial Designs:
- Between-Subjects Design: In this design, each participant is assigned to only one experimental condition (or cell). For example, in a 2×2 design, there would be four conditions, and a different group of participants for each one.
- Within-Subjects Design: Also called a repeated-measures design, the same participants take part in all experimental conditions. This reduces individual differences but can suffer from order effects.
- Mixed Design: This design combines at least one between-subjects independent variable and at least one within-subjects independent variable. For example, measuring the effect of a treatment group vs. a control group (between-subjects) over time (within-subjects).
Interactive Effects:
An interaction effect occurs when the effect of one independent variable changes depending on the level of another independent variable. There are three main types of interaction effects:
1. Ordinal Interaction:
In this type of interaction, the effect of one independent variable is in the same direction at all levels of the second independent variable, but the magnitude of the effect differs. On a graph, the lines do not cross but are not parallel.
Example:
A study examines the effect of caffeine and sleep deprivation on memory. The results show that caffeine improves memory for people who are well-rested and for those who are sleep-deprived. However, the improvement is much larger for the sleep-deprived participants. The effect is positive for both groups, but differs in magnitude.
2. Disordinal or Crossover Interaction:
Here, the effect of one independent variable changes direction at different levels of the second independent variable. On a graph, the lines intersect or cross each other.
Example:
The effectiveness of two teaching methods (Method A and Method B) is compared for high-aptitude and low-aptitude students. The results might show that Method A is more effective for high-aptitude students, but Method B is more effective for low-aptitude students. The effect of one variable reverses based on the level of the other variable.
3. No Interaction:
When there is no interaction, the effect of one independent variable is the same across all levels of the other independent variable. On a graph, the lines are parallel. This indicates that the effects of the two independent variables are independent of each other.
Example:
A study looks at the effect of two different fertilizers on two different plant species. If each fertilizer increases the height of both plant species by the same amount (e.g., 5 cm), there is no interaction. The effect of the fertilizer does not depend on the plant species.
Q5. Describe the assumptions for the application of Chi-square test. Compute Chi-square for the following data : Gender: Males 10, 8; Females 4, 2
Ans. Assumptions for the Application of Chi-square Test: The Chi-square (χ²) test is a non-parametric statistical test used to determine if there is a significant association between two categorical variables. For its proper application, the following assumptions must be met:
- Frequency Data: The data must be in the form of frequencies or counts, not percentages or proportions.
- Independent Observations: Each observation in the sample must be independent of the others. This means the selection or response of one participant does not influence another.
- Mutually Exclusive Categories: Each observation must fit into one and only one category. There should be no overlap between categories.
- Expected Frequency: The expected frequencies should not be too small. A common rule of thumb is that in a 2×2 table, no cell should have an expected frequency of less than 5. For larger tables, no more than 20% of cells should have an expected frequency of less than 5, and no cell should have an expected frequency of zero.
Chi-square Computation:
We will assume the data represents responses from males and females across two response categories (e.g., ‘Yes’/’No’).
Step 1: Create a table of Observed Frequencies (O) and calculate totals
| Gender | Response 1 | Response 2 | Row Total |
|---|---|---|---|
| Males | 10 | 8 | 18 |
| Females | 4 | 2 | 6 |
Column Total |
14 |
10 |
24 (Grand Total N) |
Step 2: Calculate Expected Frequencies (E)
Formula: E = (Row Total × Column Total) / Grand Total
- E (Male, Response 1) = (18 × 14) / 24 = 10.5
- E (Male, Response 2) = (18 × 10) / 24 = 7.5
- E (Female, Response 1) = (6 × 14) / 24 = 3.5
- E (Female, Response 2) = (6 × 10) / 24 = 2.5
Note: Two expected frequencies (3.5 and 2.5) are less than 5, which violates an assumption. In a rigorous analysis, Fisher’s Exact Test would be better. However, we will proceed with the calculation.
Step 3: Calculate the Chi-square (χ²) value
Formula: χ² = Σ [ (O – E)² / E ]
- Cell 1 (Male, Resp 1): (10 – 10.5)² / 10.5 = (-0.5)² / 10.5 = 0.25 / 10.5 = 0.024
- Cell 2 (Male, Resp 2): (8 – 7.5)² / 7.5 = (0.5)² / 7.5 = 0.25 / 7.5 = 0.033
- Cell 3 (Female, Resp 1): (4 – 3.5)² / 3.5 = (0.5)² / 3.5 = 0.25 / 3.5 = 0.071
- Cell 4 (Female, Resp 2): (2 – 2.5)² / 2.5 = (-0.5)² / 2.5 = 0.25 / 2.5 = 0.100
χ² = 0.024 + 0.033 + 0.071 + 0.100 =
0.228
Step 4: Degrees of Freedom (df) and Conclusion
df = (Number of Rows – 1) × (Number of Columns – 1) = (2 – 1) × (2 – 1) =
1
The critical value of Chi-square for df=1 at the 0.05 significance level is 3.841.
Conclusion:
Since the calculated χ² value (0.228) is much smaller than the critical value (3.841), we fail to reject the null hypothesis. This means there is no statistically significant association between gender and response.
Q6. Compute Mann-Whitney U-test for the following data : Group A: 3, 2, 6, 7, 0, 8, 8, 5 Group B: 9, 4, 5, 25, 4, 20, 6, 11
Ans. The Mann-Whitney U-test is a non-parametric test used to determine whether two independent samples have been drawn from populations with the same distribution. Step 1: Hypotheses
- Null Hypothesis (H₀): There is no difference in the distributions of the two groups.
- Alternative Hypothesis (H₁): The distributions of the two groups are different.
Step 2: Combine and Rank all scores
Combine all 16 scores from both groups (n₁=8, n₂=8), order them from smallest to largest, and assign ranks. Tied scores receive the average of the ranks they would have occupied.
| Score | Group | Rank |
|---|---|---|
| 0 | A | 1 |
| 2 | A | 2 |
| 3 | A | 3 |
| 4 | B | 4.5 (avg of 4 & 5) |
| 4 | B | |
| 5 | A | 6.5 (avg of 6 & 7) |
| 5 | B | |
| 6 | A | 8.5 (avg of 8 & 9) |
| 6 | B | |
| 7 | A | 10 |
| 8 | A | 11.5 (avg of 11 & 12) |
| 8 | A | |
| 9 | B | 13 |
| 11 | B | 14 |
| 20 | B | 15 |
| 25 | B | 16 |
Step 3: Sum the Ranks (R) for each group
- Sum of Ranks for Group A (R₁): R₁ = 1 + 2 + 3 + 6.5 + 8.5 + 10 + 11.5 + 11.5 = 54
- Sum of Ranks for Group B (R₂): R₂ = 4.5 + 4.5 + 6.5 + 8.5 + 13 + 14 + 15 + 16 = 82
Check: R₁ + R₂ = 54 + 82 = 136. Also, N(N+1)/2 = 16(17)/2 = 136. The calculation is correct.
Step 4: Calculate the U-values
Two values for U are calculated, U₁ and U₂, and the smaller value is used for the test.
- U₁ = n₁n₂ + [n₁(n₁+1)/2] – R₁ U₁ = (8)(8) + [8(8+1)/2] – 54 U₁ = 64 + [72/2] – 54 = 64 + 36 – 54 = 46
- U₂ = n₁n₂ + [n₂(n₂+1)/2] – R₂ U₂ = (8)(8) + [8(8+1)/2] – 82 U₂ = 64 + 36 – 82 = 18
The U-value used for the test is the smaller of the two, so
U = 18
.
Step 5: Conclusion
For n₁=8 and n₂=8, the critical value for the Mann-Whitney U-test at α = 0.05 (two-tailed) is 13.
For significance, the calculated U value must be
less than or equal to
the critical value.
Our calculated U (18) is
greater
than the critical value (13).
Final Conclusion:
We fail to reject the null hypothesis. This means there is no statistically significant difference between the distributions of Group A and Group B.
Q7. Write short notes on the following in about 50 words each : (a) Median test and its computation (b) Comparison of parametric ANOVA and Kruskal-Wallis ANOVA test
Ans. (a) Median test and its computation: The Median Test is a non-parametric method used to test whether two or more independent groups are drawn from populations with the same median. Its computation involves finding a common median for data from all groups combined. A 2xK chi-square table is then constructed, classifying scores from each group as being above or below the common median, and a chi-square test is performed for significance. (b) Comparison of parametric ANOVA and Kruskal-Wallis ANOVA test: Both tests assess for differences among three or more independent groups. Parametric ANOVA compares group means and requires interval/ratio data, normality, and homogeneity of variances. It is more powerful. The Kruskal-Wallis test , the “one-way ANOVA on ranks,” is a non-parametric alternative. It compares group medians or rank sums and is used when ANOVA’s assumptions are violated or data are ordinal. It is less powerful.
Q8. Describe the assumptions of Kruskal-Wallis test. Compute Kruskal-Wallis test for the following data : Group A: 3, 9, 6, 3, 2, 7 Group B: 2, 7, 4, 6, 0, 8 Group C: 5, 4, 9, 22, 2, 20
Ans. Assumptions of Kruskal-Wallis Test: The Kruskal-Wallis test is a non-parametric equivalent of the one-way ANOVA, used to determine if there are statistically significant differences between three or more independent groups. Its main assumptions are:
- Level of Measurement: The dependent variable should be measured on at least an ordinal scale.
- Independence: The observations must be independent, meaning that observations within and between groups are not related to each other.
- Shape of Distribution: The population distributions for each group should have a similar shape. The test does not require normality, but it assumes the distributions are similarly shaped.
Kruskal-Wallis Test Computation:
(Note: The data provided contains some unusually large values (22, 20), but we will use the values as given for the calculation.)
Step 1: Hypotheses
- H₀: The population medians of the three groups are equal.
- H₁: At least one group’s population median is different.
Step 2: Combine and Rank all scores
Combine and rank all scores from the groups (n₁=6, n₂=6, n₃=6; N=18).
| Score | Group | Rank |
|---|---|---|
| 0 | B | 1 |
| 2 | A | 3 (avg of 2,3,4) |
| 2 | B | |
| 2 | C | |
| 3 | A | 5.5 (avg of 5,6) |
| 3 | A | |
| 4 | B | 7.5 (avg of 7,8) |
| 4 | C | |
| 5 | C | 9 |
| 6 | A | 10.5 (avg of 10,11) |
| 6 | B | |
| 7 | A | 12.5 (avg of 12,13) |
| 7 | B | |
| 8 | B | 14 |
| 9 | A | 15.5 (avg of 15,16) |
| 9 | C | |
| 20 | C | 17 |
| 22 | C | 18 |
Step 3: Sum the Ranks (R) for each group
- R_A = 3 + 5.5 + 5.5 + 10.5 + 12.5 + 15.5 = 52.5
- R_B = 1 + 3 + 7.5 + 10.5 + 12.5 + 14 = 48.5
- R_C = 3 + 7.5 + 9 + 15.5 + 17 + 18 = 70
Check: 52.5 + 48.5 + 70 = 171. N(N+1)/2 = 18(19)/2 = 171. Correct.
Step 4: Calculate the H Statistic
Formula: H = [ 12 / (N(N+1)) ] * Σ(Rₖ²/nₖ) – 3(N+1)
H = [ 12 / (18(18+1)) ] * [ (52.5²/6) + (48.5²/6) + (70²/6) ] – 3(18+1)
H = [ 12 / 342 ] * [ (2756.25/6) + (2352.25/6) + (4900/6) ] – 3(19)
H = 0.03509 * [ 459.375 + 392.042 + 816.667 ] – 57
H = 0.03509 * [ 1668.084 ] – 57
H = 58.54 – 57 =
1.54
Step 5: Conclusion
The H statistic follows approximately a Chi-square distribution with degrees of freedom (df) = k – 1 = 3 – 1 = 2.
The critical value of Chi-square for df = 2 at the 0.05 significance level is 5.991.
Final Conclusion:
Our calculated H value (1.54) is less than the critical value (5.991). Therefore, we fail to reject the null hypothesis. This means there is no statistically significant difference among the distributions of the three groups.
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