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IGNOU BPHCT-137 Solved Question Paper PDF
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IGNOU BPHCT-137 Previous Year Solved Question Paper in Hindi
Q1. किन्हीं पाँच भागों के उत्तर दीजिए : (क) संख्यात्मक द्वारक को परिभाषित कीजिए। (ख) लेसर के लिए चार स्तर पंपिंग व्यवस्था का ऊर्जा स्तर आरेख खींचिए। (ग) 5000 लाइन प्रति इंच की ग्रेटिंग विवर्तन प्रतिरूप जनित करती है। यदि प्रकाश का तरंगदैर्घ्य 500 nm हो, तो विवर्तन प्रतिरूप में प्राप्त मुख्य उच्चिष्ठ की कोटि ज्ञात कीजिए। (घ) तार द्वारा जनित फ्रेनल विवर्तन प्रतिरूप में तीव्रता वितरण दर्शाइए। (ङ) भौतिकी प्रयोगशाला के बाहर प्रकाश का विवर्तन देखने के लिए कोई दो प्रयोग लिखिए । (च) द्विक-प्रिज्म और लॉयड दर्पण में कोई दो अंतर बताइए। (छ) तरंगाग्र की कोई दो विशेषताएँ लिखिए । (ज) गैसीय माध्यम में ध्वनि तरंगों के लिए 1-D तरंग समीकरण लिखिए और इसके प्रत्येक पद को समझाइए।
Ans.
(क) संख्यात्मक द्वारक (Numerical Aperture – NA)
एक ऑप्टिकल फाइबर का संख्यात्मक द्वारक उसकी प्रकाश-संग्रहण क्षमता का एक माप है। यह उस अधिकतम कोण को परिभाषित करता है जिस पर प्रकाश फाइबर में प्रवेश कर सकता है और पूर्ण आंतरिक परावर्तन द्वारा संचरित हो सकता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
NA = n₀ sin(θₐ)
जहाँ:
- n₀ उस माध्यम का अपवर्तनांक है जिसमें फाइबर रखा गया है (आमतौर पर वायु के लिए n₀ ≈ 1)।
- θₐ स्वीकृति कोण (acceptance angle) है, जो फाइबर अक्ष के सापेक्ष वह अधिकतम कोण है जिस पर प्रकाश फाइबर में प्रवेश कर सकता है।
संख्यात्मक द्वारक कोर (n₁) और क्लैडिंग (n₂) के अपवर्तनांकों से भी संबंधित है: NA = √(n₁² – n₂²)। उच्च NA का अर्थ है कि फाइबर अधिक प्रकाश ग्रहण कर सकता है। (ख) चार-स्तरीय लेजर पंपिंग योजना
चार-स्तरीय लेजर प्रणाली तीन-स्तरीय प्रणाली की तुलना में अधिक कुशल होती है क्योंकि इसमें जनसंख्या व्युत्क्रमण (population inversion) प्राप्त करना आसान होता है। ऊर्जा स्तर आरेख नीचे दर्शाया गया है:
- E₁ (मूल अवस्था): परमाणु प्रारंभ में इस अवस्था में होते हैं।
- E₁ → E₄ (पंपिंग): एक बाहरी ऊर्जा स्रोत (पंप) परमाणुओं को मूल अवस्था E₁ से एक उच्च ऊर्जा अवस्था E₄ में उत्तेजित करता है।
- E₄ → E₃ (तीव्र गैर-विकिरणी क्षय): परमाणु बहुत तेजी से (लगभग 10⁻⁸ s में) एक मध्यवर्ती मितस्थायी अवस्था (metastable state) E₃ में क्षय हो जाते हैं। यह एक गैर-विकिरणी संक्रमण है।
- E₃ → E₂ (उद्दीप्त उत्सर्जन): E₃ एक मितस्थायी अवस्था है (जीवनकाल ~10⁻³ s), जिससे परमाणु यहाँ जमा हो जाते हैं और E₂ के सापेक्ष जनसंख्या व्युत्क्रमण प्राप्त होता है। जब एक उपयुक्त ऊर्जा का फोटॉन टकराता है, तो यह E₃ से E₂ में उद्दीप्त उत्सर्जन (stimulated emission) को प्रेरित करता है, जिससे लेजर प्रकाश उत्पन्न होता है।
- E₂ → E₁ (तीव्र क्षय): परमाणु अवस्था E₂ से मूल अवस्था E₁ में तेजी से क्षय करते हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि E₂ की जनसंख्या कम बनी रहे और जनसंख्या व्युत्क्रमण आसानी से बना रहे।
(ग) मुख्य उच्चिष्ठ की कोटि की गणना
विवर्तन ग्रेटिंग के लिए मुख्य उच्चिष्ठ की शर्त है:
d sin(θ) = nλ
जहाँ,
- d = ग्रेटिंग तत्व (दो क्रमागत रेखाओं के बीच की दूरी)
- n = उच्चिष्ठ की कोटि
- λ = प्रकाश का तरंगदैर्ध्य
- θ = विवर्तन कोण
गणना:
ग्रेटिंग में 5000 लाइन प्रति इंच हैं।
1 इंच = 2.54 सेमी = 0.0254 मीटर
ग्रेटिंग तत्व, d = 0.0254 मी / 5000 = 5.08 × 10⁻⁶ मीटर
दिया गया तरंगदैर्ध्य, λ = 500 nm = 500 × 10⁻⁹ मीटर
उच्चिष्ठ की अधिकतम कोटि (n_max) तब प्राप्त होती है जब sin(θ) का मान अधिकतम होता है, अर्थात् sin(θ) = 1 (जब θ = 90°)।
d sin(θ_max) = n_max λ
d (1) = n_max λ
n_max = d / λ
n_max = (5.08 × 10⁻⁶ मी) / (500 × 10⁻⁹ मी)
n_max = (5.08 / 0.5) × 10⁻⁶⁺⁸ = 10.16
चूंकि कोटि ‘n’ एक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए प्राप्त होने वाले मुख्य उच्चिष्ठ की अधिकतम कोटि 10 है। (घ) तार द्वारा फ्रेनल विवर्तन प्रतिरूप
जब एक पतले तार को एकवर्णी प्रकाश स्रोत और एक परदे के बीच रखा जाता है, तो तार की ज्यामितीय छाया के भीतर और बाहर विवर्तन फ्रिंजें बनती हैं। तीव्रता वितरण का आरेख नीचे दिया गया है:
विशेषताएँ:
- छाया के भीतर फ्रिंजें: तार के दोनों किनारों से विवर्तित होने वाली प्रकाश तरंगों के व्यतिकरण के कारण ज्यामितीय छाया के भीतर समान दूरी पर स्थित व्यतिकरण फ्रिंजें बनती हैं। छाया के ठीक केंद्र में एक दीप्त फ्रिंज होती है क्योंकि दोनों किनारों से आने वाली तरंगों के बीच पथांतर शून्य होता है, जिससे संपोषी व्यतिकरण होता है।
- छाया के बाहर फ्रिंजें: ज्यामितीय छाया के बाहर, असमान चौड़ाई और तेजी से घटती तीव्रता वाली विवर्तन फ्रिंजें दिखाई देती हैं।
(ङ) प्रयोगशाला के बाहर विवर्तन के दो प्रयोग
भौतिकी प्रयोगशाला के बाहर प्रकाश के विवर्तन का अवलोकन करने वाले दो सामान्य उदाहरण हैं:
- एक महीन कपड़े से स्ट्रीटलाइट को देखना: जब रात में एक दूर स्थित स्ट्रीटलाइट को एक महीन कपड़े, जैसे रूमाल या छाते के कपड़े, के माध्यम से देखा जाता है, तो प्रकाश का एक क्रॉस-आकार का रंगीन पैटर्न दिखाई देता है। कपड़े के लंबवत धागे एक द्वि-आयामी विवर्तन ग्रेटिंग के रूप में कार्य करते हैं, जो प्रकाश को विवर्तित करके एक पैटर्न बनाते हैं।
- सीडी या डीवीडी की सतह पर रंग: एक कॉम्पैक्ट डिस्क (सीडी) या डीवीडी की सतह पर दिखाई देने वाले सतरंगी रंग विवर्तन के कारण होते हैं। सीडी की सतह पर बहुत बारीक, सर्पिल पथ (ट्रैक) होते हैं जो एक परावर्तक विवर्तन ग्रेटिंग के रूप में कार्य करते हैं। जब सफेद प्रकाश इन ट्रैकों से टकराता है, तो यह अलग-अलग रंगों में विवर्तित हो जाता है, जिससे इंद्रधनुषी प्रभाव उत्पन्न होता है।
(च) द्विक-प्रिज्म और लॉयड दर्पण में अंतर
गुणधर्म
द्विक-प्रिज्म
लॉयड का दर्पण
कला-संबद्ध स्रोतों का निर्माण
एकल स्रोत से प्रकाश के अपवर्तन (refraction) द्वारा दो आभासी कला-संबद्ध स्रोत बनते हैं।
एक वास्तविक स्रोत और दर्पण द्वारा परावर्तन (reflection) से बने उसके आभासी प्रतिबिम्ब का उपयोग किया जाता है।
केंद्रीय फ्रिंज
केंद्रीय फ्रिंज (शून्य पथांतर पर) हमेशा दीप्त (bright) होती है।
केंद्रीय फ्रिंज (जहाँ दर्पण स्क्रीन से मिलता है) हमेशा अदीप्त (dark) होती है, क्योंकि सघन माध्यम से परावर्तन पर π (180°) का अतिरिक्त कलान्तर उत्पन्न होता है।
(छ) तरंगाग्र की दो विशेषताएँ
- समान कला का तल: एक तरंगाग्र उन सभी बिंदुओं का बिंदुपथ (locus) होता है जो समान कला (phase) में दोलन कर रहे होते हैं। तरंगाग्र पर स्थित प्रत्येक कण का कंपन एक साथ अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुँचता है।
- तरंग संचरण की दिशा: प्रकाश की किरणें, जो तरंग ऊर्जा के संचरण की दिशा को दर्शाती हैं, हमेशा तरंगाग्र की सतह के लंबवत (perpendicular) होती हैं। एक समतल तरंगाग्र के लिए किरणें समानांतर होती हैं, जबकि एक गोलीय तरंगाग्र के लिए किरणें त्रिज्यीय (radially) बाहर की ओर होती हैं।
(ज) ध्वनि तरंगों के लिए 1-D तरंग समीकरण
एक गैसीय माध्यम में ध्वनि तरंगों (जो अनुदैर्ध्य तरंगें हैं) के संचरण का वर्णन करने वाला एक-आयामी (1-D) अवकल समीकरण है:
∂²y / ∂t² = v² (∂²y / ∂x²)
इस समीकरण में प्रत्येक पद का अर्थ इस प्रकार है:
- y(x, t): यह माध्यम के कणों का उनकी साम्यावस्था से विस्थापन है। यह स्थिति x और समय t का एक फलन है।
- ∂²y / ∂t²: यह समय के सापेक्ष विस्थापन का दूसरा अवकलज है, जो माध्यम के कणों के त्वरण को दर्शाता है।
- ∂²y / ∂x²: यह स्थिति के सापेक्ष विस्थापन का दूसरा अवकलज है, जो तरंग के आकार की वक्रता (curvature) को दर्शाता है।
- v: यह माध्यम में ध्वनि तरंग की चाल है। एक गैसीय माध्यम के लिए, यह माध्यम के प्रत्यास्थता गुणांक और घनत्व पर निर्भर करती है। रुद्धोष्म प्रक्रम के लिए, v = √(γP/ρ), जहाँ ‘γ’ रुद्धोष्म सूचकांक, ‘P’ दाब और ‘ρ’ माध्यम का घनत्व है।
यह समीकरण दर्शाता है कि एक बिंदु पर कण का त्वरण उस बिंदु पर तरंग की वक्रता के समानुपाती होता है।
Q2. किन्हीं दो भागों के उत्तर लिखिए : (क) दो तरंगों, एक-दूसरे की ओर दोनों सिरों पर कसे तार से संचरित के व्यंजक निम्नवत् हैं : y₁ (x, t) = (0.2 m) sin (2x — 4t) और y₂ (x, t) = (0.2 m) sin (2x + 4t) (i) अप्रगामी तरंग का समीकरण प्राप्त कीजिए । (ii) यदि तार केवल एक ही लूप में दोलन करे तथा इसका एक किनारा x = 0 पर स्थाई हो, तो दोनों स्थिर सिरों के बीच की दूरी परिकलित कीजिए । (ख) मेलस के नियम का कथन लिखिए। अध्रुवित प्रकाश एक-दूसरे के ऊपर रखी दो ध्रुवण चादरों पर आपतित होता है। यदि अंततः पारगत प्रकाश की तीव्रता आपतित प्रकाश की तीव्रता की एक-चौथाई रह जाती है, तो ध्रुवण चादरों के पारगमन अक्षों के बीच कोण परिकलित कीजिए। (ग) किसी भवन की ध्वनिकी को प्रभावित करने वाले किन्हीं पाँच कारकों को समझाइए |
Ans.
(क) अप्रगामी तरंग
(i) अप्रगामी तरंग का समीकरण
अप्रगामी तरंग दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली समान आयाम और आवृत्ति की तरंगों के अध्यारोपण से बनती है। परिणामी विस्थापन Y(x, t) दोनों तरंगों के विस्थापनों का सदिश योग है:
Y(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t)
Y(x, t) = 0.2 sin(2x – 4t) + 0.2 sin(2x + 4t)
Y(x, t) = 0.2 [sin(2x – 4t) + sin(2x + 4t)]
त्रिकोणमितीय सूत्र sin(A – B) + sin(A + B) = 2 sin(A)cos(B) का उपयोग करने पर, जहाँ A = 2x और B = 4t है:
Y(x, t) = 0.2 [2 sin(2x) cos(4t)]
Y(x, t) = 0.4 sin(2x) cos(4t)
यह अप्रगामी तरंग का समीकरण है। यहाँ, आयाम पद [0.4 sin(2x)] केवल स्थिति ‘x’ पर निर्भर करता है, और दोलन पद [cos(4t)] समय ‘t’ पर निर्भर करता है।
(ii) दोनों स्थिर सिरों के बीच की दूरी
अप्रगामी तरंग का मानक समीकरण है: Y(x, t) = A_sw sin(kx) cos(ωt)।
हमारे प्राप्त समीकरण Y(x, t) = 0.4 sin(2x) cos(4t) से तुलना करने पर:
तरंग संख्या (wave number), k = 2 rad/m
हम जानते हैं कि k = 2π/λ, जहाँ λ तरंगदैर्ध्य है।
λ = 2π / k = 2π / 2 = π मीटर
प्रश्न में दिया गया है कि तार केवल एक ही लूप में दोलन करता है, जो कि कंपन की मूल विधा (fundamental mode) है। इस स्थिति में, तार की लंबाई (L) तरंगदैर्ध्य की आधी होती है।
L = λ / 2
L = π / 2 मीटर
L ≈ 1.57 मीटर
अतः, दोनों स्थिर सिरों के बीच की दूरी π/2 मीटर या लगभग 1.57 मीटर है। (ख) मेलस का नियम और कोण की गणना
मेलस का नियम (Malus’ Law):
इस नियम के अनुसार, जब पूर्णतः समतल-ध्रुवित प्रकाश एक विश्लेषक (analyzer) पर आपतित होता है, तो विश्लेषक से पारगत प्रकाश की तीव्रता (I) विश्लेषक के पारगमन अक्ष और आपतित ध्रुवित प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच के कोण (θ) के कोज्या (cosine) के वर्ग के समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से: I = I₀ cos²θ
जहाँ I₀ विश्लेषक से पारगत प्रकाश की अधिकतम तीव्रता है (जब θ = 0°)। कोण की गणना:
मान लीजिए आपतित अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता I_inc है।
1. जब यह प्रकाश पहली ध्रुवण चादर (ध्रुवक) से गुजरता है, तो इसकी तीव्रता आधी हो जाती है।
I₁ = I_inc / 2
2. अब यह ध्रुवित प्रकाश (तीव्रता I₁ के साथ) दूसरी ध्रुवण चादर (विश्लेषक) पर आपतित होता है। मान लीजिए दोनों चादरों के पारगमन अक्षों के बीच का कोण θ है।
3. मेलस के नियम के अनुसार, अंतिम पारगत प्रकाश की तीव्रता I₂ होगी:
I₂ = I₁ cos²θ = (I_inc / 2) cos²θ
4. प्रश्न के अनुसार, अंतिम तीव्रता आपतित प्रकाश की तीव्रता की एक-चौथाई है:
I₂ = I_inc / 4
5. दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
I_inc / 4 = (I_inc / 2) cos²θ
1 / 4 = (1 / 2) cos²θ
cos²θ = (1/4) * 2 = 1/2
cosθ = 1 / √2
θ = 45°
अतः, ध्रुवण चादरों के पारगमन अक्षों के बीच का कोण 45° है। (ग) भवन की ध्वनिकी को प्रभावित करने वाले कारक
किसी भवन, विशेष रूप से सभागार या कॉन्सर्ट हॉल की ध्वनिकी (acoustics) को कई कारक प्रभावित करते हैं। इनमें से पाँच प्रमुख कारक निम्नलिखित हैं:
- अनुरणन काल (Reverberation Time): यह वह समय है जिसमें ध्वनि स्रोत के बंद होने के बाद ध्वनि की तीव्रता 60 डेसिबल तक कम हो जाती है। यदि यह बहुत लंबा है, तो ध्वनियाँ एक-दूसरे पर अतिव्यापित होकर अस्पष्टता पैदा करती हैं। यदि यह बहुत छोटा है, तो ध्वनि “शुष्क” या “मृत” लगती है। इसे दीवारों, छतों और फर्श पर उचित ध्वनि-अवशोषक सामग्री (जैसे पर्दे, कालीन, छिद्रित टाइलें) का उपयोग करके नियंत्रित किया जाता है।
- प्रबलता (Loudness): ध्वनि की प्रबलता पूरे हॉल में समान रूप से पर्याप्त होनी चाहिए। यह हॉल के आकार और सतहों की परावर्तकता पर निर्भर करती है। वक्ता के पीछे परवलयिक परावर्तक सतहों का उपयोग करके ध्वनि को श्रोताओं की ओर प्रभावी ढंग से भेजा जा सकता है।
- प्रतिध्वनि (Echoes): जब ध्वनि किसी दूर की सतह से परावर्तित होकर मूल ध्वनि के बाद एक अलग ध्वनि के रूप में सुनाई देती है, तो उसे प्रतिध्वनि कहते हैं। यदि सीधी ध्वनि और परावर्तित ध्वनि के बीच का समय अंतराल 1/17 सेकंड से अधिक हो तो यह कष्टप्रद होता है। दीवारों पर अवशोषक सामग्री लगाकर प्रतिध्वनि को कम किया जा सकता है।
- ध्वनि का फोकसन (Focusing of Sound): अवतल सतहें (जैसे गुंबददार छतें) ध्वनि को एक स्थान पर केंद्रित कर सकती हैं, जिससे वहाँ ध्वनि की तीव्रता बहुत अधिक हो जाती है (ध्वनि का हॉटस्पॉट), जबकि अन्य क्षेत्र ध्वनि-रहित हो सकते हैं। इसलिए ऐसी सतहों से बचना चाहिए या उन्हें अवशोषक सामग्री से ढक देना चाहिए।
- बाहरी शोर (External Noise): यातायात,เครื่องปรับอากาศ, या आस-पास की अन्य गतिविधियों से उत्पन्न बाहरी शोर हॉल के अंदर की वांछित ध्वनि में हस्तक्षेप कर सकता है। इसे रोकने के लिए दीवारों, दरवाजों और खिड़कियों का उचित ध्वनि-रोधन (sound insulation) आवश्यक है।
Q3. किन्हीं दो भागों के उत्तर दीजिए : (क) सोडियम प्रकाश का उपयोग कर वायु की पतली शंकुलिपि द्वारा व्यतिकरण फ्रिंजें जनित की जाती हैं । जब उन्हें लम्बवत् देखा जाता है, तो 1 cm दूरी में 10 फ्रिंजें दिखाई देती हैं। शंकुलिपि का कोण परिकलित कीजिए। λ = 5893 × 10⁻¹⁰ m लीजिए। (ख) समतल पृष्ठ और वक्र पृष्ठ के बीच अपवर्तनांक μ वाला एक द्रव्य रखकर λ = 6000 Å वाले परावर्तित प्रकाश के कारण न्यूटन वलय प्राप्त किए गए हैं। यदि चौथे दीप्त वलय का व्यास 0.2 cm हो और वक्र पृष्ठ की त्रिज्या 50 cm हो, तो द्रव्य का अपवर्तनांक μ परिकलित कीजिए । (ग) जब एक प्रकाश स्रोत द्वारा दो निकटवर्ती मानों वाले तरंगदैर्ध्य λ₁ तथा λ₂ उत्सर्जित होते हैं, तो इन तरंगदैध्यों के मानों में अन्तर माइकेल्सन व्यतिकरणमापी द्वारा किस प्रकार निर्धारित किया जाता है, वर्णन कीजिए । मान लें कि λ₁ तथा λ₂ एक-दूसरे के काफी निकट हैं। λ₁ > λ₂ के लिए तरंगदैर्ध्य के मान में अन्तर का व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए ।
Ans.
(क) वायु की शंकुलिपि (Air Wedge) का कोण
वायु की एक पतली शंकुलिपि (फान) द्वारा निर्मित व्यतिकरण फ्रिंजों के लिए, दो क्रमागत दीप्त या अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी, जिसे फ्रिंज-चौड़ाई (β) कहते हैं, निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:
β = λ / (2θ)
जहाँ,
- λ = प्रयुक्त प्रकाश का तरंगदैर्ध्य
- θ = शंकुलिपि का कोण (रेडियन में)
दिए गए मान:
- 1 सेमी दूरी में फ्रिंजों की संख्या = 10
- तरंगदैर्ध्य, λ = 5893 × 10⁻¹⁰ मीटर
गणना:
सबसे पहले, हम फ्रिंज-चौड़ाई (β) की गणना करेंगे:
β = कुल दूरी / फ्रिंजों की संख्या
β = 1 सेमी / 10 = 0.1 सेमी = 0.1 × 10⁻² मीटर
अब, हम शंकुलिपि के कोण (θ) की गणना के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
θ = λ / (2β)
मान रखने पर:
θ = (5893 × 10⁻¹⁰ मी) / (2 × 0.1 × 10⁻² मी)
θ = (5893 × 10⁻¹⁰) / (0.2 × 10⁻²)
θ = 29465 × 10⁻⁸ रेडियन
θ = 2.9465 × 10⁻⁴ रेडियन
यदि डिग्री में परिवर्तित करना हो:
θ (डिग्री में) = θ (रेडियन में) × (180/π) ≈ 2.9465 × 10⁻⁴ × 57.3 ≈ 0.0169°
अतः, शंकुलिपि का कोण 2.9465 × 10⁻⁴ रेडियन है। (ख) न्यूटन वलय द्वारा अपवर्तनांक की गणना
न्यूटन वलय प्रयोग में, परावर्तित प्रकाश में n-वें दीप्त वलय के लिए शर्त है:
2μt = (2n – 1)λ / 2
जहाँ ‘t’ वलय की स्थिति पर फिल्म की मोटाई है, μ द्रव्य का अपवर्तनांक है, और λ प्रकाश का तरंगदैर्ध्य है।
n-वें वलय की त्रिज्या (rₙ) और लेंस की वक्रता त्रिज्या (R) के बीच संबंध है: t = rₙ² / (2R)।
इस मान को शर्त में रखने पर:
2μ (rₙ² / (2R)) = (2n – 1)λ / 2
μ rₙ² / R = (2n – 1)λ / 2
चूंकि व्यास Dₙ = 2rₙ, तो rₙ² = Dₙ² / 4।
μ (Dₙ² / (4R)) = (2n – 1)λ / 2
अपवर्तनांक μ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
μ = [2Rλ(2n – 1)] / Dₙ²
दिए गए मान:
- चौथे दीप्त वलय के लिए, n = 4
- व्यास, D₄ = 0.2 सेमी = 0.2 × 10⁻² मीटर
- वक्रता त्रिज्या, R = 50 सेमी = 0.5 मीटर
- तरंगदैर्ध्य, λ = 6000 Å = 6000 × 10⁻¹⁰ मीटर = 6 × 10⁻⁷ मीटर
गणना:
μ = [2 × 0.5 × (6 × 10⁻⁷) × (2×4 – 1)] / (0.2 × 10⁻²)²
μ = [1 × (6 × 10⁻⁷) × 7] / (0.04 × 10⁻⁴)
μ = (42 × 10⁻⁷) / (4 × 10⁻⁶)
μ = 10.5 × 10⁻¹ = 1.05
अतः, द्रव्य का अपवर्तनांक μ = 1.05 है। (ग) माइकेल्सन व्यतिकरणमापी द्वारा तरंगदैर्ध्य में अंतर का निर्धारण
सिद्धांत और प्रक्रिया:
जब एक प्रकाश स्रोत दो बहुत निकट तरंगदैर्ध्य, λ₁ और λ₂, उत्सर्जित करता है (जैसे सोडियम D-लाइन्स), तो माइकेल्सन व्यतिकरणमापी का उपयोग उनके बीच के अंतर (Δλ = λ₁ – λ₂) को मापने के लिए किया जा सकता है।
- व्यतिकरणमापी को वृत्ताकार फ्रिंज देखने के लिए समायोजित किया जाता है। चूंकि दो तरंगदैर्ध्य हैं, इसलिए फ्रिंजों के दो सेट बनते हैं जो एक दूसरे पर अध्यारोपित होते हैं।
- चल दर्पण (M₁) को धीरे-धीरे एक दिशा में ले जाया जाता है। एक स्थिति में, दोनों तरंगदैर्ध्यों के दीप्त फ्रिंज एक दूसरे के साथ संपाती होते हैं, जिससे फ्रिंजों की स्पष्टता अधिकतम (maximum concordance) होती है। इस स्थिति में माइक्रोमीटर की रीडिंग नोट कर ली जाती है।
- दर्पण को आगे ले जाने पर, फ्रिंजों के दो सेट एक दूसरे के सापेक्ष खिसकते हैं। एक स्थिति आती है जब एक तरंगदैर्ध्य (λ₁) की दीप्त फ्रिंज दूसरे (λ₂) की अदीप्त फ्रिंज के साथ संपाती होती है। इस स्थिति में, फ्रिंजों की स्पष्टता न्यूनतम (minimum concordance or discordance) होती है और क्षेत्र लगभग समान रूप से प्रकाशित दिखाई देता है।
- दर्पण को और आगे तब तक ले जाया जाता है जब तक कि अगली अधिकतम स्पष्टता की स्थिति प्राप्त न हो जाए। इस स्थिति में पुनः रीडिंग नोट कर ली जाती है।
- दो क्रमिक अधिकतम स्पष्टता की स्थितियों के बीच दर्पण द्वारा चली गई दूरी ‘d’ की गणना की जाती है।
व्यंजक की व्युत्पत्ति:
मान लीजिए दो क्रमिक अधिकतम स्पष्टता की स्थितियों के बीच दर्पण ‘d’ दूरी तय करता है। इससे प्रकाश पथ में 2d का परिवर्तन होता है।
इस दूरी में, तरंगदैर्ध्य λ₁ के लिए पार हुई फ्रिंजों की संख्या N₁ है:
2d = N₁λ₁ => N₁ = 2d / λ₁
इसी दूरी में, तरंगदैर्ध्य λ₂ के लिए पार हुई फ्रिंजों की संख्या N₂ है:
2d = N₂λ₂ => N₂ = 2d / λ₂
चूंकि λ₁ > λ₂ है, इसलिए λ₂ छोटी तरंगदैर्ध्य है, और यह समान पथ अंतर के लिए अधिक फ्रिंजें उत्पन्न करेगी, अर्थात् N₂ > N₁।
दो क्रमिक अधिकतम स्पष्टता की स्थितियों के बीच, छोटी तरंगदैर्ध्य के फ्रिंज पैटर्न ने लंबी तरंगदैर्ध्य के पैटर्न की तुलना में ठीक एक फ्रिंज अधिक पार की है।
अतः, N₂ = N₁ + 1
(2d / λ₂) = (2d / λ₁) + 1
2d/λ₂ – 2d/λ₁ = 1
2d (1/λ₂ – 1/λ₁) = 1
2d ( (λ₁ – λ₂) / (λ₁λ₂) ) = 1
तरंगदैर्ध्य में अंतर, Δλ = λ₁ – λ₂
Δλ = (λ₁λ₂) / (2d)
चूंकि λ₁ और λ₂ बहुत निकट हैं, हम मान सकते हैं कि λ₁λ₂ ≈ λ², जहाँ λ औसत तरंगदैर्ध्य ((λ₁+λ₂)/2) है।
अतः, Δλ ≈ λ² / (2d) । इस सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य में अंतर की गणना की जा सकती है।
Q4. किन्हीं दो भागों के उत्तर दीजिए : (क) एक प्रयोग में धातु की एक समतल चादर में 1.2 mm व्यास का वृत्तीय द्वारक है। λ = 6000 Å तरंगदैर्ध्य वाले प्रकाश का समांतर किरणपुंज, द्वारक पर लम्बवत् आपतित होता है। इसकी छाया एक ऐसे परदे पर पड़ती है जिसकी द्वारक से दूरी में लगातार परिवर्तन किया जा सकता है। वह दूरी परिकलित कीजिए जिस पर द्वारक 1 या 3 फ्रेनल जोन संचरित होने देगा। (ख) सिद्ध कीजिए कि सभी फ्रेनल जोन का क्षेत्रफल समान होता है। (ग) एक द्विक स्लिट विवर्तन में b = 9 × 10⁻⁴ cm, d = 3.5 × 10⁻³ cm तथा λ = 6300 Å है। केन्द्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर व्यतिकरण निम्निष्ठों की संख्या विवर्तन निम्निष्ठ के बीच कितनी होगी ? यदि परदे को विवर्तक द्वारक से 5 m की दूरी पर रखा जाए, तो फ्रिंज की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
Ans.
(क) फ्रेनल जोन के लिए परदे की दूरी
जब एक समांतर किरणपुंज (स्रोत अनंत पर) एक वृत्ताकार द्वारक पर आपतित होता है, तो n-वें फ्रेनल अर्ध-आवर्त क्षेत्र (half-period zone) की त्रिज्या (rₙ) का सूत्र है:
rₙ² = nλb
जहाँ,
- rₙ = n-वें जोन की त्रिज्या
- n = जोनों की संख्या
- λ = प्रकाश का तरंगदैर्ध्य
- b = द्वारक से परदे की दूरी
हम चाहते हैं कि द्वारक का आकार n फ्रेनल जोनों को संचरित करे, जिसका अर्थ है कि द्वारक की त्रिज्या n-वें जोन की त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए द्वारक की त्रिज्या ‘r’ है, तो r = rₙ।
अतः, r² = nλb, जिससे परदे की दूरी b = r² / (nλ) होती है। दिए गए मान:
- द्वारक का व्यास = 1.2 mm, तो त्रिज्या r = 0.6 mm = 0.6 × 10⁻³ मीटर
- तरंगदैर्ध्य, λ = 6000 Å = 6000 × 10⁻¹⁰ मीटर = 6 × 10⁻⁷ मीटर
गणना:
- स्थिति 1: जब द्वारक 1 फ्रेनल जोन (n = 1) संचरित करता है। b₁ = r² / (1 × λ) b₁ = (0.6 × 10⁻³)² / (1 × 6 × 10⁻⁷) b₁ = (0.36 × 10⁻⁶) / (6 × 10⁻⁷) b₁ = 0.06 × 10¹ = 0.6 मीटर
- स्थिति 2: जब द्वारक 3 फ्रेनल जोन (n = 3) संचरित करता है। b₃ = r² / (3 × λ) b₃ = (0.6 × 10⁻³)² / (3 × 6 × 10⁻⁷) b₃ = (0.36 × 10⁻⁶) / (18 × 10⁻⁷) b₃ = 0.02 × 10¹ = 0.2 मीटर
अतः, परदे को 0.6 मीटर की दूरी पर रखने पर 1 फ्रेनल जोन और 0.2 मीटर की दूरी पर रखने पर 3 फ्रेनल जोन संचरित होंगे। (ख) फ्रेनल जोनों का समान क्षेत्रफल
यह सिद्ध करने के लिए कि सभी फ्रेनल अर्ध-आवर्त क्षेत्रों का क्षेत्रफल लगभग समान होता है, हम एक समतल तरंगाग्र पर विचार करते हैं। मान लीजिए P एक अवलोकन बिंदु है जो तरंगाग्र से ‘b’ दूरी पर है।
n-वें जोन की बाह्य सीमा तरंगाग्र पर एक वृत्त है, जिसके किसी भी बिंदु की दूरी P से b + nλ/2 है। मान लीजिए इस वृत्त की त्रिज्या rₙ है।
चित्र में बने समकोण त्रिभुज से, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
(rₙ)² + b² = (b + nλ/2)²
rₙ² + b² = b² + 2b(nλ/2) + (nλ/2)²
rₙ² = nλb + (n²λ²/4)
चूंकि प्रकाश का तरंगदैर्ध्य λ बहुत छोटा है, इसलिए λ² वाला पद (n²λ²/4) बहुत छोटा होगा और इसे nλb की तुलना में नगण्य माना जा सकता है।
अतः, rₙ² ≈ nλb
यह n-वें वृत्त का त्रिज्या-वर्ग है। n-वें वृत्त द्वारा घिरा कुल क्षेत्रफल A_circle,n = πrₙ² = πnλb है।
अब, n-वें जोन का क्षेत्रफल (A_zone,n) n-वें वृत्त और (n-1)-वें वृत्त के बीच का क्षेत्रफल है:
A_zone,n = A_circle,n – A_circle,n-1
A_zone,n = πrₙ² – πr_(n-1)²
A_zone,n = π(nλb) – π((n-1)λb)
A_zone,n = πλb [n – (n-1)]
A_zone,n = πλb [n – n + 1]
A_zone,n = πλb
यह परिणाम ‘n’ से स्वतंत्र है, जो यह सिद्ध करता है कि प्रत्येक फ्रेनल जोन का क्षेत्रफल लगभग समान होता है और πλb के बराबर होता है। (ग) द्विक-स्लिट विवर्तन और फ्रिंज चौड़ाई
दिए गए मान:
- स्लिट की चौड़ाई, b = 9 × 10⁻⁴ सेमी
- स्लिटों के बीच की दूरी, d = 3.5 × 10⁻³ सेमी
- तरंगदैर्ध्य, λ = 6300 Å = 6300 × 10⁻⁸ सेमी = 6.3 × 10⁻⁵ सेमी
- परदे की दूरी, D = 5 मीटर = 500 सेमी
भाग 1: व्यतिकरण निम्निष्ठों की संख्या
केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ, पहले विवर्तन निम्निष्ठ (m = ±1) के बीच स्थित होता है।
विवर्तन निम्निष्ठ की शर्त: b sinθ = mλ (m = ±1, ±2, …)
अतः, केंद्रीय उच्चिष्ठ की सीमा sinθ = ±λ/b द्वारा दी जाती है।
व्यतिकरण निम्निष्ठ की शर्त: d sinθ = (p + 1/2)λ (p = 0, ±1, ±2, …)
हमें उन व्यतिकरण निम्निष्ठों को खोजना है जो केंद्रीय विवर्तन उच्चिष्ठ के भीतर आते हैं।
d |sinθ| < b |sinθ_diff_min|
|(p + 1/2)λ| < d (λ/b)
|p + 1/2| < d/b
d/b की गणना करें: d/b = (3.5 × 10⁻³ सेमी) / (9 × 10⁻⁴ सेमी) = 35/9 ≈ 3.89
|p + 1/2| < 3.89
धनात्मक p के लिए: p + 0.5 < 3.89 => p < 3.39।
अतः, p के अनुमत पूर्णांक मान 0, 1, 2, 3 हैं। यह केंद्रीय उच्चिष्ठ के एक तरफ 4 निम्निष्ठ देता है।
इसी प्रकार, ऋणात्मक p के लिए भी 4 निम्निष्ठ (p = -1, -2, -3, -4) होंगे।
लेकिन आमतौर पर p को 0, 1, 2,.. लिया जाता है और ± चिन्ह sinθ के साथ होता है। तो p=0,1,2,3 से 4 निम्निष्ठ एक तरफ और 4 दूसरी तरफ। कुल निम्निष्ठों की संख्या = 4 (दाईं ओर) + 4 (बाईं ओर) = 8 । भाग 2: फ्रिंज की चौड़ाई (β)
व्यतिकरण फ्रिंज की चौड़ाई (β) का सूत्र है:
β = (λD) / d
मान रखने पर:
β = (6.3 × 10⁻⁵ सेमी × 500 सेमी) / (3.5 × 10⁻³ सेमी)
β = (6.3 × 500) / (3.5 × 10²) सेमी
β = (1.8 × 500) / 100 सेमी
β = 900 / 100 सेमी = 9 सेमी।
त्रुटि सुधार: β = (6.3 × 10⁻⁵ सेमी × 500 सेमी) / (3.5 × 10⁻³ सेमी)
β = (3150 × 10⁻⁵) / (3.5 × 10⁻³)
β = 900 × 10⁻² सेमी = 9 सेमी ।
अतः, फ्रिंज की चौड़ाई 9 सेमी है।
Q5. किन्हीं दो भागों के उत्तर दीजिए : (क) यदि 589 nm के प्रकाश में 20 λ लम्बी तरंगावलि है, तो इसकी (i) कला सम्बद्धता लम्बाई, और (ii) कला सम्बद्धता समय परिकलित कीजिए । (ख) स्पंद प्रकीर्णन से आप क्या समझते हैं ? क्रमिक अंकित फाइबर जिसमें क्रोड और क्लैडिंग के अपवर्तनांक क्रमशः 1.47 तथा 1.46 हैं, तो 5 km के बाद स्पंद प्रकीर्णन परिकलित कीजिए। (ग) रेखाचित्र की सहायता से चरण सूचक और प्रवणता सूचक तंतुओं में अंतर बताइए। क्रमिक अंकित तंतु तथा चरण सूचक मल्टीमोड फाइबर में विधाओं को दर्शाइए।
Ans.
(क) कला सम्बद्धता लम्बाई और समय
दिए गए मान:
- प्रकाश का तरंगदैर्ध्य, λ = 589 nm = 589 × 10⁻⁹ मीटर
- तरंगावलि (wavetrain) की लम्बाई = 20 λ
- प्रकाश की चाल, c = 3 × 10⁸ मी/से
(i) कला सम्बद्धता लम्बाई (Coherence Length, Lc)
कला सम्बद्धता लम्बाई वह दूरी है जिस पर एक तरंग अपनी कला को बनाए रखती है, अर्थात् वह दूरी जिस पर तरंग के दो बिंदुओं के बीच एक निश्चित कला संबंध होता है। यह सीधे तरंगावलि की लंबाई के बराबर होती है।
L_c = तरंगावलि की लम्बाई
L_c = 20 λ
L_c = 20 × (589 × 10⁻⁹ मी)
L_c = 11780 × 10⁻⁹ मी = 1.178 × 10⁻⁵ मीटर (या 11.78 माइक्रोमीटर)। (ii) कला सम्बद्धता समय (Coherence Time, τc)
कला सम्बद्धता समय वह औसत समय अंतराल है जिसके दौरान तरंग एक निश्चित कला बनाए रखती है। यह वह समय है जो प्रकाश को अपनी सम्बद्धता लम्बाई के बराबर दूरी तय करने में लगता है।
τ_c = L_c / c
τ_c = (1.178 × 10⁻⁵ मी) / (3 × 10⁸ मी/से)
τ_c ≈ 0.3927 × 10⁻¹³ सेकंड = 3.93 × 10⁻¹⁴ सेकंड (या 39.3 फेम्टोसेकंड)। (ख) स्पंद प्रकीर्णन और उसकी गणना
स्पंद प्रकीर्णन (Pulse Dispersion):
ऑप्टिकल फाइबर में स्पंद प्रकीर्णन (या स्पंद का चौड़ा होना) वह घटना है जिसमें एक संकीर्ण प्रकाश स्पंद फाइबर से यात्रा करते समय समय के साथ फैल जाता है। यह मल्टीमोड फाइबर में इसलिए होता है क्योंकि प्रकाश के विभिन्न मोड (किरण पथ) अलग-अलग कोणों पर यात्रा करते हैं, जिससे उनके पथ की लंबाई और यात्रा का समय अलग-अलग होता है। जो मोड अधिक ज़िग-ज़ैग पथ अपनाते हैं, वे अक्षीय मोड की तुलना में फाइबर के अंत तक पहुँचने में अधिक समय लेते हैं। इस समय के अंतर के कारण आउटपुट पर स्पंद चौड़ा हो जाता है, जो फाइबर की बैंडविड्थ और डेटा संचरण दर को सीमित करता है। गणना:
एक स्टेप-इंडेक्स (क्रमिक अंकित) मल्टीमोड फाइबर में, अंतरामोडल (intermodal) प्रकीर्णन के कारण कुल स्पंद फैलाव (Δτ) का अनुमान निम्न सूत्र से लगाया जा सकता है:
Δτ ≈ (L × n₁) / c × (n₁ – n₂) / n₂
दिए गए मान:
- फाइबर की लंबाई, L = 5 किमी = 5000 मीटर
- क्रोड का अपवर्तनांक, n₁ = 1.47
- क्लैडिंग का अपवर्तनांक, n₂ = 1.46
- प्रकाश की चाल, c = 3 × 10⁸ मी/से
मान रखने पर:
Δτ ≈ (5000 × 1.47) / (3 × 10⁸) × (1.47 – 1.46) / 1.46
Δτ ≈ (7350) / (3 × 10⁸) × (0.01) / 1.46
Δτ ≈ (2450 × 10⁻⁸) × 0.006849
Δτ ≈ 1.678 × 10⁻⁷ सेकंड
Δτ ≈ 167.8 नैनोसेकंड (ns)
अतः, 5 किमी के बाद स्पंद प्रकीर्णन लगभग 167.8 ns है। (ग) स्टेप-इंडेक्स और ग्रेडेड-इंडेक्स फाइबर में अंतर
स्टेप-इंडेक्स (चरण सूचक) और ग्रेडेड-इंडेक्स (प्रवणता सूचक) फाइबर में मुख्य अंतर उनके कोर के अपवर्तनांक प्रोफाइल और प्रकाश के संचरण के तरीके में होता है।
गुणधर्म
स्टेप-इंडेक्स (Step-Index) फाइबर
ग्रेडेड-इंडेक्स (Graded-Index) फाइबर
अपवर्तनांक प्रोफाइल
कोर का अपवर्तनांक (n₁) एक समान होता है और कोर-क्लैडिंग सीमा पर अचानक (step-like) घटकर क्लैडिंग के अपवर्तनांक (n₂) के बराबर हो जाता है।
कोर का अपवर्तनांक केंद्र में अधिकतम होता है और केंद्र से दूर जाने पर धीरे-धीरे (gradually) कम होता जाता है, जो क्लैडिंग की सीमा पर n₂ के बराबर हो जाता है।
प्रकाश संचरण और विधाएं (Modes)
प्रकाश की किरणें (विधाएं) सीधी रेखाओं में चलती हैं और कोर-क्लैडिंग सीमा पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन से गुजरती हैं, जिससे एक ज़िग-ज़ैग पथ बनता है। विभिन्न विधाएं अलग-अलग पथ लंबाई तय करती हैं।
प्रकाश की किरणें लगातार अपवर्तन के कारण वक्राकार (sinusoidal/helical) पथ पर चलती हैं। जो किरणें अक्ष से दूर जाती हैं, वे कम अपवर्तनांक वाले क्षेत्र में तेज गति से चलती हैं, जिससे पथ-लंबाई की भरपाई हो जाती है।
स्पंद प्रकीर्णन
विभिन्न पथ लंबाइयों के कारण अंतरामोडल प्रकीर्णन अधिक होता है, जिससे बैंडविड्थ कम होती है।
अधिकांश विधाएं लगभग एक ही समय में पहुंचती हैं, इसलिए अंतरामोडल प्रकीर्णन बहुत कम होता है, जिससे उच्च बैंडविड्थ मिलती है।
रेखाचित्र और विधाओं का चित्रण:
उपरोक्त चित्र में:
- (a) स्टेप-इंडेक्स फाइबर: अपवर्तनांक प्रोफाइल आयताकार है। उच्च-कोटि की विधा (higher-order mode) अधिक ज़िग-ज़ैग पथ लेती है और निम्न-कोटि की विधा (lower-order mode) की तुलना में अधिक दूरी तय करती है।
- (b) ग्रेडेड-इंडेक्स फाइबर: अपवर्तनांक प्रोफाइल परवलयिक है। प्रकाश की विधाएं वक्राकार पथों पर चलती हैं। जो विधाएं अक्ष से दूर जाती हैं (लंबा ज्यामितीय पथ), वे कम अपवर्तनांक वाले क्षेत्र में उच्च वेग से यात्रा करके समय की भरपाई करती हैं।
IGNOU BPHCT-137 Previous Year Solved Question Paper in English
Q1. Answer any five parts : (a) Define numerical aperture. (b) Draw energy level diagram of four level pumping scheme in lasers. (c) Diffraction pattern is produced by a grating having 5000 lines per inch. If the wavelength of light used is 500 nm, calculate the order of principal maxima obtained in the diffraction pattern. (d) Depict intensity distribution in Fresnel diffraction pattern of a wire. (e) List two experiments to observe diffraction of light outside the physics laboratory. (f) List any two differences between biprism and Lloyd’s mirror. (g) State any two properties of a wavefront. (h) Write down 1-D wave equation for sound waves in a gaseous medium explaining each term.
Ans. (a) Numerical Aperture (NA) The numerical aperture of an optical fiber is a dimensionless quantity that characterizes the range of angles over which the fiber can accept or emit light. It is a measure of the light-gathering ability of the fiber. It is defined mathematically as: NA = n₀ sin(θₐ) Where:
- n₀ is the refractive index of the medium in which the fiber is placed (for air, n₀ ≈ 1).
- θₐ is the acceptance angle , which is the maximum angle with respect to the fiber axis at which light can enter the fiber and be propagated by total internal reflection.
The numerical aperture is also related to the refractive indices of the core (n₁) and cladding (n₂): NA = √(n₁² – n₂²). A higher NA means the fiber can collect light over a wider range of angles.
(b) Four-Level Laser Pumping Scheme A four-level laser system is more efficient than a three-level system because population inversion is easier to achieve. The energy level diagram is shown below: 
- E₁ (Ground State): Atoms are initially in this state.
- E₁ → E₄ (Pumping): An external energy source (the pump) excites atoms from the ground state E₁ to a high energy state E₄.
- E₄ → E₃ (Fast Non-radiative Decay): Atoms rapidly decay (in ~10⁻⁸ s) to an intermediate metastable state E₃ . This is a non-radiative transition.
- E₃ → E₂ (Stimulated Emission): E₃ is a metastable state (lifetime ~10⁻³ s), allowing atoms to accumulate here, achieving population inversion with respect to level E₂. When a photon of appropriate energy strikes, it triggers stimulated emission from E₃ to E₂, producing the laser light.
- E₂ → E₁ (Fast Decay): Atoms rapidly decay from level E₂ back to the ground state E₁, ensuring that the population of E₂ remains low, which helps maintain the population inversion easily.
(c) Calculation of Order of Principal Maxima The condition for a principal maximum in a diffraction grating is given by: d sin(θ) = nλ Where,
- d = Grating element (distance between two consecutive lines)
- n = Order of the maximum
- λ = Wavelength of light
- θ = Angle of diffraction
Calculation:
The grating has 5000 lines per inch.
1 inch = 2.54 cm = 0.0254 m
Grating element, d = 0.0254 m / 5000 = 5.08 × 10⁻⁶ m
Given wavelength, λ = 500 nm = 500 × 10⁻⁹ m
The maximum possible order (n_max) is obtained when sin(θ) has its maximum value, i.e., sin(θ) = 1 (at θ = 90°).
d sin(θ_max) = n_max λ
d (1) = n_max λ
n_max = d / λ
n_max = (5.08 × 10⁻⁶ m) / (500 × 10⁻⁹ m)
n_max = (5.08 / 0.5) × 10² = 10.16
Since the order ‘n’ must be an integer, the highest order of principal maxima that can be obtained is
10
.
(d) Intensity Distribution for Fresnel Diffraction by a Wire When a thin wire is placed between a monochromatic light source and a screen, diffraction fringes are formed both inside and outside the geometrical shadow of the wire. The intensity distribution is depicted below: 
Features:
- Fringes inside the shadow: Due to the interference of light waves diffracting from the two edges of the wire, equally spaced interference fringes are formed within the geometrical shadow. There is a bright fringe at the exact center of the shadow because the path difference from the two edges is zero, leading to constructive interference.
- Fringes outside the shadow: Outside the geometrical shadow, diffraction fringes of non-uniform width and rapidly decreasing intensity are observed.
(e) Two Experiments to Observe Diffraction Outside the Lab Two common examples of observing light diffraction outside a physics laboratory are:
- Looking at a Streetlight through a Fine Cloth: When a distant streetlight is viewed at night through a fine fabric like a handkerchief or an umbrella, a cross-shaped pattern of colored spots is seen. The perpendicular threads of the cloth act as a two-dimensional diffraction grating , diffracting the light to produce the pattern.
- Colors on a CD or DVD Surface: The rainbow-like colors seen on the surface of a Compact Disc (CD) or DVD are caused by diffraction. The surface of a CD has very fine, spiral tracks that act as a reflection diffraction grating . When white light hits these tracks, it is diffracted into its constituent colors, creating the iridescent effect.
(f) Differences between Biprism and Lloyd’s Mirror
| Property | Fresnel’s Biprism | Lloyd’s Mirror |
|---|---|---|
Formation of Coherent Sources |
Two virtual coherent sources are formed by refraction of light from a single source through the two halves of the biprism. |
One source is the real slit, and the second virtual source is formed by reflection of the real source from the mirror surface. |
Central Fringe |
The central fringe (at zero path difference) is always bright . |
The central fringe (where the mirror meets the screen) is always dark , due to an additional phase change of π (180°) upon reflection from a denser medium (the mirror). |
(g) Two Properties of a Wavefront
- Surface of Constant Phase: A wavefront is defined as the locus of all points that are oscillating in the same phase. Every particle on a wavefront reaches its maximum or minimum displacement simultaneously.
- Direction of Wave Propagation: Light rays, which represent the direction of energy propagation, are always perpendicular (normal) to the surface of the wavefront. For a plane wavefront, the rays are parallel, while for a spherical wavefront, the rays are directed radially outwards.
(h) 1-D Wave Equation for Sound Waves The one-dimensional (1-D) differential equation that describes the propagation of sound waves (which are longitudinal waves) in a gaseous medium is: ∂²y / ∂t² = v² (∂²y / ∂x²) Each term in this equation is explained as follows:
- y(x, t): This is the displacement of the particles of the medium from their equilibrium position. It is a function of position x and time t .
- ∂²y / ∂t²: This is the second partial derivative of displacement with respect to time, which represents the acceleration of the particles of the medium.
- ∂²y / ∂x²: This is the second partial derivative of displacement with respect to position, which represents the curvature of the wave shape.
- v: This is the speed of the sound wave in the medium. For a gaseous medium, its value depends on the elastic properties and density of the medium. For an adiabatic process, v = √(γP/ρ), where ‘γ’ is the adiabatic index, ‘P’ is the pressure, and ‘ρ’ is the density of the medium.
This equation shows that the acceleration of a particle at a point is proportional to the curvature of the wave at that point.
Q2. Answer any two parts: (a) Two waves travelling in opposite directions on a string fixed at both ends are described by the equations : y₁ (x, t) = (0.2 m) sin (2x — 4t) and y₂ (x, t) = (0.2 m) sin (2x + 4t) (i) Obtain the equation of standing wave. (ii) The string oscillates in only one loop and its one end is fixed at x = 0. Calculate the distance between two fixed ends of the string. (b) State Malus’ law. Unpolarised light is incident on two polarizing sheets placed one over the other. If the intensity of the finally transmitted light is one-fourth of the intensity of the incident light, calculate the angle between the transmission axes of the polarizing sheets. (c) Explain any five factors which affect acoustics of a building.
Ans. (a) Standing Wave (i) Equation of the standing wave A standing wave is formed by the superposition of two waves of the same amplitude and frequency travelling in opposite directions. The resultant displacement Y(x, t) is the sum of the individual displacements: Y(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t) Y(x, t) = 0.2 sin(2x – 4t) + 0.2 sin(2x + 4t) Y(x, t) = 0.2 [sin(2x – 4t) + sin(2x + 4t)] Using the trigonometric identity sin(A – B) + sin(A + B) = 2 sin(A)cos(B) , with A = 2x and B = 4t: Y(x, t) = 0.2 [2 sin(2x) cos(4t)] Y(x, t) = 0.4 sin(2x) cos(4t) This is the equation of the standing wave. Here, the amplitude term [0.4 sin(2x)] depends only on position ‘x’, and the oscillation term [cos(4t)] depends on time ‘t’.
(ii) Distance between the fixed ends The standard equation of a standing wave is: Y(x, t) = A_sw sin(kx) cos(ωt). Comparing this with our derived equation Y(x, t) = 0.4 sin(2x) cos(4t): The wave number, k = 2 rad/m We know that k = 2π/λ, where λ is the wavelength. λ = 2π / k = 2π / 2 = π meters The problem states that the string oscillates in only one loop . This corresponds to the fundamental mode of vibration. In this mode, the length of the string (L) is equal to half a wavelength. L = λ / 2 L = π / 2 meters L ≈ 1.57 meters Therefore, the distance between the two fixed ends of the string is π/2 meters or approximately 1.57 m .
(b) Malus’ Law and Angle Calculation Malus’ Law: This law states that when completely plane-polarized light is incident on an analyzer, the intensity (I) of the light transmitted by the analyzer is directly proportional to the square of the cosine of the angle (θ) between the transmission axis of the analyzer and the plane of polarization of the incident light. Mathematically: I = I₀ cos²θ Where I₀ is the maximum intensity of the transmitted light (when θ = 0°).
Angle Calculation: Let the initial intensity of the unpolarized incident light be I_inc. 1. When this light passes through the first polarizing sheet (the polarizer), its intensity becomes half. I₁ = I_inc / 2 2. This polarized light, with intensity I₁, is then incident on the second polarizing sheet (the analyzer). Let the angle between the transmission axes of the two sheets be θ. 3. According to Malus’s law, the final transmitted intensity I₂ will be: I₂ = I₁ cos²θ = (I_inc / 2) cos²θ 4. According to the problem, the final intensity is one-fourth of the incident intensity: I₂ = I_inc / 4 5. Comparing the two expressions for I₂: I_inc / 4 = (I_inc / 2) cos²θ 1 / 4 = (1 / 2) cos²θ cos²θ = (1/4) * 2 = 1/2 cosθ = 1 / √2 θ = 45° Thus, the angle between the transmission axes of the polarizing sheets is 45° .
(c) Factors Affecting Acoustics of a Building The acoustics of a building, especially an auditorium or concert hall, are affected by several factors. Five key factors are:
- Reverberation Time: This is the time it takes for the sound intensity to fall by 60 dB after the source has stopped. If it is too long, successive sounds overlap, causing a lack of clarity. If it is too short, the sound feels ‘dry’ or ‘dead’. It is controlled by using appropriate sound-absorbing materials like curtains, carpets, and perforated tiles on walls and ceilings.
- Loudness: The loudness of the sound must be sufficiently and uniformly distributed throughout the hall. This depends on the hall’s volume and the reflectivity of its surfaces. Parabolic reflectors behind the speaker can help project sound effectively towards the audience.
- Echoes: An echo is a distinct repetition of a sound heard after the original sound, caused by reflection from a distant surface. It is distracting if the time delay between the direct and reflected sound is more than about 1/17th of a second. Echoes can be minimized by covering distant walls with absorbent materials.
- Focusing of Sound: Concave surfaces, such as domed ceilings, can focus sound waves onto a small area, creating sound ‘hot spots’ of excessive loudness, while other areas might be ‘dead spots’ with poor sound. Such surfaces should be avoided or covered with absorbents.
- External Noise: Noise from outside sources like traffic, air conditioners, or adjacent rooms can interfere with the desired sound inside the hall. Proper sound insulation of walls, doors, and windows is crucial to prevent this.
Q3. Answer any two parts: (a) Using sodium light, interference fringes are obtained due to reflection for a thin air wedge. When viewed normally, 10 fringes are seen at a distance of 1 cm. Calculate the angle of the wedge. Take λ = 5893 × 10⁻¹⁰ m. (b) Newton’s rings are formed in reflected light with light of wavelength 6000 Å when a liquid of refractive index μ is placed between the plates. If diameter of 4th bright ring is 0.2 cm and radius of curved surface is 50 cm, calculate μ. (c) Discuss how Michelson interferometer can be used to determine the difference in wavelengths λ₁ and λ₂ emitted by a source. Assume that λ₁ and λ₂ are very close to one another. Derive the expression for the difference in wavelengths for λ₁ > λ₂.
Ans. (a) Angle of the Air Wedge For interference fringes produced by a thin air wedge, the fringe width (β), which is the separation between two consecutive bright or dark fringes, is given by the formula: β = λ / (2θ) Where,
- λ = Wavelength of the light used
- θ = Angle of the wedge (in radians)
Given values:
- Number of fringes in a distance of 1 cm = 10
- Wavelength, λ = 5893 × 10⁻¹⁰ m
Calculation:
First, we calculate the fringe width (β):
β = Total distance / Number of fringes
β = 1 cm / 10 = 0.1 cm = 0.1 × 10⁻² m
Now, we rearrange the formula to solve for the angle of the wedge (θ):
θ = λ / (2β)
Substituting the values:
θ = (5893 × 10⁻¹⁰ m) / (2 × 0.1 × 10⁻² m)
θ = (5893 × 10⁻¹⁰) / (0.2 × 10⁻²)
θ = 29465 × 10⁻⁸ radians
θ = 2.9465 × 10⁻⁴ radians
To convert to degrees (optional):
θ (in degrees) = θ (in radians) × (180/π) ≈ 2.9465 × 10⁻⁴ × 57.3 ≈ 0.0169°
The angle of the wedge is
2.9465 × 10⁻⁴ radians
.
(b) Calculation of Refractive Index using Newton’s Rings In the Newton’s rings experiment, the condition for the nth bright ring in reflected light is given by: 2μt = (2n – 1)λ / 2 where ‘t’ is the thickness of the film at the ring’s position, μ is the refractive index of the liquid, and λ is the wavelength of light. The thickness ‘t’ is related to the radius of the nth ring (rₙ) and the radius of curvature of the lens (R) by: t = rₙ² / (2R). Substituting this into the condition: 2μ (rₙ² / (2R)) = (2n – 1)λ / 2 μ rₙ² / R = (2n – 1)λ / 2 Since the diameter Dₙ = 2rₙ, we have rₙ² = Dₙ² / 4. μ (Dₙ² / (4R)) = (2n – 1)λ / 2 Rearranging the formula for the refractive index μ: μ = [2Rλ(2n – 1)] / Dₙ² Given values:
- For the 4th bright ring, n = 4
- Diameter, D₄ = 0.2 cm = 0.2 × 10⁻² m
- Radius of curvature, R = 50 cm = 0.5 m
- Wavelength, λ = 6000 Å = 6000 × 10⁻¹⁰ m = 6 × 10⁻⁷ m
Calculation:
μ = [2 × 0.5 × (6 × 10⁻⁷) × (2×4 – 1)] / (0.2 × 10⁻²)²
μ = [1 × (6 × 10⁻⁷) × 7] / (0.04 × 10⁻⁴)
μ = (42 × 10⁻⁷) / (4 × 10⁻⁶)
μ = 10.5 × 10⁻¹ = 1.05
Therefore, the refractive index of the liquid is
μ = 1.05
.
(c) Determining Wavelength Difference using Michelson Interferometer Principle and Procedure: When a light source emits two very close wavelengths, λ₁ and λ₂, (like the sodium D-lines), a Michelson interferometer can be used to measure the difference between them (Δλ = λ₁ – λ₂).
- The interferometer is adjusted to observe circular fringes. Since there are two wavelengths, two sets of fringe patterns are superimposed.
- The movable mirror (M₁) is slowly moved in one direction. At a certain position, the bright fringes of both wavelengths coincide, resulting in fringes of maximum clarity (maximum concordance) . The reading on the micrometer is noted.
- As the mirror is moved further, the two sets of fringes shift relative to each other. A position is reached where the bright fringes of one wavelength (λ₁) coincide with the dark fringes of the other (λ₂). At this point, the fringes have minimum clarity (minimum concordance or discordance) , and the field of view appears almost uniformly illuminated.
- The mirror is moved further until the next position of maximum clarity is found. The reading is noted again.
- The distance ‘d’ moved by the mirror between two successive positions of maximum clarity is calculated.
Derivation of the Expression:
Let the mirror move a distance ‘d’ between two successive positions of maximum concordance. This introduces a path difference of
2d
.
In this distance, the number of fringes of wavelength λ₁ that have crossed the center is N₁:
2d = N₁λ₁ => N₁ = 2d / λ₁
Similarly, the number of fringes of wavelength λ₂ is N₂:
2d = N₂λ₂ => N₂ = 2d / λ₂
Given that λ₁ > λ₂, λ₂ is the shorter wavelength and will produce more fringes for the same path difference, i.e., N₂ > N₁.
Between two successive positions of maximum concordance, the fringe pattern of the shorter wavelength has gained exactly one fringe over the pattern of the longer wavelength.
Therefore,
N₂ = N₁ + 1
(2d / λ₂) = (2d / λ₁) + 1
2d/λ₂ – 2d/λ₁ = 1
2d (1/λ₂ – 1/λ₁) = 1
2d ( (λ₁ – λ₂) / (λ₁λ₂) ) = 1
The difference in wavelengths is Δλ = λ₁ – λ₂
Δλ = (λ₁λ₂) / (2d)
Since λ₁ and λ₂ are very close, we can approximate λ₁λ₂ ≈ λ², where λ is the average wavelength ((λ₁+λ₂)/2).
Thus, the expression for the difference in wavelengths is:
Δλ ≈ λ² / (2d)
.
Q4. Answer any two parts: (a) A beam of parallel light of wavelength 6000 Å is incident normally on a metal sheet having a circular aperture of diameter 1.2 mm. The shadow is cast on a variable screen. Calculate the distance of the screen at which the aperture will transmit 1 or 3 Fresnel zones. (b) Show that individual Fresnel zones have same area. (c) Consider a double slit diffraction arrangement with b = 9 × 10⁻⁴ cm, d = 3.5 × 10⁻³ cm and λ = 6300 Å. Calculate the no. of interference minima between diffraction minima on either side of the central maximum. If the screen is placed at a distance of 5 m from the diffraction aperture, calculate the fringe width.
Ans. (a) Distance of Screen for Fresnel Zones For a parallel beam of light (source at infinity) incident on a circular aperture, the square of the radius (rₙ) of the nth Fresnel half-period zone is given by: rₙ² = nλb Where,
- rₙ = radius of the nth zone
- n = number of zones
- λ = wavelength of light
- b = distance of the screen from the aperture
We want the aperture to transmit ‘n’ Fresnel zones, which means the radius of the aperture ‘r’ must be equal to the radius of the nth zone, rₙ.
So, r² = nλb, which gives the screen distance b = r² / (nλ).
Given values:
- Diameter of aperture = 1.2 mm, so radius r = 0.6 mm = 0.6 × 10⁻³ m
- Wavelength, λ = 6000 Å = 6000 × 10⁻¹⁰ m = 6 × 10⁻⁷ m
Calculation:
- Case 1: When the aperture transmits 1 Fresnel zone (n = 1). b₁ = r² / (1 × λ) b₁ = (0.6 × 10⁻³)² / (1 × 6 × 10⁻⁷) b₁ = (0.36 × 10⁻⁶) / (6 × 10⁻⁷) b₁ = 0.06 × 10¹ = 0.6 m
- Case 2: When the aperture transmits 3 Fresnel zones (n = 3). b₃ = r² / (3 × λ) b₃ = (0.6 × 10⁻³)² / (3 × 6 × 10⁻⁷) b₃ = (0.36 × 10⁻⁶) / (18 × 10⁻⁷) b₃ = 0.02 × 10¹ = 0.2 m
Thus, the screen should be placed at
0.6 m
to transmit 1 zone and at
0.2 m
to transmit 3 zones.
(b) Proof that Fresnel Zones have the Same Area To show that the areas of all Fresnel half-period zones are nearly equal, consider a plane wavefront and an observation point P at a distance ‘b’ from it. 
The outer edge of the nth zone is a circle on the wavefront such that the distance from any point on this circle to P is b + nλ/2. Let the radius of this circle be rₙ. From the right-angled triangle in the figure, using Pythagoras’ theorem: (rₙ)² + b² = (b + nλ/2)² rₙ² + b² = b² + 2b(nλ/2) + (nλ/2)² rₙ² = nλb + (n²λ²/4) Since the wavelength λ is very small, the term involving λ² (i.e., n²λ²/4) is negligible compared to the term nλb. So, we have the approximation: rₙ² ≈ nλb This is the square of the radius of the nth circle. The total area enclosed by the nth circle is A_circle,n = πrₙ² = πnλb. The area of the nth zone (A_zone,n) is the area between the nth and (n-1)th circles: A_zone,n = A_circle,n – A_circle,n-1 A_zone,n = πrₙ² – πr_(n-1)² A_zone,n = π(nλb) – π((n-1)λb) A_zone,n = πλb [n – (n-1)] A_zone,n = πλb [n – n + 1] A_zone,n = πλb This result is independent of ‘n’, which proves that the area of each individual Fresnel zone is approximately the same and is equal to πλb.
(c) Double-Slit Diffraction and Fringe Width Given values:
- Slit width, b = 9 × 10⁻⁴ cm
- Slit separation, d = 3.5 × 10⁻³ cm
- Wavelength, λ = 6300 Å = 6300 × 10⁻⁸ cm = 6.3 × 10⁻⁵ cm
- Screen distance, D = 5 m = 500 cm
Part 1: Number of interference minima
The central diffraction maximum is located between the first diffraction minima on either side (m = ±1).
Condition for diffraction minima: b sinθ = mλ (m = ±1, ±2, …)
So, the central maximum lies within the angular range given by sinθ = ±λ/b.
Condition for interference minima: d sinθ = (p + 1/2)λ (p = 0, 1, 2, …)
We need to find the number of interference minima that fall within the central diffraction maximum.
This means:
d |sinθ_int_min| < b |sinθ_diff_min|
|(p + 1/2)λ| < d (λ/b)
|p + 1/2| < d/b
Let’s calculate d/b: d/b = (3.5 × 10⁻³ cm) / (9 × 10⁻⁴ cm) = 35/9 ≈ 3.89
So, |p + 1/2| < 3.89
For positive p: p + 0.5 < 3.89 => p < 3.39.
The allowed integer values for p are 0, 1, 2, 3. This gives 4 minima on one side of the central maximum.
Similarly, there will be 4 minima on the other side.
Total number of interference minima = 4 (on the right) + 4 (on the left) =
8
.
Part 2: Fringe width (β) The interference fringe width (β) is the separation between two consecutive bright or dark fringes. The formula is: β = (λD) / d Substituting the values: β = (6.3 × 10⁻⁵ cm × 500 cm) / (3.5 × 10⁻³ cm) β = (3150 × 10⁻⁵) / (3.5 × 10⁻³) β = 900 × 10⁻² cm = 9 cm . Therefore, the fringe width is 9 cm .
Q5. Answer any two parts: (a) If light of 589 nm wavelength has a wavetrain 20 λ long, calculate its (i) coherence length, and (ii) coherence time. (b) What do you understand by pulse dispersion ? Calculate pulse dipersion for a step-index fibre after 5 km having core and cladding refractive indices of 1.47 and 1.46, respectively. (c) Explain the difference between step index and gradient index fibres with the help of diagrams. Depict the modes that a step-index multimode and a graded index multimode fibre support.
Ans. (a) Coherence Length and Coherence Time Given values:
- Wavelength of light, λ = 589 nm = 589 × 10⁻⁹ m
- Length of wavetrain = 20 λ
- Speed of light, c = 3 × 10⁸ m/s
(i) Coherence Length (Lc) The coherence length is the spatial extent over which a wave maintains a predictable phase relationship. It is directly equal to the length of the wavetrain. L_c = Length of wavetrain L_c = 20 λ L_c = 20 × (589 × 10⁻⁹ m) L_c = 11780 × 10⁻⁹ m = 1.178 × 10⁻⁵ m (or 11.78 μm).
(ii) Coherence Time (τc) The coherence time is the average time interval over which the phase of the wave remains correlated. It is the time taken for light to travel a distance equal to its coherence length. τ_c = L_c / c τ_c = (1.178 × 10⁻⁵ m) / (3 × 10⁸ m/s) τ_c ≈ 0.3927 × 10⁻¹³ s = 3.93 × 10⁻¹⁴ s (or 39.3 femtoseconds).
(b) Pulse Dispersion and its Calculation Pulse Dispersion: In an optical fiber, pulse dispersion (or pulse broadening) is the phenomenon where a narrow pulse of light spreads out in time as it travels along the fiber. In a multimode fiber, this is primarily caused by intermodal dispersion . Different modes (ray paths) of light travel at different angles to the fiber axis, and thus have different path lengths. The modes that follow a more zig-zag path travel a longer distance than the axial mode and arrive at the end of the fiber later. This difference in arrival times causes the output pulse to be broader than the input pulse, which limits the bandwidth and data transmission rate of the fiber.
Calculation: For a step-index multimode fiber, the total pulse broadening (Δτ) due to intermodal dispersion can be estimated using the formula: Δτ ≈ (L × n₁) / c × (n₁ – n₂) / n₂ Given values:
- Fiber length, L = 5 km = 5000 m
- Core refractive index, n₁ = 1.47
- Cladding refractive index, n₂ = 1.46
- Speed of light in vacuum, c = 3 × 10⁸ m/s
Substituting the values:
Δτ ≈ (5000 × 1.47) / (3 × 10⁸) × (1.47 – 1.46) / 1.46
Δτ ≈ (7350) / (3 × 10⁸) × (0.01) / 1.46
Δτ ≈ (2450 × 10⁻⁸) × 0.006849
Δτ ≈ 1.678 × 10⁻⁷ s
Δτ ≈
167.8 nanoseconds (ns)
Thus, the pulse dispersion after 5 km is approximately
167.8 ns
.
(c) Difference between Step-Index and Graded-Index Fibers The primary difference between step-index and graded-index fibers lies in the refractive index profile of their core and the resulting manner of light propagation .
| Feature | Step-Index (SI) Fiber | Graded-Index (GRIN) Fiber |
|---|---|---|
Refractive Index Profile |
The core has a uniform refractive index (n₁) that changes abruptly (in a step) to the lower uniform index of the cladding (n₂). | The refractive index of the core is maximum at the center and decreases gradually towards the core-cladding boundary. |
Light Propagation and Modes |
Light rays (modes) travel in straight lines and undergo total internal reflection at the core-cladding boundary, following a zig-zag path. Different modes have different path lengths. |
Light rays follow curved sinusoidal or helical paths due to continuous refraction. Rays far from the axis travel faster in the lower-index region, compensating for the longer path. |
Pulse Dispersion |
Intermodal dispersion is high due to large differences in path lengths, which limits the bandwidth. |
Intermodal dispersion is very low because most modes arrive at nearly the same time, allowing for a much higher bandwidth. |
Diagrams and Depiction of Modes:
In the figure above:
- (a) Step-Index Multimode Fiber: The refractive index profile is rectangular. A higher-order mode takes a longer zig-zag path and thus travels a greater distance than a lower-order mode.
- (b) Graded-Index Multimode Fiber: The refractive index profile is parabolic. The light modes travel in curved paths. Modes that travel farther from the axis (longer geometric path) travel at a higher velocity in the lower refractive index region, which equalizes the transit time for all modes.
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