IGNOU MS-51 Solved Question Paper PDF Download

Q1. “Many believe that Operations Research (OR) is a technique that helps resolve conflicts between the production, finance, marketing and personnel functions of a manufacturing unit.” Do you agree ? Explain your answer by giving two suitable examples.

Ans. हाँ, मैं इस कथन से पूरी तरह सहमत हूँ। संक्रिया विज्ञान (ऑपरेशन्स रिसर्च – OR) वास्तव में एक ऐसी तकनीक है जो एक विनिर्माण इकाई के विभिन्न कार्यात्मक विभागों, जैसे उत्पादन, वित्त, विपणन और कार्मिक, के बीच उत्पन्न होने वाले परस्पर विरोधी उद्देश्यों को हल करने में मदद करती है।

प्रत्येक विभाग अपने स्वयं के मेट्रिक्स और लक्ष्यों को अधिकतम करने का प्रयास करता है, जो अक्सर संगठन के समग्र सर्वोत्तम हित में नहीं होता है। उदाहरण के लिए, विपणन विभाग ग्राहकों की मांग को तुरंत पूरा करने के लिए उत्पादों की एक विस्तृत श्रृंखला और उच्च इन्वेंट्री स्तर चाहता है। इसके विपरीत, उत्पादन विभाग कुछ उत्पादों के लंबे और निर्बाध उत्पादन चक्र को पसंद करता है ताकि लागत कम हो और दक्षता बढ़े। इसी तरह, वित्त विभाग कार्यशील पूंजी को कम करने के लिए इन्वेंट्री और निवेश को न्यूनतम रखना चाहता है।

OR एक समग्र दृष्टिकोण अपनाता है। यह गणितीय मॉडलिंग, सांख्यिकी और एल्गोरिदम का उपयोग करके पूरे सिस्टम को एक इकाई के रूप में देखता है। OR तकनीकों का उद्देश्य व्यक्तिगत विभागों के लिए उप-इष्टतम समाधान खोजने के बजाय पूरे संगठन के लिए इष्टतम समाधान खोजना है। यह विभिन्न विभागों के बीच ट्रेड-ऑफ को मापता है और एक ऐसा समाधान प्रदान करता है जो समग्र लाभ या दक्षता को अधिकतम करता है।

उदाहरण 1: उत्पादन बनाम विपणन संघर्ष

एक कंपनी में, विपणन विभाग चाहता है कि ग्राहकों की मांग को पूरा करने के लिए हर उत्पाद की पर्याप्त मात्रा हर समय उपलब्ध रहे। इसके लिए उच्च इन्वेंट्री स्तर की आवश्यकता होती है। दूसरी ओर, उत्पादन विभाग उत्पादन लागत को कम करने के लिए बड़े बैचों में सीमित संख्या में उत्पादों का उत्पादन करना चाहता है, जिससे इन्वेंट्री लागत कम हो। यहाँ OR की इन्वेंट्री कंट्रोल मॉडल जैसे कि आर्थिक आदेश मात्रा (EOQ) का उपयोग किया जा सकता है। यह मॉडल ऑर्डरिंग लागत और होल्डिंग लागत के बीच संतुलन बनाता है ताकि कुल इन्वेंट्री लागत को न्यूनतम किया जा सके, जिससे उत्पादन और विपणन दोनों विभागों के लक्ष्यों के बीच एक इष्टतम समझौता हो सके।

उदाहरण 2: वित्त बनाम उत्पादन संघर्ष

वित्त विभाग पूंजीगत व्यय को कम करने और निवेश पर रिटर्न को अधिकतम करने पर ध्यान केंद्रित करता है। वे नई मशीनरी में बड़े निवेश या उच्च इन्वेंट्री स्तरों को मंजूरी देने में संकोच कर सकते हैं। हालांकि, उत्पादन विभाग को दक्षता में सुधार करने या बढ़ती मांग को पूरा करने के लिए नई, अधिक उन्नत मशीनरी की आवश्यकता हो सकती है। इस संघर्ष को हल करने के लिए OR की पूंजी बजटिंग और रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming) जैसी तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है। ये तकनीकें विभिन्न निवेश विकल्पों का मूल्यांकन करने में मदद करती हैं, संसाधनों (जैसे पूंजी) को सबसे अधिक लाभदायक परियोजनाओं के लिए आवंटित करती हैं जो संगठन के समग्र वित्तीय स्वास्थ्य में अधिकतम योगदान देती हैं। इस प्रकार, OR एक मात्रात्मक आधार प्रदान करता है जिस पर ऐसे निर्णय लिए जा सकते हैं जो पूरे संगठन के लिए फायदेमंद हों।

Q2. What is an unbalanced assignment problem ? How is’ the Hungarian Assignment Method applied with respect to such a problem ? Discuss.

Ans. एक असंतुलित नियतन समस्या (Unbalanced Assignment Problem) वह नियतन समस्या है जिसमें सौंपे जाने वाले कार्यों (jobs) की संख्या और उन कार्यों को करने वाले व्यक्तियों (workers) या संसाधनों की संख्या बराबर नहीं होती है। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि लागत मैट्रिक्स (cost matrix) एक वर्ग मैट्रिक्स (square matrix) नहीं है, अर्थात, पंक्तियों (rows) की संख्या स्तंभों (columns) की संख्या के बराबर नहीं होती है (m ≠ n)।

हंगेरियन नियतन विधि (Hungarian Assignment Method) को केवल संतुलित नियतन समस्याओं पर लागू किया जा सकता है, जहाँ मैट्रिक्स वर्गाकार होना चाहिए। इसलिए, असंतुलित समस्या को हल करने से पहले उसे संतुलित करना आवश्यक है।

असंतुलित समस्या को संतुलित करना और हंगेरियन विधि लागू करना:

असंतुलित नियतन समस्या को हल करने के लिए, हम इसे एक “डमी” (dummy) पंक्ति या स्तंभ जोड़कर एक संतुलित समस्या में बदलते हैं।

स्थिति 1: पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से कम है (m < n)

यदि श्रमिकों की संख्या नौकरियों की संख्या से कम है, तो इसका मतलब है कि कुछ नौकरियाँ बिना सौंपे रह जाएँगी। इस मामले में, हम मैट्रिक्स को वर्गाकार बनाने के लिए (n-m) डमी पंक्तियाँ जोड़ते हैं। इन डमी पंक्तियों में सभी लागत तत्व (cost elements) शून्य (zero) रखे जाते हैं। इसका तर्क यह है कि किसी डमी कार्यकर्ता को नौकरी सौंपने पर कोई लागत नहीं आती है, जो वास्तव में उस नौकरी को बिना सौंपे छोड़ने के बराबर है।

स्थिति 2: स्तंभों की संख्या पंक्तियों की संख्या से कम है (n < m)

यदि नौकरियों की संख्या श्रमिकों की संख्या से कम है, तो इसका मतलब है कि कुछ श्रमिक निष्क्रिय (idle) रहेंगे। इस मामले में, हम मैट्रिक्स को वर्गाकार बनाने के लिए (m-n) डमी स्तंभ जोड़ते हैं। इन डमी स्तंभों में सभी लागत तत्व शून्य (zero) रखे जाते हैं। इसका मतलब यह है कि किसी कार्यकर्ता को डमी नौकरी सौंपने में कोई लागत नहीं आती है, जिसका अर्थ है कि वह कार्यकर्ता अप्रयुक्त रहता है।

हंगेरियन विधि का अनुप्रयोग:

एक बार जब डमी पंक्ति/स्तंभ जोड़कर लागत मैट्रिक्स को वर्गाकार बना दिया जाता है, तो मानक हंगेरियन विधि को निम्नानुसार लागू किया जा सकता है:

1. पंक्ति न्यूनीकरण (Row Reduction): प्रत्येक पंक्ति में से सबसे छोटे तत्व को उस पंक्ति के सभी तत्वों से घटाएं।
2. स्तंभ न्यूनीकरण (Column Reduction): परिणामी मैट्रिक्स में, प्रत्येक स्तंभ में से सबसे छोटे तत्व को उस स्तंभ के सभी तत्वों से घटाएं।
3. शून्य आवरण (Cover Zeros): सभी शून्यों को कवर करने के लिए न्यूनतम संख्या में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ खींचें।
4. इष्टतमता जांच (Optimality Check): यदि खींची गई रेखाओं की संख्या मैट्रिक्स के ऑर्डर (n) के बराबर है, तो इष्टतम समाधान मिल गया है और नियतन किया जा सकता है।
5. मैट्रिक्स में सुधार: यदि रेखाओं की संख्या n से कम है, तो कवर न किए गए तत्वों में से सबसे छोटा तत्व चुनें। इसे सभी अनकवर्ड तत्वों से घटाएं और इसे उन तत्वों में जोड़ें जहाँ दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। फिर चरण 3 पर वापस जाएं।

अंतिम नियतन में, यदि कोई नियतन डमी पंक्ति या डमी स्तंभ में होता है, तो इसका मतलब है कि संबंधित नौकरी या कार्यकर्ता को वास्तव में कोई नियतन नहीं मिला है। इस प्रकार, डमी का उपयोग करके, हंगेरियन विधि को असंतुलित समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है।

Q3. Using Vogel’s Approximation Method, find an initial basic feasible solution to the following transportation problem : [Table Image]

Ans. दी गई परिवहन समस्या का प्रारंभिक आधारभूत संभव हल (Initial Basic Feasible Solution – IBFS) वोगेल की सन्निकटन विधि (Vogel’s Approximation Method – VAM) का उपयोग करके खोजने के लिए, हमें पहले आपूर्ति (Supply) और मांग (Demand) को स्पष्ट करना होगा। प्रश्न में मांग मान नहीं दिए गए हैं। हम यह मान लेंगे कि समस्या संतुलित है।

कुल आपूर्ति = 20 (O1) + 70 (O2) + 50 (O3) = 140 इकाइयाँ। अतः, कुल मांग भी 140 इकाइयाँ होनी चाहिए। हम मान लेते हैं कि गंतव्यों D1, D2, D3, और D4 की मांग क्रमशः 30, 40, 30, और 40 इकाइयाँ हैं।

प्रारंभिक तालिका:

D1 D2 D3 D4 आपूर्ति

O1 15 20 22 11 20

O2 24 37 9 7 70

O3 32 37 20 5 50

मांग 30 40 30 40 140 VAM प्रक्रिया: चरण 1: पंक्ति और स्तंभ दंड (penalties) की गणना करें।

• पंक्ति दंड: P(O1)=15-11=4, P(O2)=9-7=2, P(O3)=20-5=15
• स्तंभ दंड: P(D1)=24-15=9, P(D2)=37-20=17, P(D3)=20-9=11, P(D4)=7-5=2

उच्चतम दंड 17 (स्तंभ D2) है। D2 में न्यूनतम लागत 20 (O1, D2) पर है। min(20, 40) = 20 इकाइयाँ आवंटित करें। O1 की आपूर्ति समाप्त हो गई है।

आवंटन 1: x12 = 20 चरण 2: शेष तालिका के लिए दंड की पुनः गणना करें।

• पंक्ति दंड: P(O2)=9-7=2, P(O3)=20-5=15
• स्तंभ दंड: P(D1)=32-24=8, P(D2)=37-37=0, P(D3)=20-9=11, P(D4)=7-5=2

उच्चतम दंड 15 (पंक्ति O3) है। O3 में न्यूनतम लागत 5 (O3, D4) पर है। min(50, 40) = 40 इकाइयाँ आवंटित करें। D4 की मांग पूरी हो गई है।

आवंटन 2: x34 = 40 चरण 3: शेष तालिका के लिए दंड की पुनः गणना करें।

• पंक्ति दंड: P(O2)=24-9=15, P(O3)=32-20=12
• स्तंभ दंड: P(D1)=32-24=8, P(D2)=37-37=0, P(D3)=20-9=11

उच्चतम दंड 15 (पंक्ति O2) है। O2 में न्यूनतम लागत 9 (O2, D3) पर है। min(70, 30) = 30 इकाइयाँ आवंटित करें। D3 की मांग पूरी हो गई है।

आवंटन 3: x23 = 30 चरण 4: शेष तालिका के लिए दंड की पुनः गणना करें।

• पंक्ति दंड: P(O2)=37-24=13, P(O3)=37-32=5
• स्तंभ दंड: P(D1)=32-24=8, P(D2)=37-37=0

उच्चतम दंड 13 (पंक्ति O2) है। O2 में न्यूनतम लागत 24 (O2, D1) पर है। min(40, 30) = 30 इकाइयाँ आवंटित करें। D1 की मांग पूरी हो गई है।

आवंटन 4: x21 = 30 चरण 5: अब केवल स्तंभ D2 और पंक्तियाँ O2, O3 बची हैं। O2 की शेष आपूर्ति = 10, O3 की शेष आपूर्ति = 10। D2 की शेष मांग = 20। O2 से D2 में 10 इकाइयाँ (x22 = 10) और O3 से D2 में 10 इकाइयाँ (x32 = 10) आवंटित करें।

आवंटन 5: x22 = 10

आवंटन 6: x32 = 10 प्रारंभिक आधारभूत संभव हल (IBFS):

• O1 → D2: 20 इकाइयाँ
• O2 → D1: 30 इकाइयाँ
• O2 → D3: 30 इकाइयाँ
• O2 → D2: 10 इकाइयाँ
• O3 → D2: 10 इकाइयाँ
• O3 → D4: 40 इकाइयाँ

आवंटनों की संख्या = 6, जो (m+n-1) = (3+4-1) = 6 के बराबर है। अतः, यह एक गैर-अपभ्रष्ट (non-degenerate) हल है। कुल परिवहन लागत:

लागत = (20 × 20) + (30 × 24) + (10 × 37) + (30 × 9) + (10 × 37) + (40 × 5)

लागत = 400 + 720 + 370 + 270 + 370 + 200 = रु 2330

Q4. What is Dynamic Programming ? Discuss its applications in decision-making. How is it different from Linear Programming.

Ans.

गतिशील प्रोग्रामिंग (Dynamic Programming – DP)

गतिशील प्रोग्रामिंग एक शक्तिशाली गणितीय अनुकूलन तकनीक है जिसका उपयोग जटिल समस्याओं को सरल, छोटे उप-समस्याओं (subproblems) में तोड़कर हल करने के लिए किया जाता है। यह “विभाजन और जीत” (divide and conquer) के सिद्धांत पर काम करता है, लेकिन यह उन समस्याओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है जिनमें अतिव्यापी उप-समस्याएं (overlapping subproblems) और इष्टतम उप-संरचना (optimal substructure) होती है।

इसका मूल सिद्धांत, जिसे बेलमैन का इष्टतमता का सिद्धांत (Bellman’s Principle of Optimality) कहा जाता है, यह बताता है कि “एक इष्टतम नीति में यह गुण होता है कि प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक निर्णय चाहे जो भी हों, शेष निर्णय पहले निर्णय के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली स्थिति के संबंध में एक इष्टतम नीति का गठन करते हैं।” सरल शब्दों में, समग्र समस्या का इष्टतम समाधान इसकी उप-समस्याओं के इष्टतम समाधानों से मिलकर बनता है। DP प्रत्येक उप-समस्या को केवल एक बार हल करता है और भविष्य के उपयोग के लिए उसके समाधान को संग्रहीत कर लेता है, जिससे अनावश्यक गणना से बचा जा सकता है।

निर्णय लेने में इसके अनुप्रयोग:

• लघुत्तम पथ समस्या (Shortest Path Problem): एक नेटवर्क में दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता खोजना, जैसे कि जीपीएस नेविगेशन।
• संसाधन आवंटन (Resource Allocation): विभिन्न गतिविधियों के बीच एक सीमित संसाधन (जैसे धन, मशीन समय) को इस तरह से आवंटित करना ताकि कुल रिटर्न अधिकतम हो।
• इन्वेंट्री नियंत्रण (Inventory Control): समय के साथ बदलती मांग को पूरा करने के लिए इष्टतम ऑर्डरिंग नीतियां निर्धारित करना।
• नैपसैक समस्या (Knapsack Problem): दिए गए वजन और मूल्यों वाली वस्तुओं में से चयन करना ताकि एक निश्चित क्षमता की थैली में अधिकतम कुल मूल्य ले जाया जा सके।
• उत्पादन योजना (Production Planning): लागत को कम करते हुए मांग में उतार-चढ़ाव को पूरा करने के लिए समय-समय पर उत्पादन स्तर तय करना।

रैखिक प्रोग्रामिंग (Linear Programming – LP) से भिन्नता:

मानदंड गतिशील प्रोग्रामिंग (DP) रैखिक प्रोग्रामिंग (LP)

समस्या की संरचना रैखिक और गैर-रैखिक दोनों तरह की समस्याओं को हल कर सकता है। कोई मानक सूत्रीकरण नहीं है। केवल उन समस्याओं को हल करता है जिनमें रैखिक उद्देश्य फलन और रैखिक बाधाएं होती हैं। एक मानक सूत्रीकरण है।

पद्धति समस्या को चरणों (stages) और अवस्थाओं (states) में तोड़ता है और पुनरावर्ती (recursive) तरीके से हल करता है। सिम्प्लेक्स विधि जैसी एल्गोरिदम का उपयोग करता है जो संभव क्षेत्र के कोने बिंदुओं की जांच करता है।

चर (Variables) असतत (discrete) और निरंतर (continuous) दोनों चरों को संभाल सकता है। मुख्य रूप से निरंतर चरों से संबंधित है (पूर्णांक प्रोग्रामिंग एक विस्तार है)।

आयामीता का अभिशाप अवस्था चरों की संख्या बढ़ने पर कम्प्यूटेशनल रूप से बहुत जटिल हो सकता है (“curse of dimensionality”)। बहुत बड़े पैमाने की समस्याओं को कुशलतापूर्वक हल कर सकता है।

Q5. What is an Economic Order Quantity ? Discuss the impact of quantity discount on economic order quantity and hence on inventory control procedure.

Ans.

आर्थिक आदेश मात्रा (Economic Order Quantity – EOQ)

आर्थिक आदेश मात्रा (EOQ) वह इष्टतम आदेश मात्रा है जिसे एक कंपनी को अपनी कुल इन्वेंट्री लागत को कम करने के लिए खरीदना चाहिए। कुल इन्वेंट्री लागत में मुख्य रूप से दो घटक होते हैं: आदेश लागत (Ordering Cost) और धारण लागत (Holding Cost) ।

• आदेश लागत: यह एक आदेश देने से जुड़ी लागत है, जैसे प्रशासनिक कार्य, शिपिंग शुल्क आदि। यह आदेशों की संख्या के साथ बढ़ती है, इसलिए बड़े आकार के आदेश देने पर यह प्रति यूनिट कम हो जाती है।
• धारण लागत: यह इन्वेंट्री को संग्रहीत करने की लागत है, जैसे गोदाम का किराया, बीमा, और खराब होने का जोखिम। यह इन्वेंट्री की मात्रा के साथ बढ़ती है।

EOQ वह बिंदु है जहां कुल आदेश लागत कुल धारण लागत के बराबर होती है, जिससे कुल लागत न्यूनतम होती है। इसका मूल सूत्र है:

EOQ = √ (2 D S / H)

जहाँ: D = वार्षिक मांग (Annual Demand) S = प्रति आदेश लागत (Cost per Order) H = प्रति यूनिट प्रति वर्ष धारण लागत (Holding Cost per unit per year) मात्रा छूट (Quantity Discount) का प्रभाव:

मात्रा छूट आपूर्तिकर्ताओं द्वारा बड़ी मात्रा में ऑर्डर करने पर दी जाने वाली मूल्य कटौती है। यह इन्वेंट्री नियंत्रण प्रक्रिया को जटिल बना देती है क्योंकि यह एक तीसरे लागत घटक, खरीद लागत (Purchase Cost) , को विचार में लाती है। मात्रा छूट के साथ, प्रति यूनिट मूल्य (P) स्थिर नहीं रहता है, बल्कि ऑर्डर की गई मात्रा (Q) पर निर्भर करता है।

इस स्थिति में, केवल EOQ फॉर्मूला, जो केवल आदेश और धारण लागत को संतुलित करता है, पर्याप्त नहीं है। लक्ष्य अब कुल वार्षिक लागत (Total Annual Cost – TAC) को कम करना है, जिसमें खरीद लागत भी शामिल है:

TAC = (D/Q)S + (Q/2)H + PD

मात्रा छूट के साथ इन्वेंट्री नियंत्रण प्रक्रिया:

मात्रा छूट के मामले में इष्टतम आदेश मात्रा निर्धारित करने की प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. प्रत्येक मूल्य स्तर के लिए EOQ की गणना करें: आपूर्तिकर्ता द्वारा प्रस्तावित प्रत्येक मूल्य छूट (price break) के लिए मानक EOQ सूत्र का उपयोग करके EOQ की गणना करें। (ध्यान दें: यदि धारण लागत H, मूल्य P का एक प्रतिशत है, तो H भी प्रत्येक मूल्य स्तर के लिए बदल जाएगा)।
2. आदेश मात्रा को समायोजित करें: प्रत्येक गणना किए गए EOQ की जांच करें कि क्या वह उस मूल्य के लिए मात्रा सीमा के भीतर आता है।
   • यदि EOQ उस मूल्य सीमा के भीतर है, तो यह एक व्यवहार्य उम्मीदवार है।
   • यदि EOQ उस मूल्य छूट के लिए आवश्यक न्यूनतम मात्रा से कम है, तो आदेश मात्रा को उस छूट के लिए आवश्यक न्यूनतम मात्रा तक बढ़ा दें। यह एक और उम्मीदवार बन जाता है।
3. सभी उम्मीदवारों के लिए कुल वार्षिक लागत (TAC) की गणना करें: प्रत्येक व्यवहार्य/समायोजित EOQ और प्रत्येक मूल्य छूट की न्यूनतम मात्रा के लिए कुल वार्षिक लागत (TAC) की गणना करें।
4. इष्टतम मात्रा का चयन करें: वह आदेश मात्रा चुनें जिसके लिए कुल वार्षिक लागत (TAC) सबसे कम हो। यही नई इष्टतम आदेश मात्रा होगी।

निष्कर्ष यह है कि मात्रा छूट अक्सर मूल EOQ की तुलना में बड़े ऑर्डर आकार को प्रोत्साहित करती है, क्योंकि कम खरीद मूल्य से होने वाली बचत, बढ़ी हुई धारण लागत से अधिक हो सकती है।

Q6. “Game theory provides a systematic quantitative approach for analysing competitive situations in which the competitors use logical processes and techniques to determine an optional strategy for winning.” Do you agree with this statement ? Justify your answer with suitable examples.

Ans. हाँ, मैं इस कथन से पूरी तरह सहमत हूँ। खेल सिद्धांत (Game Theory) वास्तव में प्रतिस्पर्धी स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए एक व्यवस्थित, मात्रात्मक दृष्टिकोण प्रदान करता है, जिसमें प्रतिस्पर्धी जीतने के लिए एक इष्टतम रणनीति निर्धारित करने हेतु तार्किक प्रक्रियाओं और तकनीकों का उपयोग करते हैं।

कथन का औचित्य:

• व्यवस्थित और मात्रात्मक: खेल सिद्धांत संघर्षों का विश्लेषण करने के लिए केवल अंतर्ज्ञान पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि यह गणितीय मॉडल (जैसे भुगतान मैट्रिक्स – payoff matrix), अवधारणाओं (जैसे सैडल पॉइंट, मिश्रित रणनीति) और एल्गोरिदम (जैसे मिनिमैक्स सिद्धांत) का उपयोग करता है। यह रणनीतियों के प्रत्येक संयोजन के लिए परिणामों (भुगतान) को मापता है, जिससे निर्णय लेने की प्रक्रिया वस्तुनिष्ठ हो जाती है।
• प्रतिस्पर्धी स्थितियों का विश्लेषण: यह उन परिदृश्यों का मॉडल बनाता है जहां एक “खिलाड़ी” का परिणाम न केवल उसके अपने कार्यों पर निर्भर करता है, बल्कि अन्य “खिलाड़ियों” (प्रतिस्पर्धियों) के कार्यों पर भी निर्भर करता है। यह व्यापार, युद्ध, राजनीति और अर्थशास्त्र में प्रतिस्पर्धा का सार है।
• तार्किक प्रक्रियाएं: खेल सिद्धांत यह मानता है कि सभी खिलाड़ी तर्कसंगत हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक खिलाड़ी हमेशा उस रणनीति को चुनेगा जो उसके अपने भुगतान को अधिकतम करती है (या उसके अधिकतम नुकसान को कम करती है), यह मानते हुए कि अन्य खिलाड़ी भी तर्कसंगत हैं। यह धारणा मिनिमैक्स (Minimax) और मैक्सिमिन (Maximin) जैसे मानदंडों को जन्म देती है।
• इष्टतम रणनीति: इसका अंतिम लक्ष्य प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक इष्टतम रणनीति खोजना है। यह एक शुद्ध रणनीति (हमेशा एक ही क्रिया चुनना) या एक मिश्रित रणनीति (संभाव्यता के आधार पर क्रियाएं चुनना) हो सकती है। खेल का समाधान इन इष्टतम रणनीतियों और खेल के अपेक्षित मूल्य (expected value) की पहचान करता है।

उपयुक्त उदाहरण:

उदाहरण 1: मूल्य निर्धारण रणनीति (द्वैधिकार – Duopoly)

मान लीजिए कि दो कंपनियां, A और B, एक समान उत्पाद बेच रही हैं। वे या तो ‘उच्च मूल्य’ या ‘कम मूल्य’ निर्धारित कर सकती हैं।

• एक भुगतान मैट्रिक्स बनाया जा सकता है जो उनके मूल्य निर्धारण विकल्पों के आधार पर प्रत्येक कंपनी के लिए लाभ दिखाता है।
• यदि दोनों उच्च मूल्य रखते हैं, तो वे अच्छे लाभ के साथ बाजार साझा करते हैं।
• यदि A कम और B उच्च मूल्य रखता है, तो A एक बड़ा बाजार हिस्सा कब्जा कर लेता है।
• यदि दोनों कम मूल्य रखते हैं, तो एक मूल्य युद्ध शुरू हो जाता है, और दोनों के लिए लाभ कम होता है।

खेल सिद्धांत (जैसे नैश इक्विलिब्रियम खोजना) प्रत्येक फर्म के लिए सबसे संभावित परिणाम और सर्वोत्तम रणनीति निर्धारित करने में मदद कर सकता है। यह क्लासिक “कैदी की दुविधा” (Prisoner’s Dilemma) का एक उदाहरण है।

उदाहरण 2: विज्ञापन अभियान

दो प्रतिद्वंद्वी फर्में अपने विज्ञापन बजट (जैसे, उच्च, मध्यम, निम्न) पर निर्णय ले रही हैं। एक फर्म के लिए बाजार हिस्सेदारी में लाभ/हानि उसके प्रतियोगी के बजट के सापेक्ष उसके अपने बजट पर निर्भर करती है।

• एक भुगतान मैट्रिक्स बाजार हिस्सेदारी में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
• मिनिमैक्स सिद्धांत का उपयोग करके, प्रत्येक फर्म सबसे सुरक्षित रणनीति निर्धारित कर सकती है जो एक निश्चित न्यूनतम लाभ की गारंटी देती है (या अधिकतम नुकसान को सीमित करती है), चाहे प्रतियोगी कुछ भी करे। यह एक मजबूत और रक्षात्मक रणनीति प्रदान करता है।

Q7. Write short notes on any four of the following : (@ Goal programming (Gi) Sensitivity analysis in Linear Programming Problem (ii) Dual Linear Programming (iv) Saddle point in Game theory (v) Travelling salesman problem

Ans.

(i) लक्ष्य प्रोग्रामिंग (Goal Programming)

लक्ष्य प्रोग्रामिंग रैखिक प्रोग्रामिंग (LP) का एक विस्तार है, जिसे कई, अक्सर परस्पर विरोधी, उद्देश्यों वाली समस्याओं के लिए डिज़ाइन किया गया है। एक एकल उद्देश्य को अनुकूलित करने के बजाय, लक्ष्य प्रोग्रामिंग का उद्देश्य एक ऐसा समाधान खोजना है जो निर्दिष्ट लक्ष्यों के एक सेट को प्राप्त करने के यथासंभव करीब हो। यह एक “अनुकूलन” (optimizing) के बजाय एक “संतोषजनक” (satisficing) दृष्टिकोण है। इसमें, लक्ष्यों को बाधाओं के रूप में तैयार किया जाता है और प्रत्येक लक्ष्य के लिए विचलन चर (deviational variables) पेश किए जाते हैं ताकि यह मापा जा सके कि समाधान लक्ष्य से कितना विचलित होता है। उद्देश्य फलन इन अवांछित विचलनों के भारित योग को कम करना है। यह वित्तीय नियोजन और संसाधन आवंटन में बहुत उपयोगी है जहां लागत, गुणवत्ता और ग्राहक संतुष्टि जैसे कई उद्देश्यों को संतुलित करने की आवश्यकता होती है।

(ii) रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में संवेदनशीलता विश्लेषण (Sensitivity Analysis in LPP)

संवेदनशीलता विश्लेषण, जिसे पोस्ट-ऑप्टिमलिटी विश्लेषण भी कहा जाता है, यह अध्ययन है कि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के मापदंडों में परिवर्तन इष्टतम समाधान को कैसे प्रभावित करता है। वास्तविक दुनिया में, उद्देश्य फलन के गुणांक (लाभ/लागत), बाधाओं के मान (संसाधन उपलब्धता), आदि बदल सकते हैं। संवेदनशीलता विश्लेषण यह निर्धारित करता है कि पूरी समस्या को फिर से हल किए बिना इष्टतम समाधान इन परिवर्तनों के प्रति कितना “संवेदनशील” है। यह निर्णयकर्ताओं को यह जानने में मदद करता है कि समाधान किस सीमा तक स्थिर रहता है और संसाधनों का छाया मूल्य (shadow price) क्या है, अर्थात, किसी संसाधन की एक अतिरिक्त इकाई का इष्टतम मूल्य पर क्या प्रभाव पड़ेगा। यह निर्णय लेने में बहुत अधिक लचीलापन और आर्थिक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

(iii) द्वैत रैखिक प्रोग्रामिंग (Dual Linear Programming)

प्रत्येक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (जिसे “प्राइमल” समस्या कहा जाता है) की एक संगत द्वैत (Dual) समस्या होती है। यदि प्राइमल एक अधिकतमीकरण (maximization) समस्या है, तो द्वैत एक न्यूनीकरण (minimization) समस्या होगी, और इसके विपरीत। प्राइमल के चर द्वैत की बाधाओं के अनुरूप होते हैं, और प्राइमल की बाधाएं द्वैत के चरों के अनुरूप होती हैं। द्वैतता प्रमेय (Duality Theorem) के अनुसार, यदि प्राइमल का इष्टतम समाधान है, तो द्वैत का भी इष्टतम समाधान होगा, और उनके इष्टतम उद्देश्य फलन मान बराबर होंगे। द्वैत चर का आर्थिक महत्व है; उन्हें अक्सर “छाया मूल्य” कहा जाता है, जो प्राइमल समस्या में संसाधनों के सीमांत मूल्य का प्रतिनिधित्व करते हैं। कभी-कभी, प्राइमल की तुलना में द्वैत समस्या को हल करना कम्प्यूटेशनल रूप से आसान होता है।

(iv) खेल सिद्धांत में सैडल पॉइंट (Saddle Point in Game Theory)

एक दो-व्यक्ति, शून्य-योग खेल (two-person, zero-sum game) में, सैडल पॉइंट भुगतान मैट्रिक्स में एक ऐसा तत्व है जो एक साथ अपनी पंक्ति का न्यूनतम और अपने स्तंभ का अधिकतम होता है। यदि किसी खेल में सैडल पॉइंट होता है, तो यह एक स्थिर संतुलन (stable equilibrium) का प्रतिनिधित्व करता है। इसे खोजने के लिए, हम प्रत्येक पंक्ति का न्यूनतम मान (row minima) और प्रत्येक स्तंभ का अधिकतम मान (column maxima) ज्ञात करते हैं। यदि पंक्ति न्यूनतम का अधिकतम (maximin) स्तंभ अधिकतम के न्यूनतम (minimax) के बराबर है, तो एक सैडल पॉइंट मौजूद है। यदि सैडल पॉइंट मौजूद है, तो दोनों खिलाड़ियों के लिए इष्टतम रणनीति एक शुद्ध रणनीति (pure strategy) होती है – लगातार उस पंक्ति या स्तंभ को चुनना जिसमें सैडल पॉइंट होता है। ऐसे खेल को “दृढ़ता से निर्धारित” (strictly determined) कहा जाता है।

(v) ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या (Travelling Salesman Problem – TSP)

ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या एक क्लासिक अनुकूलन समस्या है जिसमें एक सेल्समैन को दिए गए शहरों की सूची में से प्रत्येक शहर में ठीक एक बार जाने और फिर मूल शहर में लौटने के लिए सबसे छोटा संभव मार्ग खोजना होता है। यह एक NP-कठिन (NP-hard) समस्या है, जिसका अर्थ है कि शहरों की संख्या बढ़ने पर इष्टतम समाधान खोजने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल समय तेजी से बढ़ता है। बड़ी संख्या में शहरों के लिए, सटीक इष्टतम समाधान खोजना अव्यावहारिक है। इसलिए, अक्सर अनुमानी एल्गोरिदम (heuristic algorithms) जैसे कि ‘नियरेस्ट नेबर’ या ‘जेनेटिक एल्गोरिदम’ का उपयोग किया जाता है ताकि जल्दी से एक अच्छा, लगभग-इष्टतम समाधान खोजा जा सके। इसके अनुप्रयोगों में लॉजिस्टिक्स, वाहन रूटिंग, डीएनए अनुक्रमण और सर्किट बोर्ड ड्रिलिंग शामिल हैं।