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Semester 4: Differential Equations and Mechanics
Second order linear differential equations with variable coefficients: Use of a known solution to find another, normal form, method of undetermined coefficient, variation of parameters, Series solutions of differential equations, Power series method
द्वितीय क्रम रेखीय अवकल समीकरण
परिचय
द्वितीय क्रम रेखीय अवकल समीकरण वे समीकरण हैं जो द्वितीय क्रम के अवकल के साथ साथ एक या अधिक अज्ञात कार्यों और उनके अवकलनों को शामिल करते हैं। इन समीकरणों का सामान्य रूप: a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = f(x) है।
ज्ञात समाधान का उपयोग
अगर दो ज्ञात समाधान हैं, तो उनका संयोजन करके नए समाधान निकाले जा सकते हैं। यदि y1(x) एक ज्ञात समाधान है, तो एक सामान्य समाधान y2(x) को y2 = y1(x) * v(x) रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां v(x) एक नई कार्य है।
स्वाभाविक रूप
स्वाभाविक रूप में द्वितीय क्रम के समीकरण में इसके सभी समग्र गुणांक सामान्य रूप से एक निश्चित रूप में होते हैं। ऐसे समीकरणों को हल करना सरलता से किया जा सकता है।
अनिर्धारित गुणांक विधि
इस विधि में, अनिर्धारित गुणांकों का उपयोग करके समीकरण के विशेष समाधान को खोजना होता है। इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब f(x) एक सरल कार्य के रूप में होता है।
पैरामीटर का परिवर्तन
इस विधि में, एक ज्ञात समाधान का उपयोग करते हुए नए समाधान की खोज की जाती है। इसके लिए ज्ञात समाधान को एक संशोधित रूप में लिया जाता है और इसके साथ नए पैरामीटर को जोड़ा जाता है।
श्रृंखला समाधानों की अवधारणा
जब समीकरण स्थिरांक गुणांकों के साथ स्पष्ट नहीं होते हैं, तो श्रृंखला समाधानों का उपयोग किया जाता है। इस विधि में समाधान को एक अनंत श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जाता है।
शक्ति श्रृंखला विधि
इस विधि में, समीकरण के समाधान को शक्ति श्रृंखला के रूप में माना जाता है। इसे समीकरण के प्रारंभिक शर्तों के अनुसार हल किया जाता है और उत्पन्न श्रेणी को क्रम में सार्वभौमिक समाधान के रूप में दर्शाया जाता है।
Bessel, Legendre and Hypergeometric functions and their properties, recurrence and generating relations
Bessel, Legendre and Hypergeometric Functions and Their Properties, Recurrence and Generating Relations
Bessel Functions
बेस्सेल फ़ंक्शंस को मुख्यतः विभेदात्मक समीकरणों में उपयोग किया जाता है। इनके कई प्रकार होते हैं जैसे बेस्सेल फ़ंक्शन ऑफ़ फर्स्ट और सेकंड काइंड। इनके कुछ गुण हैं: ये सर्पेण्टाइन और रेडियल अस्थिरता के संदर्भ में महत्वपूर्ण हैं। बेस्सेल फ़ंक्शंस की पुनरावृत्ति संबंध जैसे J_n(x) का उपयोग करके आंकी जा सकती है।
Legendre Functions
लेजेंडर फ़ंक्शंस बहुपद समीकरणों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। मुख्यतः ये P_n(x) के रूप में दर्शाए जाते हैं। इनका उपयोग गणितीय भौतिकी में होता है। इनके गुणों में शामिल हैं: ये ऑर्थोगोनल होते हैं और पुनरावृत्ति संबंध जैसे P_n(x) से आसानी से पाए जा सकते हैं।
Hypergeometric Functions
हाईपरजियोग्राफ़िक फ़ंक्शंस को सर्वव्यापी समीकरणों में गहराई से देखा जाता है। ये फ़ंक्शंस सामान्यीकृत होते हैं और अनंत श्रृंखला रूप में होते हैं। इनके गुणों में विशेषताएँ होती हैं, जैसे कि पुनरावृत्ति संबंध और जेनरेटिंग रीलेशन, जो विभिन्न गणितीय समस्याओं के समाधान में सहायक होते हैं।
Recurrence Relations
पुनरावृत्ति संबंध वे समीकरण होते हैं जो फ़ंक्शंस के मान को उनके पूर्व या अगले मानों के साथ जोड़ते हैं। जैसे Bessel, Legendre और Hypergeometric फ़ंक्शंस में ये संबंध विशेष महत्वपूर्ण होते हैं। ये गणनाओं को सरल बनाते हैं और विभिन्न समीकरणों के हल में सहायक होते हैं।
Generating Relations
जेनरेटिंग रीलेशन विभिन्न फ़ंक्शंस को एक साथ जोड़ने का कार्य करते हैं। ये उच्चतर गुणों और गुणा का उपयोग करके समीकरणों को संबोधित करते हैं। इस संदर्भ में, Bessel और Legendre के जेनरेटिंग संबंध विशेष रूप से महत्वपूर्ण होते हैं।
Origin of first order partial differential equations. Partial differential equations of the first order and degree one, Lagrange's solution, Partial differential equation of first order and degree greater than one. Charpit's method of solution, Surfaces Orthogonal to the given system of surfaces
Differential Equations and Mechanics
B.A./B.Sc. II
Mathematics
Fourth
Mahatma Gandhi Kashi Vidyapith, Varanasi
Origin of first order partial differential equations
प्रारंभिक अवकल समीकरणों का इतिहास
पहली श्रेणी के आंशिक अवकल समीकरणों का उपयोग भौतिक विज्ञान, इंजीनियरी और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में किया गया है। इनके विकास में कई गणितज्ञों का योगदान रहा है, जिनमें लाप्लास, फूरियर और इंगमाल्ट शामिल हैं।
पहली श्रेणी और डिग्री एक के आंशिक अवकल समीकरण
पहली श्रेणी के आंशिक अवकल समीकरण उन समीकरणों को संदर्भित करते हैं जिनमें किसी अज्ञात कार्य का पहला अवकलन दिखाई देता है। इन समीकरणों के लिए सामान्य समाधान और विशिष्ट समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं।
लाग्रेंज का समाधान
लाग्रेंज के समाधान की पद्धति का उपयोग पहले के आंशिक अवकल समीकरणों के समाधान के लिए किया जाता है। यह सीमा मानों की मदद से A और B के बीच एक समाकलन के रूप में समीकरण को हल करता है।
पहली श्रेणी और डिग्री से अधिक आंशिक अवकल समीकरण
जब आंशिक अवकल समीकरण की अज्ञात कार्य के अवकलन की डिग्री एक से अधिक होती है, तो इसे पहले श्रेणी और डिग्री से अधिक आंशिक अवकल समीकरण कहा जाता है। इनका समाधान अधिक जटिल हो सकता है।
चारपिट के समाधान की विधि
चारपिट के समाधान की विधि एक शक्तिशाली उपकरण है जो विशेष समाधान खोजने के लिए उपयोग किया जाता है। यह एक प्रणाली के जरिए सीमाओं के साथ सेट की गई स्थिति में काम करता है।
सतहें जो दिए गए सतहों के प्रति लंबवत हैं
सतहों का यह अध्ययन उन सतहों की विशेषताओं को समझने में मदद करता है, जो एक निश्चित प्रणाली के प्रति लंबवत होती हैं। यह कई भौगोलिक और इंजीनियरिंग समस्याओं का समाधान खोजने में सहायक है।
Origin of second order PDE, Solution of partial differential equations of the second and higher order with constant coefficients, Classification of linear partial differential equations of second order, Solution of second order partial differential equations with variable coefficients, Monge's method of solution
द्वितीय क्रम के आंशिक विभाजनात्मक समीकरणों की उत्पत्ति
द्वितीय क्रम के आंशिक विभाजनात्मक समीकरण (PDE) मुख्य रूप से भौतिकी और अभ्युत्पन्नों में व्यापक रूप से उपयोग होते हैं। इनका विकास 18वीं और 19वीं सदी में गणितज्ञों द्वारा किया गया। जैसे कि लाप्लास, प्वाँकारे और कर्ण ने इनके मूल सिद्धांतों को विकसित किया।
समान गुणांक वाले द्वितीय और उच्च क्रम के आंशिक विभाजनात्मक समीकरणों के समाधान
समान गुणांक वाले PDE का समाधान विशेष विधियों जैसे कि विशेष समाधान, विभाजन के समान ताप, और उच्च स्तर के नवीनीकरण डेटा उपयोग करके निकाला जा सकता है।
द्वितीय क्रम के रेखीय आंशिक विभाजनात्मक समीकरणों का वर्गीकरण
द्वितीय क्रम के PDE को 3 श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है: एलिप्टिक, पाराबोलिक और हाइपरबोलिक। हर एक वर्ग की अपनी विशेषताएँ और समाधान के तरीके होते हैं।
परिवर्ती गुणांक वाले द्वितीय क्रम के आंशिक विभाजनात्मक समीकरणों का समाधान
परिवर्ती गुणांक वाले PDE के समाधान में परंपरागत विधियों से भिन्नता होती है। यहाँ परिणामी समीकरण को अक्सर उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।
मोंगे की विधि (Monge's method)
मोंगे की विधि एक महत्वपूर्ण तकनीक है जो एक विशेष प्रारूप द्वारा PDE के समाधानों की खोज में सहायता करती है। इसमें विशेष संबंधों और संलग्न समीकरणों का उपयोग किया जाता है, जो दिए गए संदर्भ में समाधान के लिए प्रभावी होते हैं।
Frame of reference, work energy principle, Forces in three dimensions, Poinsot's central axis, Wrenches, Null lines and null planes
Differential Equations and Mechanics
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Mahatma Gandhi Kashi Vidyapith, Varanasi
Frame of reference, work energy principle, Forces in three dimensions, Poinsot's central axis, Wrenches, Null lines and null planes
Frame of Reference
संदर्भ फ्रेम का उपयोग गति और बल के विश्लेषण के लिए किया जाता है। यह किसी ऑब्जेक्ट या प्रणाली के सापेक्ष संदर्भ को परिभाषित करता है। शारीरिक परिघटनाओं का अध्ययन करने के लिए एक निश्चित संदर्भ प्रणाली आवश्यक है।
Work Energy Principle
कार्य-ऊर्जा सिद्धांत कहता है कि किसी सिस्टम पर किया गया कुल कार्य उसके अंतर्गत समाहित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। यह सिद्धांत गतिशीलता का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।
Forces in Three Dimensions
तीन आयामों में बलों का विश्लेषण करना महत्वपूर्ण है। यह सही ढंग से बलों की दिशा और परिमाण को निरूपित करने में मदद करता है। बलों का योग, उन्हें निरूपित करने के लिए एक विकर्ण द्वारा किया जाता है।
Poinsot's Central Axis
पॉइन्सोट का केंद्रीय अक्ष एक सैद्धांतिक अवधारणा है जिसका उपयोग घूर्णन गति का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। यह स्थाई बिंदु के चारों ओर घूर्णन करने वाले पिंड के गतिविज्ञान का अध्ययन करता है।
Wrenches
व्रेन्च एक बल और एक दूरी का वेक्टर संयोजन है। यह यांत्रिक प्रणालियों में कार्यों और संतुलन की स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण है।
Null Lines and Null Planes
नल लाइन्स और नल प्लेन्स उन रेखाओं और सतहों का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन पर बल और मोमेंट का योगफल शून्य होता है। इन्हें संरचनाओं की स्थिरता और संतुलन का विश्लेषण करने में उपयोग किया जाता है.
Virtual work, Stable and Unstable equilibrium, Catenary, Catenary of uniform string
Virtual work, Stable and Unstable equilibrium, Catenary, Catenary of uniform string
Virtual Work
वर्चुअल कार्य एक सिद्धांत है जिसका उपयोग यांत्रिकी में किया जाता है। यह बताता है कि कोई भी प्रणाली जब संतुलन में होती है, तब उसके कार्य में परिवर्तन नहीं होता। वर्चुअल कार्य का उपयोग संतुलन की स्थिति को समझने के लिए किया जाता है। यदि किसी प्रणाली पर बाहरी बल कार्य करते हैं, तो इसे वर्चुअल कार्य का सिद्धांत उपयोग करते हुए हल किया जाता है।
Stable Equilibrium
स्थिर संतुलन वह स्थिति है जहां किसी प्रणाली में बदलाव करने पर, वह वापस अपनी संतुलन स्थिति में लौट आती है। इसका मतलब है कि यदि प्रणाली को एक छोटे से विक्षेप के द्वारा स्थानांतरित किया जाता है, तो वह फिर से अपने मूल स्थिति पर वापस आ जाएगी। उदाहरण के लिए, एक गेंद जिसे पास के गड्ढे में रखा गया हो, यदि उसे हल्का सा धक्का दिया जाए तो वह नीचे की तरफ खिसकेगी, लेकिन अपनी स्थिति पर वापस लौटने के लिए प्रयास करेगी।
Unstable Equilibrium
अस्थिर संतुलन वह स्थिति है जहां किसी प्रणाली में केवल थोड़े से विक्षेप के कारण वह अपनी संतुलन स्थिति को खो देती है। उदाहरण के लिए, एक गेंद को उलटी स्थिति में एक गोलाकार सतह पर रखा गया हो, तो एक हल्का सा धक्का उसे नीचे गिरा देगा। अस्थिर संतुलन की स्थिति में, प्रणाली खुद को संतुलन में वापस नहीं लाएगी।
Catenary
कैटेनरी एक वक्र रेखा है जो एक समान रूप से तनावयुक्त लचीली वस्तु द्वारा बनाई जाती है, जैसे कि एक रस्सी या चेन। जब इसे केवल उसके दो सिरों द्वारा संलग्न किया जाता है और उसके नीचे गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, तो रेखा एक कैटेनरी की आकृति में ढल जाती है। कैटेनरी की आकृति गणितीय रूप से महत्वपूर्ण है और विभिन्न ढांचों में इसका उपयोग किया जाता है।
Catenary of Uniform String
एक समान रस्सी की कैटेनरी का अध्ययन करने पर, यह पाया जाता है कि यह एक विशेष गणितीय समीकरण का पालन करती है। यदि एक समान लंबाई की रस्सी को उसके दोनों सिरों पर ठीक किया गया हो, तो उसके चारों ओर खींचने पर यह कैटेनरी Curve बनाती है। इसका समीकरण y = a cosh(x/a) होता है, जहां 'a' का मान रस्सी के तनाव और भार के अनुपात पर निर्भर करता है। इस प्रकार, यह विषय भौतिकी और इंजीनियरिंग में महत्वपूर्ण उदाहरण प्रस्तुत करता है।
Velocities and accelerations along radial and transverse directions, and along tangential and normal directions, Simple Harmonic motion, Motion under other laws of forces. Elastic strings, Motion in resisting medium, Constrained motion, Motion on smooth and rough plane curves
Velocities and accelerations along radial and transverse directions, and along tangential and normal directions, Simple Harmonic motion, Motion under other laws of forces. Elastic strings, Motion in resisting medium, Constrained motion, Motion on smooth and rough plane curves
परिभाषा और मूल बातें
वेग और त्वरण से संबंधित मापन के महत्वपूर्ण पहलू, जिसका उपयोग वस्तुओं के गतिशीलता को समझने में किया जाता है। रैखिक दृष्टिकोण से, वेग निरंतरता की एक दिशा है जबकि त्वरण वेग में परिवर्तन की दर है।
केंद्रीय और अनुप्रस्थ दिशाओं में गतियाँ
केंद्रीय दिशा में गति में स्थिरता के साथ, वस्तु अपने केंद्र की ओर गति करती है, जबकि अनुप्रस्थ दिशा में गति स्वतंत्र रूप से होती है। ये गतिकी के सिद्धांतों को समझने में सहायक होते हैं।
साधारण हार्मोनिक मोशन (SHM)
साधारण हार्मोनिक मोशन विवर्तन और संतुलन की महत्वपूर्ण अवधारणा है। इसमें एक वस्तु किसी संतुलन बिंदु के चारों ओर नियमित रूप से आगे-पीछे होती है।
बलों के अन्य नियमों के तहत गति
गति के विभिन्न नियम जैसे कि न्यूटन के नियम, बलों का परस्पर संबंध, और गति में बलों के प्रभाव को समझाना।
इलास्टिक तार और बल
इलास्टिक तारों के साथ प्रयोग होने वाले बल और उनके गुण, जैसे तनाव और विकृति।
प्रतिरोधी माध्यम में गति
जैसे कि वायु या पानी, इस पर यह अध्ययन किया जाता है कि कैसे गति के दौरान इन माध्यमों का अधिक प्रभाव पड़ सकता है।
संविधानिक गति
संविधानिक गति में वस्तुओं की गति को सीमित करने वाले कारकों का विश्लेषण करते हैं।
समान और असमान तल में गति
मुलायम और खुरदरे तलों पर वस्तुओं की गति के विभिन्न पहलुओं का अध्ययन, और इनकी गति पर प्रभाव।
गतिकी में अनुप्रस्थ और कर्णीय दिशाएँ
गतिकी में अनुप्रस्थ (टैंगेंशियल) और कर्णीय (नॉर्मल) दिशाओं का महत्व और जब वस्तु किसी कर्व पथ पर गति करती है।
Motion of particles of varying mass and Rocket motion, Central orbit, Kepler's laws of motion, Motion of particle in three dimensions, Rotating frame of reference, Rotating earth, Acceleration in terms of different coordinate systems
Differential Equations and Mechanics
B.A./B.Sc. II
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Fourth
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पदार्थों की गति
परिवर्ती द्रव्यमान वाले कणों का गति
पदार्थ की गति विभिन्न द्रव्यमानों के साथ अति महत्वपूर्ण विज्ञान का विषय है। यह दर्शाता है कि विभिन्न द्रव्यमान वाले कणों की गति कैसे बदलती है। ऐसी परिस्थितियों में न्यूटन के गति के तीन नियम लागू होते हैं।
रॉकेट की गति
रॉकेट गति का सिद्धांत थर्मल अभिघात के आधार पर काम करता है। रॉकेटों में प्रयुक्त गैसों का तेजी से निकलना उन्हें आगे बढ़ने में मदद करता है।
केंद्रीय कक्ष
केंद्रीय कक्ष वह कक्ष होता है जिसमें एक कण एक निश्चित तिरछी गति के साथ किसी केंद्रीय बिंदु के चारों ओर घूमता है। यह गति ग्रहों और उपग्रहों की कक्षाओं की व्याख्या करती है।
केप्लर के गति के नियम
केप्लर के तीन गति के नियम पदार्थों की गति का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है। पहले नियम में कहता है कि सभी ग्रह सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्त कक्ष में घूमते हैं।
तीन आयामों में कण की गति
तीन आयामों में कण की गति को समझना जटिल है लेकिन यह महत्वपूर्ण है। एक छोटे कण की स्थिति को वर्णित करने के लिए, हमें तीन निर्देशांक की आवश्यकता होती है।
घूर्णन संदर्भ प्रणाली
घूर्णन संदर्भ प्रणाली वह प्रणाली है जो घूर्णन करती है और इस पर कणों की गति को समझने के लिए अतिरिक्त बलों जैसे केंद्रीय बल और जड़त्वीय बल का उपयोग करना पड़ता है।
घूर्णनीय पृथ्वी
पृथ्वी का घूर्णन उसके चारों ओर की वस्तुओं की गति पर प्रभाव डालता है। इसे कोरिओलीस प्रभाव के जरिए समझाया जा सकता है।
विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में त्वरण
किसी कण का त्वरण विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में अलग-अलग हो सकता है, इसलिए विभिन्न संदर्भों में गति और त्वरण का अध्ययन आवश्यक है।
